旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第6讲指数与指数函数

第6讲对数与对数函数1．对数的定义如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作eq\o(□,\s\up3(01))x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2．对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(M·N)＝eq\o(□,\s\up3(02))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\o(□,\s\up3(03))logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R定点过点eq\o(□,\s\up3(04))(1，0)单调性在(0，＋∞)上是eq\o(□,\s\up3(05))单调递增的在(0，＋∞)上是eq\o(□,\s\up3(06))单调递减的函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞04．反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝eq\o(□,\s\up3(07))logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线eq\o(□,\s\up3(08))y＝x对称．1．对数的性质(a＞0，且a≠1)(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.2．换底公式及其推论(1)logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝eq\f(1,logba)(a>0且a≠1，b>0且b≠1)；(3)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0且a≠1，b>0，m≠0)；(4)logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0).3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．函数f(x)＝eq\r(1－lnx)的定义域是()A．(0，e) B．(0，e]C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)答案B解析要使函数f(x)＝eq\r(1－lnx)有意义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－lnx≥0，,x>0，))解得0<x≤e，则函数f(x)的定义域为(0，e].故选B.2．(2021·“超级全能生”联考)已知2a＝3b＝6，c＝logab，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b答案C解析a＝log26＝eq\f(1,log62)，b＝log36＝eq\f(1,log63)，∵0＜log62＜log63＜1，∴eq\f(1,log62)>eq\f(1,log63)>1，即a＞b＞1，∴c＝logab＜logaa＝1，∴c＜b＜a.故选C.3．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()答案B解析若a>1，则y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0<a<1，则y＝ax是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选B.4．(2021·浙江金丽衢十二校联考)函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增答案B解析显然y＝lg|x|是偶函数，又x>0时，y＝lgx是单调递增函数，所以y＝lg|x|在(－∞，0)上单调递减，故选B.5．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，∵y＝lnt为增函数，∴要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8(x<－2或x>4)的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).故选D.6．(2022·广西柳州入学考试)计算：log2eq\f(1,\r(2))＝；2log23＋log43＝．答案－eq\f(1,2)3eq\r(3)解析考向一对数的化简与求值例1(1)化简eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)＝．答案eq\f(1,2)解析eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)＝eq\f(1,2)×(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(lg5＋2lg7)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋eq\f(1,2)lg5＋lg7＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg(2×5)＝eq\f(1,2).(2)若lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，则logeq\s\do16(\f(3,2))eq\f(x,y)的值为．答案2解析依题意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝4x2－12xy＋9y2，整理得，4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\up15(2)－13eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＋9＝0，解得eq\f(x,y)＝1或eq\f(x,y)＝eq\f(9,4).因为x>0，y>0，2x－3y>0，所以eq\f(x,y)＝eq\f(9,4)，所以logeq\s\do16(\f(3,2))eq\f(x,y)＝2.(3)若log147＝a，14b＝5，则用a，b表示log3528为．答案eq\f(2－a,a＋b)解析∵a＝log147，b＝log145，∴a＋b＝log1435．又log1428＝log14eq\f(14,7)2＝2－log147＝2－a，∴log3528＝eq\f(log1428,log1435)＝eq\f(2－a,a＋b).对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1.lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2的值为．答案3解析原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg2＋lg5)＝2＋lg5＋lg2＝3.2．(2021·四川自贡联考)若2a＝3，b＝log32，则ab＝；3b＋3－b＝．答案1eq\f(5,2)解析因为2a＝3，所以a＝log23，所以ab＝log23×log32＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝1；因为b＝log32，所以3b＋3－b＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).3．计算：(log32＋log92)×(log43＋log83)＝．答案eq\f(5,4)解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23))＝eq\f(3,2)log32×eq\f(5,6)log23＝eq\f(5,4).考向二对数函数的图象及其应用例2(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1 B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1答案D解析由对数函数的性质及题图，得0<a<1，易知c>0，所以函数y＝loga(x＋c)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位长度得到的，所以根据题中图象可知0<c<1.故选D.(2)(2021·四川棠湖中学模拟)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0B．x1x2＝0C．x1x2>1D．0<x1x2<1答案D解析作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨令x1<x2，则x1<－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，由图象知10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1，故选D.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．4.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致是()答案A解析由于函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)是偶函数，故其图象关于y轴对称．当x>0时，f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)是减函数；当x<0时，f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)是增函数．再由图象过点(1，1)，(－1，1)，可知应选A.5．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范围．