匀速运动点电荷电磁场的讨论

匀速运动点电荷电磁场的讨论

0源点电荷的电场和磁场在电磁学中，均匀速度运动点的电荷励磁矩阵发挥着非常重要的作用，有助于理解磁体的基本性质和特点。最近，许多作者对此进行了讨论。但不够系统和深入,本文利用参量β=v/c分别对电场和磁场进行展开,其中v为点电荷的运动速率,c为真空中的光速,展开后得到了很有启发意义的结论。不管是从相对论的相对性原理及其时空观出发,还是从矢势函数出发或是利用点电荷的静电场公式及电磁场的相对论变换均可得到匀速运动点电荷的电场和磁场公式。为方便起见,设在某惯性系S中,源点电荷q以速度v沿z轴正方向匀速运动,t=0,q处于原点处,则t时刻,q处于r′=z′ez=vtez,则有该时刻,q在场点r处产生的电场:E=qR(1-β2)4πε0R3(1-β2sin2θ)3/2=qR4πε0R3⋅(1-β2)(1-β2sin2θ)3/2(1)E=qR(1−β2)4πε0R3(1−β2sin2θ)3/2=qR4πε0R3⋅(1−β2)(1−β2sin2θ)3/2(1)其中,R=r-r′=r-vtez,θ为R和v之间的夹角,β=v/c。除电场外,另有一个与源电荷q的运动状态v有关的称谓磁场存在,此场仅对运动电荷有作用力。空间任一点B和E是相关的,满足方程:B(r)=v×E/c2(2)该式给出了B的大小和方向。下面我们利用参量β对上述电场和磁场进行探讨,分三种情况讨论。1源点电荷q于原位源点电荷q的速度v=0,则R=r,β=v/c=0,则由(1)可得:E=qr4πε0r3(3)E=qr4πε0r3(3)此即为源点电荷q于原点时的静电场,易得此电场满足∇⋅E=qδ(r)ε0(4)∇×E=0(5)∇⋅E=qδ(r)ε0(4)∇×E=0(5)为有源无旋场。而磁场恒为零。2qvvvv当β为小量时,β2及以上项忽略,则由(1)可得此时的电场:E=E0=qR4πε0R3(6)E=E0=qR4πε0R3(6)其中R=r-r′=r-vtez,由此可知,低速运动点电荷的电场与静电场相比,具有关于点电荷位置的球对称性,但与静电场不同的是电场E是时间的函数,是个随时间变化的电场。易得某时刻该电场满足:ᐁ×E0=0(7)∇⋅E0=qδ(R)ε0=qδ(r-vt)ε0(8)∇⋅E0=qδ(R)ε0=qδ(r−vt)ε0(8)也为有源无旋场。但除上述电场外,还存在有磁场,由(2)可得此时的磁场为:B=B0=v×E0c2=qv×R4πε0c2R3=μ0qv×R4πR3(9)磁场服从稳恒情况下的毕奥-萨伐尔定律(Biot-Savartlaw)。对上式求散度,注意到ᐁ·(v×E0)=E0·(ᐁ×v)-v·(ᐁ×E0)和(7)式,以及对匀速v而言,ᐁ×v=0,可得:ᐁ·B0=0(10)对磁场B0求旋度,由于ᐁ×(v×E0)=v(ᐁ·E0)-E0(ᐁ·v)+(E0·ᐁ)v-(v·ᐁ)E0,考虑到ᐁ×v=0、(E0·ᐁ)v=0及ᐁ·E0=qδ(R)/ε0,可得ᐁ×B0=μ0[vqδ(R)-ε0(v·ᐁ)E0],考虑到R=r-r′=r-vte,可得(v·ᐁ)E0=-∂E0/∂t,从而有ᐁ×B0=μ0[vqδ(r-vt)+ε0∂E0/∂t](11)可见磁场B0的确是个无源有旋场。然而由恒定式ᐁ·ᐁ×A=0可知,作为无源有旋场B0的矢量源也必然是无源有旋的。