量子理论中的电磁ab效应

量子理论中的电磁ab效应

根据经典的磁体理论，只有磁体本身具有直接的物理意义。运动电荷受到电场力和磁场力的作用,是只有电场强度E和磁感应强度B对运动电荷有作用,而不是电矢势A,一般认为电矢势A始终只被看作是数学上的需要而引入的。随着Aharonov-Bohm效应的发现,人们发现对磁场的描述只用B是不够的,它不能解释电子在外磁场中的干涉和散射等现象,带电粒子在外磁场中的动力学行为是否会受到矢势A的直接影响;矢势A的影响是否可以独立于磁感应强度B出现干涉的量子效应。下面通过分析波函数位相因子的变化及事例,计算了Aharonov-Bohm效应中电子干涉衍射条纹的移动宽度,并对电磁场矢势A的物理意义及定义进行了分析和探讨。1aharonov-bohm效应为了确定电磁场矢势A对带电粒子的直接作用,1959年阿哈朗偌夫(AharonovY.)和玻姆(BohmD.)设计了多种实验方案,论证了电磁场的矢势和标势在量子理论中具有基本的物理意义和确定的物理效应;1960年5月,英国威尔士物理实验室的钱伯斯(ChambersR.G.)首先就此问题作了实验,得出了肯定的结果。人们称该效应为Aharonov-Bohm效应,简称电磁AB效应。图1所示的是钱伯斯实验的装置原理图,这个实验证实了矢势A的物理效应。图中Q为电子束源,E为接地金属板,b为铝化石英丝,E、b为静电“双棱镜”组成部分,P为屏,Q-b距离为6.7cm,Q-p距离为13.4cm,F为直径1μm永久磁性铁晶须,须长0.5mm,相当于无限长通电螺线管。在Q点发射出一束电子,经过“静电双棱镜”E、b后分解成1和2两束相干电子束,并绕过磁性铁晶须的中部,当没有F(永久磁性铁晶须)时,屏上出现电子的干涉图样,放入F(永久磁性铁晶须)时,干涉图样的极大值和极小值的位置有了移动,其数值为Δy=eΦmvLbΔy=eΦmvLb,式中Φ是螺线管内的磁通量,v为电子的速度,b是a、b之间的距离,L为缝到屏间的距离。后来许多实验物理学家用各种方法改进实验精度,入殿村于1985年所做的实验达到非常高的精度,结果都与上式一致。为什么会出现这样的情况呢?下面就此问题进行解释,根据量子论的基本概念来算出干涉条纹的移动值。1电子的广义动量p(永久磁性铁晶须)时,电子经过的区域内B=0,A=0,电子不受洛仑兹力的作用力,是自由电子,P点处的波函数为ψ(r,t)∼ψ1(r,t)+ψ2(r,t)=exp[iℏ∫ΡQdΡ⋅dr]+exp[iℏ∫ΡQaΡ⋅dr],式中P为电子的广义动量P=mv-eA=hK,K是电子的波矢量,h是普朗克常数,此处略去波函数的归一化因子,因为此时的A=0,所以上式可简化为ψ(r,t)=ψ1(r,t)[1+exp(ikbsin)θ]。由图1不难看出,通过两条狭缝的电子波函数的相位差为Δϕ=ϕ2-ϕ1=kbsinθ,若ϕ2-ϕ1=(2n+1)π,即kbsinθ=(2n+1)π时,则两束电子波相消,这时ψ(r,t)=0,于是屏上干涉条纹的暗纹位置为y=Ltanθ≈Lsinθ=(2n+1)πΚbL(θ很小时sinθ≈tanθ)(1)2电子波的干涉试验晶须)时,须内B≠0,磁通量为Φ;须外B=0,A≠0,电子仍然不受洛仑兹力的作用,此时与电子速度v共轭的正则动量为P=mv+qA=mv-eA,此时电子P点处的波函数为ψ(r,t)=ψ1(r,t)exp[iℏ∫ΡQa(-eA)⋅dr]{1+exp[ikbsinθ+iℏ(∫ΡQa-eA⋅dr+∫dQp-eA⋅dr]}(2)其中,iℏ(∫ΡQd-eA⋅dr+∫dQp-eA⋅dr)=iℏ(∫QapdQ-eA⋅dr=iℏ∮-eA⋅dr因为∮cA⋅dr=∬S(∇×A)⋅dS=∬SB⋅dS=Φ是通过螺线管内的磁通量,所以(2)式可化为ψ(r,t)=ψ1(r,t)exp[iℏ∫ΡQd(-eA)⋅dr]{1+expi(kbsinθ-eΦℏ)}这时两电子束的相位差Δϕ=ϕ2-ϕ1=kbsinθ-eΦℏ,当kbsinθ-eℏΦ=(2n+1)π时,这时波函数ψ(r,t)=0,两束电子波相互干涉而消失。