解设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可，如图所示．当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图，要使在(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.所以1＜a≤2，即a的取值范围为(1，2].精准设计考向，多角度探究突破考向三对数函数的性质及其应用角度比较对数值的大小例3(1)(2021·天津高考)设a＝log20.3，b＝logeq\s\do16(\f(1,2))0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<a<bC．b<c<aD．a<c<b答案D解析∵log20.3<log21＝0，∴a<0，∵logeq\s\do16(\f(1,2))0.4＝－log20.4＝log2eq\f(5,2)>log22＝1，∴b>1，∵0<0.40.3<0.40＝1，∴0<c<1，∴a<c<b.故选D.(2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．a<c<b答案A解析由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示).由图象可知选项A不可能成立．比较对数值的大小的方法6.(2022·郑州模拟)已知a＝log29－log2eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)，则()A.a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a答案B解析a＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)＝log22eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)＝log2eq\r(26)，因为函数y＝log2x是增函数，且2eq\r(7)>3eq\r(3)>eq\r(26)，所以b>a>c.7．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝eeq\s\up15(－eq\f(1,2))，则()A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x答案D解析lnπ>1，log52＝eq\f(1,log25)<eq\f(1,2)，z＝eeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,\r(e))，eq\f(1,2)<eq\f(1,\r(e))<1，所以y<z<x.角度解简单的对数不等式例4(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－7，x<0，,log2（x＋1），x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪[0，1)B．(－3，0)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案C解析因为f(a)<1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(1,2a)－7<1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,log2（a＋1）<1，))解得－3<a<0或0≤a<1.所以实数a的取值范围是(－3，1).故选C.(2)(2021·甘肃武威模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，则不等式f(logeq\s\do16(\f(1,8))x)>0的解集为．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)解析∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.∴f(logeq\s\do16(\f(1,8))x)>0⇒logeq\s\do16(\f(1,8))x<－eq\f(1,3)或logeq\s\do16(\f(1,8))x>eq\f(1,3)⇒x>2或0<x<eq\f(1,2)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞).解对数不等式的类型及方法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．8.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2]B．[0，2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)答案D解析当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2得x≥eq\f(1,2)，∴x>1.综上，x的取值范围为[0，＋∞).故选D.9．(2021·南京模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,logeq\s\do16(\f(1,2))（－x），x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是．答案(－1，0)∪(1，＋∞)解析由f(a)>f(－a)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>logeq\s\do16(\f(1,2))a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,logeq\s\do16(\f(1,2))（－a）>log2（－a），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>－log2a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－log2（－a）>log2（－a）.))解得a>1或－1<a<0.考向四与对数有关的复合函数问题例5已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间[0，3]上的最小值为－2，求实数a的值．解(1)依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,4－x>0，))解得－2<x<4，∴函数f(x)的定义域为(－2，4).(2)f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)＝loga[(x＋2)(4－x)]，令t＝(x＋2)(4－x)，则可变形得t＝－(x－1)2＋9，∵0≤x≤3，∴5≤t≤9.若a>1，则loga5≤logat≤loga9，∴f(x)min＝loga5＝－2，则a2＝eq\f(1,5)<1(舍去)，若0<a<1，则loga9≤logat≤loga5，∴f(x)min＝loga9＝－2，则a2＝eq\f(1,9)，又0<a<1，∴a＝eq\f(1,3).综上，a＝eq\f(1,3).利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．10.已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是()A.eq\f(1,6)≤a<eq\f(1,4)或a>1 B．a>1C．eq\f(1,8)≤a<eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)≤a≤eq\f(1,4)或a>1答案A解析令t＝|ax2－x|，y＝logat.当a>1时，外函数为递增函数，所以内函数t＝|ax2－x|，x∈[3，4]，要为递增函数，所以eq\f(1,a)<3或4≤eq\f(1,2a)，解得a>eq\f(1,3)或a≤eq\f(1,8)，所以a>1.当0<a<1时，外函数为递减函数，所以内函数t＝|ax2－x|，x∈[3，4]，要为递减函数，eq\f(1,2a)≤3<4<eq\f(1,a)，解得eq\f(1,6)≤a<eq\f(1,4).综上所述，eq\f(1,6)≤a<eq\f(1,4)或a>1，故选A.11．(2021·陕西渭南模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<eq\f(8,3).当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，解得a>4，与0<a<1矛盾．综上可知，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).1．2lg2－lgeq\f(1,25)的值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析2lg2－lgeq\f(1,25)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22÷\f(1,25)))＝lg100＝2，故选B.2．函数f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))的定义域是()A．(－3，0)B．(－3，0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－3，0)答案A解析因为f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))，所以要使函数f(x)有意义，需使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,1－2x>0，))即－3<x<0.3．已知函数f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),2)))，则f(x)的值域是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．