对(11)式的右边取散度得μ0∇⋅[qvδ(r-vt)+ε0∂E∂t]=μ0[qv∇⋅δ(r-vt)+ε0∂(∇⋅E)∂t]=μ0[qv⋅∇δ(r-vt)+q∂δ(r-vt)∂t]=0的确是有旋无源的矢量场,可以作为磁场的激发源。然而对(11)式右边的第二项而言,因ᐁ×(∂E/∂t)=∂(ᐁ×E)/∂t=0,该项恒为无旋有源场,故实际上它并不激发磁场,(11)式中加上该项是为了确保式右边是无散的。因为(11)式右边中的第一项qvδ(R)是个有旋有散场。或者可以这样说,如将qvδ(R)分成有源无旋部分和有旋无源部分,真正对激发磁场有贡献的仅是有旋无源部分,qvδ(R)的有源无旋部分完全为后一项所抵消。由此也可知B0与v成正比,也即是β的一次项。这才是(11)式真正的物理内涵,这就是说在似稳条件下,变化的电场即位移电流并不产生磁场。3静力场中此时的电场即为(1)式,此电场的分布不再具有关于点电荷的球对称性,但尚具有关于v方向的旋转对称性。同时,它还与(7)式中E0差了一个因子:S(θ)=(1-β2)/(1-β2sin2θ)3/2首先讨论该电场E的散度,考虑包围运动点电荷的任意高斯面S,由文献证得:Φe=∯sE⋅dS=∯sEer⋅dS=∯sEdSr=0由此可见,运动电荷qv的电场E仍满足高斯定理,写成微分形式为∇⋅E=qδ(r-vt)ε0(12)与(8)式形式相同。但与低速情形不同的是该电场是有旋的,由(1)式可知,在球坐标系中,E=E(r,θ)er,则由球坐标系中的旋度公式可得:∇×E=-1r⋅∂Er∂θeφ=3qβ2(1-β2)sinθcosθ4πε0r3(1-β2sin2θ)5/2eφ(13)(13)式不等于零,由此可知,ᐁ×E的方向与电荷运动的方向v垂直,构成左手螺旋关系。此磁场B的散度,类似于(10)式的推导可得:ᐁ·B=0(14)磁场总是无散的。该磁场B的旋度,类似于(11)式的推导可得:ᐁ×B=μ0[vqδ(r-vt)+ε0∂E/∂t](15)与(11)式形式相同,但物理内涵并不一样,因为此时上式右边的第二项是个有源有旋场。最后讨论运动点电荷的电场E的旋度。建立坐标系(p,φ,z),则由(1)式可得:v×∂E∂t=vez×∂∂t[qpep+q(z-vt)ez4πε0R3⋅(1-β2)(1-β2ρ2/R2)3/2]=3qv2(1-β)sinθcosθ4πε0r3(1-β2sin2θ)5/2ez×eρ(16)比较(13)式可得:∇×E=-vc2×∂E∂t=-∂∂t=-∂∂t(v×Ec2)=-∂B∂t(17)(12)、(14)、(15)及(17)式正好是麦克斯韦方程组对真空中匀速运动点电荷的应用。此时电场是有散有旋的,而磁场B总是有旋无散的。为了解这些方程的物理内涵,有必要对此时的电场和磁场以及两者之间的关系进行讨论。为了更加清楚地看出电场E、磁场B的性质以及之间的关系,我们将E和B进行分解。首先将E分解成为有源无旋场E0=qE/4πε0R2和Ek部分,即Ek=E-E0。注意到(7)、(8)及(12)、(17)式可得:ᐁ·Ek=ᐁ·E-ᐁ·E0=0(18)∇×Ek=∇×E-∇×E0=-∂B∂t(19)Ek正是个有旋无源的涡旋电场。接β的幂次展开,可得:Ek=β2q4πε0R3R(32sin2θ-1)+⋯Ek至少是β2的量级,它由变化的磁场激发。当然E0是β0的量级,由电荷产生。相应地有B的展开式:B=v×Ec2=vc2×E0+vc2×Ek=B0+B2其中B0=v×