北师大数学总复习第4章第1课时平面向量的概念及线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量;②若A，B，C，D是不共线的四点,则eq\o（AB,\s\up6(→))＝eq\o（DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a｜〉｜b｜，则a〉b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①不正确．当起点不在同一直线上时,虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵eq\o(AB，\s\up6（→）)＝eq\o（DC,\s\up6(→）），∴｜eq\o（AB,\s\up6(→））|＝|eq\o（DC，\s\up6（→)）|且eq\o(AB，\s\up6（→)）∥eq\o（DC,\s\up6（→）)。又∵A，B，C，D是不共线的四点,∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且eq\o(AB,\s\up6（→））与eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o（DC，\s\up6(→))。③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时,a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．答案:C2．(2014·石家庄调研)如图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量a－b等于(）A．－e1－3e2B．e1＋3e2C．－e1＋3e2D．e1－3e2解析：由图可知a＝2.5e1＋1。5e2，b＝1.5e1＋4。5e2,a－b＝e1－3e2，故选D。答案：D3．(2014·辽宁大连四所重点中学联考)已知eq\o（OA,\s\up6（→）)＝a，eq\o（OB,\s\up6(→)）＝b，eq\o（OC,\s\up6（→)）＝c，eq\o（OD,\s\up6（→）)＝d，且四边形ABCD为平行四边形,则（)A．a－b＋c－d＝0 B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0解析:依题意得，eq\o（AB,\s\up6（→）)＝eq\o（DC,\s\up6（→）)，故eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6（→））＝0，即eq\o（OB,\s\up6（→)）－eq\o(OA，\s\up6(→）)＋eq\o(OD，\s\up6(→)）－eq\o（OC，\s\up6(→))＝0，即有eq\o（OA，\s\up6(→))－eq\o(OB，\s\up6(→)）＋eq\o（OC，\s\up6（→）)－eq\o（OD，\s\up6（→））＝0，则a－b＋c－d＝0，选A。答案：A4．已知非零向量a、b满足|a＋b|＝｜b|，①若a、b共线，则a＝－2b；②若a、b不共线，则以|a|、｜a＋2b|、2｜b｜为边长的三角形为直角三角形；③2｜b｜>｜a＋2b｜；④2|b｜〈|a＋2b|。其中正确的命题序号是________．解析:利用已知非零向量a、b满足｜a＋b｜＝｜b｜，若a、b共线，画图可得a＝－2b，若a、b不共线，画图分析可得：|a|、|a＋2b|、2｜b｜为边长的三角形可以构成直角三角形；不管哪种图像都满足2|b｜〉|a＋2b｜.答案：①②③5．若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足｜eq\o(OB,\s\up6（→)）－eq\o（OC,\s\up6(→））|＝|eq\o(OB,\s\up6(→））＋eq\o（OC,\s\up6（→))－2eq\o(OA，\s\up6（→）)|,则△ABC的形状为________．解析：eq\o（OB,\s\up6（→））＋eq\o(OC,\s\up6（→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6（→）)－eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OC，\s\up6（→))－eq\o(OA,\s\up6（→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→）)，eq\o(OB，\s\up6（→）)－eq\o（OC，\s\up6(→））＝eq\o(CB,\s\up6（→))＝eq\o（AB，\s\up6(→）)－eq\o(AC，\s\up6(→）)，∴｜eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→））｜＝｜eq\o(AB,\s\up6（→）)－eq\o（AC,\s\up6（→))｜，故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案:直角三角形6．(2013·高考四川卷）在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o（AD,\s\up6（→))＝λeq\o（AO,\s\up6（→))，则λ＝________。解析：根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解．由向量加法的平行四边形法则,得eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\o（AD,\s\up6(→)）＝eq\o（AC,\s\up6（→)）。又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC，\s\up6(→))＝2eq\o(AO，\s\up6(→）），∴eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o（AD,\s\up6(→）)＝2eq\o（AO,\s\up6(→)）.又eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o（AD,\s\up6(→)）＝λeq\o(AO,\s\up6（→)）,∴λ＝2。答案：27．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a、tb、eq\f(1，3）（a＋b）三向量的终点在一条直线上？解:设a－tb＝λeq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(a－\f(1,3)a＋b））（λ∈R),化简整理得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2，3)λ－1))a＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t－\f(1,3）λ)）b＝0，∵a与b不共线,∴由平面向量基本定理有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（2,3)λ－1＝0，，t－\f(λ,3)＝0，)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝\f（3,2)，,t＝\f（1，2）。）)故t＝eq\f（1，2）时，a、tb、eq\f(1,3)（a＋b）的终点在一条直线上．8．如图所示，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝eq\f(1，3)AC，在AB上取点M,使得AM＝eq\f（1，3)AB，在BN的延长线上取一点P,使得NP＝eq\f（1，2)BN，在CM的延长线上取一点Q，使得MQ＝λCM时,eq\o(AP，\s\up6(→）)＝eq\o(QA,\s\up6（→）)，试确定λ的值．解:∵eq\o（AP,\s\up6（→))＝eq\o（NP，\s\up6（→））－eq\o（NA,\s\up6(→))＝eq\f(1，2)(eq\o（BN，\s\up6（→））＋eq\o(NC，\s\up6（→)））＝eq\f(1，2）eq\o(BC，\s\up6(→）），eq\o(QA，\s\up6(→）)＝eq\o（MA，\s\up6（→））－eq\o（MQ，\s\up6(→））＝eq\f(1,2）eq\o（BM，\s\up6(→））＋λeq\o(MC,\s\up6(→））,又∵eq\o(AP,\s\up6(→）)＝eq\o(QA,\s\up6(→）)，∴eq\f（1,2)eq\o（BM,\s\up6（→))＋λeq\o(MC,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)eq\o（BC，\s\up6(→))，即λeq\o(MC,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）(eq\o(BC,\s\up6（→))－eq\o（BM,\s\up6（→）))＝eq\f(1，2)eq\o（MC，\s\up6(→））∴λ＝eq\f（1,2）。【B级】能力提升1．（2014·威海模拟)已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6（→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→)）＝a＋μb(λ、μ∈R),那么A、B、C三点共线的充要条件是()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1解析：由eq\o(AB,\s\up6（→））＝λa＋b，eq\o（AC，\s\up6（→)）＝a＋μb（λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得:eq\o（AB，\s\up6(→））＝teq\o（AC,\s\up6（→）),所以λa＋b＝t（a＋μb）＝ta＋tμb，即可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t,,1＝tμ）),所以λμ＝1。故选D。答案：D2．(2014·孝感模拟)如图所示,向量eq\o(OA，\s\up6(→））＝a，eq\o（OB，\s\up6（→）)＝b，eq\o（OC,\s\up6(→）)＝c,A、B、C在一条直线上，且eq\o（AC,\s\up6（→）)＝－3eq\o(CB，\s\up6(→）),则(）A．c＝－eq\f(1,2）a＋eq\f(3,2）b B．c＝eq\f（3，2)a－eq\f（1,2）bC．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b解析:∵eq\o(OC，\s\up6(→））＝eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6（→）)＝eq\o（OA,\s\up6（→）)＋3eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o（OA,\s\up6（→)）＋3(eq\o（OC，\s\up6(→）)－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝3eq\o(OC，\s\up6（→))＋eq\o（OA,\s\up6(→）)－3eq\o（OB，\s\up6（→）)∴2eq\o（OC，\s\up6(→))＝－eq\o（OA,\s\up6（→)）＋3eq\o(OB，\s\up6(→）)∴c＝eq\o(OC,\s\up6（→)）＝－eq\f（1,2）a＋eq\f（3，2）b。答案：A3．(2014·北京海淀一模）如图,正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么eq\o（EF，\s\up6(→)）＝（）A.eq\f（1,2）eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\f（1，2）eq\o（AD,\s\up6（→)）B．－eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up6（→)）－eq\f（1，2)eq\o（AD,\s\up6（→))C．－eq\f(1，2）eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\f(1,2）eq\o（AD，\s\up6（→））D.eq\f（1，2)eq\o（AB,\s\up6（→)）－eq\f(1,2）eq\o(AD，\s\up6（→））解析：在△CEF中，有eq\o(EF,\s\up6（→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o（CF，\s\up6（→))，因为E为DC的中点,所以eq\o（EC，\s\up6（→)）＝eq\f(1，2）eq\o（DC,\s\up6（→)）。因为点F为BC的中点，所以eq\o（CF,\s\up6(→））＝eq\f（1,2)eq\o（CB,\s\up6(→）).所以eq\o（EF,\s\up6（→))＝eq\o(EC,\s\up6（→））＋eq\o(CF，\s\up6(→）)＝eq\f(1，2)eq\o（DC,\s\up6（→））＋eq\f（1,2）eq\o(CB,\s\up6（→）)＝eq\f(1,2）eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\f（1,2)eq\o(DA,\s\up6（→））＝eq\f（1，2）eq\o（AB，\s\up6(→））－eq\f（1,2）eq\o(AD,\s\up6（→））.答案：D4．（2013·高考江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD＝eq\f(1，2）AB，BE＝eq\f(2，3)BC.若eq\o(DE,\s\up6（→）)＝λ1eq\o(AB,\s\up6（→))＋λ2eq\o（AC,\s\up6（→）)(λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．解析：利用平面向量的加、减法的运算法则将eq\o(DE,\s\up6（→）)用eq\o（AB，\s\up6（→)），eq\o（AC,\s\up6(→））表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可．由题意eq\o（DE，\s\up6（→))＝eq\o（BE,\s\up6（→））－eq\o(BD，\s\up6（→））＝eq\f（2，3）eq\o(BC,\s\up6(→）)－eq\f(1，2）eq\o（BA，\s\up6（→））＝eq\f（2，3）(eq\o(AC,\s\up6（→))－eq\o（AB,\s\up6(→））)＋eq\f(1,2）eq\o（AB,\s\up6（→))＝－eq\f(1，6）eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\f（2,3）eq\o（AC，\s\up6（→)），于是λ1＝－eq\f(1，6)，λ2＝eq\f(2，3）,故λ1＋λ2＝eq\f(1,2)。答案：eq\f(1,2）5．如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若eq\o(AD，\s\up6（→）)＝xeq\o(AB,\s\up6(→)）＋yeq\o（AC,\s\up6(→）），则x＝________，y＝________。解析:过点D作DF⊥AB的延长线于点F，设AB＝1,则AC＝1，BC＝eq\r（2)，ED＝eq\r(2）,BD＝eq\f（\r(6），2)，∴DF＝eq\f(\r(3）,2）,BF＝eq\f(\r(3），2)。∴eq\o(AD，\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（\r（3），2）)）eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\f(\r(3),2）eq\o(AC,\s\up6(→））.∴x＝1＋eq\f(\r(3),2），y＝eq\f(\r(3)，2）.答案：1＋eq\f(\r（3)，2）eq\f(\r（3）,2)6．（2014·山西四校第三次联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC，\s\up6(→)）＝3eq\o（CD,\s\up6(→)）,点O在线段CD上(与点C、D不重合），若eq\o（AO,\s\up6（→）)＝xeq\o（AB,\s\up6（→）)＋(1－x）AC，则x的取值范围是________．解析:∵eq\o(AO,\s\up6（→)）＝xeq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o（AC，\s\up6(→））－xeq\o(AC，\s\up6(→）)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)）＝x(eq\o（AB，\s\up6（→）)－eq\o(AC，\s\up6(→）)），即eq\o(CO，\s\up6（→））＝xeq\o(CB，\s\up6(→))＝－3xeq\o(CD，\s\up6（→）），∵O在线段CD上(不含C、D两点)上运动，∴0〈－3x〈1，∴－eq\f（1,3）〈x〈0.答案：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3)，0)）7．（创新题）如图，过△OAB的重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q,设eq\o(OP，\s\up6（→))＝heq\o（OA,\s\up6（→)）,eq\o（OQ,\s\up6(→))＝keq\o（OB,\s\up6(→）），求证：eq\f（1,h)＋eq