[0，2]D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案A解析函数f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),2)))是减函数，所以函数f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝logeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)，函数的最大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(1,4)＝2.所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).故选A.4．(2021·广西桂林十八中模拟)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)答案B解析易知0<a<1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足logaeq\f(1,2)>4eq\s\up15(eq\f(1,2))，解得a>eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(\r(2),2)<a<1，故选B.5．(2021·天津高考)若2a＝5b＝10，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝()A.－1B．lg7C．1D．log710答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log210)＋eq\f(1,log510)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.故选C.6．(2021·河北保定模拟)已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a>b>c答案B解析a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，因此，a＝b，而log23eq\r(3)>log22＝1，log32<log33＝1，所以a＝b>c，故选B.7．(2022·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,f（x＋1），x<4，))则f(2＋log23)的值为()A．24B．16C．12D．8答案A解析因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.故选A.8．函数y＝logeq\s\do16(\f(1,3))|x＋3|的单调递增区间为()A．(－∞，3)B．(－∞，－3)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)答案B解析因为函数y＝logeq\s\do16(\f(1,3))x为减函数，y＝|x＋3|在(－∞，－3)上是减函数，所以函数y＝logeq\s\do16(\f(1,3))|x＋3|的单调递增区间为(－∞，－3).9．在锐角三角形ABC中，下列式子成立的是()A．logcosCeq\f(sinA,cosB)>0 B．logsinCeq\f(cosA,cosB)>0C．logsinCeq\f(sinA,sinB)>0 D．logsinCeq\f(cosA,sinB)>0答案D解析解法一：由△ABC是锐角三角形，可得0<sinC<1，0<A<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)，从而eq\f(π,2)<A＋B<π，∴0<eq\f(π,2)－A<B<eq\f(π,2)，∴sinB>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝cosA>0.∴0<eq\f(cosA,sinB)<1，∴logsinCeq\f(cosA,sinB)>0，故选D.解法二：考虑特殊值，当△ABC为正三角形时，logcosCeq\f(sinA,cosB)<0，logsinCeq\f(cosA,cosB)＝0，logsinCeq\f(sinA,sinB)＝0，即可知A，B，C错误．故选D.10．(2021·河南洛阳模拟)已知y＝loga(8－3ax)在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4)) D．(1，＋∞)答案B解析因为a>0，所以t＝8－3ax为减函数，而当a>1时，y＝logat是增函数，所以当a>1时，y＝loga(8－3ax)是减函数．由8－3ax>0，得a<eq\f(8,3x)在[1，2]上恒成立，所以a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3x)))eq\s\do7(min)＝eq\f(8,3×2)＝eq\f(4,3)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))).11．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2答案B解析设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)为增函数．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log2eq\f(1,2)＝－1＜0，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b，所以A错误，B正确；f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2＞0，此时f(a)＞f(b2)，有a＞b2，当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1＜0，此时f(a)＜f(b2)，有a＜b2，所以C，D错误．故选B.12．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，则称函数f(x)为“成功函数”．若函数f(x)＝logm(mx＋2t)(其中m>0，且m≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围为()A．(0，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))答案D解析无论m>1还是0<m<1，f(x)＝logm(mx＋2t)都是定义域内的增函数，故应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝\f(a,2)，,f（b）＝\f(b,2)，))则问题可转化为求f(x)＝eq\f(x,2)，即f(x)＝logm(mx＋2t)＝eq\f(x,2)，即mx＋2t＝meq\s\up15(eq\f(x,2))在定义域内有两个不相等的实数根的问题，令λ＝meq\s\up15(eq\f(x,2))(λ>0)，则mx＋2t＝meq\s\up15(eq\f(x,2))可化为2t＝λ－λ2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))eq\s\up15(2)＋eq\f(1,4)，结合图象可得t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).故选D.13．计算：lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2eq\r(3))2＋lgeq\f(1,6)＋lg0.06＝．答案1解析原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)×0.06))＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2＋3lg5－2＝1.14．(2021·安徽淮南摸底)已知f(x)＝lg(2x－4)，则方程f(x)＝1的解是，不等式f(x)<0的解集是．答案7(2，2.5)解析因为f(x)＝1，所以lg(2x－4)＝1，所以2x－4＝10，所以x＝7；因为f(x)<0，所以0<2x－4<1，所以2<x<2.5，所以不等式f(x)<0的解集是(2，2.5).15．已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))解析原不等式⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,2x2＋1>3x>1))①或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1，,2x2＋1<3x<1))②，解不等式组①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，不等式组②无解，所以实数x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).16．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．答案(1，＋∞)解析如图，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与函数f(x)的图象只有一个交点．17．计算：(1)lgeq\f(3,7)＋lg70－lg3－eq\r(（lg3）2－lg9＋1)；解(1)原式＝lgeq\f(\f(3,7)×70,3)－eq\r(（lg3）2－2lg3＋1)＝lg10－eq\r(（lg3－1）2)＝1－|lg3－1|＝lg3.18．(2021·荆州模拟)已知函数f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,3))(x2－2mx＋5).(1)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若f(x)在(－∞，2]内为增函数，求实数m的取值范围．解(1)由f(x)的值域为R，可得u＝x2－2mx＋5能取得(0，＋∞)