因此屏上干涉条纹的暗纹位置在y′=Ltanθ≈[(2n+1)π+eΦℏ]Lkb(3)式中同样使用了θ很小时sinθ≈tanθ。同时考虑单缝条纹,由于|ψ1(r,t)|=|ψ′1(r,t)|,并表明波函数的振幅不变,即干涉明暗条纹的强度不变,只是明暗条纹的极值位置发生了改变,根据(1)、(3)两式得到前后两幅干涉图像的暗纹位置相对移动为Δy=y′-y=eΦLℏkb=eΦLmvb。计算结果与实验数据完全一致。下面以λ=0.8Á,缝宽a=1.0Á,a、b之间的距离b=6.0μm,缝到屏的距离L=6.7cm为例,计算出Δy=0.22μm,实验示意图如图2所示:虚线表示没有F(永久磁性铁晶须)时的干涉图样,实线表示有F(永久磁性铁晶须)时的干涉图样。比较前后两次实验的条件,唯一的区别是第一种情况下,管外B=0,A=0;第二种情况下,管外B=0,但A≠0,管内的B和A对电子并不产生直接的影响,因为螺线管上的电势使电子无法经过管内区域。由此可见,两者的差别仅仅是管外的矢势A。所以说管外矢势对电子起了作用,使两束电子产生了一个附加的相位差,从而干涉条纹的极值位置有了移动。因此,很自然地得到一个结论:不能够说A是一个完全非物理的场,A的物理效应是可观测的,只不过它不为人们熟悉而已。2单次给药后各单位试验点电荷和电流元点的相互作用能的减少从上面的讨论中,带电粒子在外磁场中的动力学行为会受到矢势A的直接影响;矢势A的影响可以独立于磁感应强度B,并且出现干涉的量子效应。为了更好地认识矢势A是一个基本的物理实体,在此给矢势A以新的定义。定义1矢势A是以速度v运动的单位试验电荷q在磁场中所具有的相互作用能根据安培定律,电流元Idl的磁场对于速度为v的试验点电荷q的作用力。dF=μ04πqv×(Ιdl×rr3=μ04π(qv⋅rr3)Ιdl-μ04π(qv⋅Ιdl)rr3若将运动点电荷沿垂直于Idl方向作虚位移δr,则力对试验点电荷作的虚功为dF⋅δr=-μ04π(qv⋅Ιdl)δrr2‚dW=∫∞rdF⋅δr=-μ04πqv⋅Ιdlr由于点电荷q的速度v不变,它的动能也就不变,所以dW表示的是试验点电荷q和电流元Idl的磁场间的相互作用能的减少,这里Idl为无穷小量,dW表示的相互作用能也是无穷小量。类比于电场强度E、磁感应强度B的定义,可以定义一个新的物理量磁场矢势A,它是速度v运动的单位试验点电荷在磁场中的相互作用能的负值W=-qv·A(4)定义2矢势A是单位试验电荷q在磁场中所具有的相互作用动量。设试验点电荷作匀速直线运动,v=drdt,取v⊥Idl,则dF=μ04π(qv⋅rr3)Ιdl)‚dFdt=μ04π(qr⋅drr3dt)Ιdl=μ04πqΙdldr/r2dΜ=∫t0dFdt=∫∞rμ04πqΙdldr/r2=μ04πqΙdl/r(5)把试验电荷从P点运动到无穷远的过程中dF的冲量必须消耗某种动量。由于试验电荷的速度没有发生变化,所以它的机械动量不变,(5)式表示的是试验点电荷q和电流元的磁场的“相互作用动量”的减少。类比于电场强度E、磁感应强度B的定义,可以定义一个新的物理量磁场矢势A,它是单位试验点电荷在磁场中所具有的相互作用动量M=qA。这显然和(4)式的定义是等价的。从刚才讲述的关于A两种新定义来看,可以得出这样的结论:以(E、B)为基本的物理实体描述电磁场是基于力的表象;而以(A,φ)为基本的物