小河打水、最短距离类型题精编

小河打水问题整理如图，要在河边修建一个水泵站，分别向村、庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？【数学模型】：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。作法：1、作点A关于直线l的对称点A′；2、连结A′B交l于点C。点C就是所求的点。证明略构建“对称模型〞实现转化☼1.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，假设点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是〔 〕米。A．750 B．1000 C．1500 D．2000☼2.在直角坐标系*Oy中，*轴上的动点M〔*，0〕到定点P〔5，5〕、Q〔2，1〕的距离分别为MP和MQ，当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标*=___________。☼3.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，假设河岸a、b彼此平行，现在要建立一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？☼4.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？☼5.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？☼6.点P、Q分别为AB、AC上的点，在BC边上求作一点R，使△PQR周长最小。〔写出画图方法，并说明理由〕☼7.如图，△ABC中，AB=AC，过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点，试说明PB+PC≥2AB。☼8.〔2006〕台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识。图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡。〔1〕击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球。他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图①中用尺规作出这一点H．并作出E球的运行路线；〔不写画法，保存作图痕迹〕〔2〕如图②，现以D为原点，建立直角坐标系，记A〔0，4〕，C〔8，0〕，E〔4，3〕，F〔7，1〕，求E球按刚刚方式运行到F球的路线长度．〔忽略球的太小〕☼9.先阅读下文，再答复下列问题：你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识，如图，四边形ABCD是一矩形的球桌台面，有两个球位于P、Q两点上，先找出P点关于CD的对称点P′，连接P′Q交CD于M点，则P处的球经CD反弹后，会击中Q处的球。请答复：如果使P球先碰撞台边CD反弹碰撞台边AB后，再击中Q球，如何撞击呢？〔画出图形)☼10.如图，CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试问怎样撞击黑球A，使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？你还有其他方法使A碰到台边反弹后再击中白球B吗？☼11.如图是一台球桌，欲使球A先撞击球桌的*一边反弹后，再进入4号洞，你有几种撞击方法，画出图形即可。如果反弹后，任意进入其中一个洞，则你共有多少种撞击方法。☼12.小新所在的班级去农村学农，劳动之余数学教师让同学们做一个游戏，如图，在河岸边放一排水桶，要求同学从A处出发，先去取水桶，然后去河边打水，再把水送到B处的水缸中。要求同学们找出路程最短的路线。同学们七嘴八舌地争论，没有得出统一的意见。请你帮他们出出主意，终究怎样走才能使所走的路程最短？☼13.如图，∠AOB有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。☼14.如图，M是∠AOB部一点。〔1〕分别作出点M关于OA、OB的对称点，M1、M2。连接M1M〔2〕假设M1M2=〔3〕在OA、OB上任取点P′、Q′，连接MP′、P′Q′、MQ′，得到△MP′Q′。比拟△MP′Q′与△MPQ的周长，你得到什么结论？☼15.如图，C是∠AOB一点，C1、C2分别是点C关于OA、OB的对称点，假设C1、C2的连线交OA于D，交OB于E，C1C2＝4.5cm，则△A．4.5cm B．6.5cm C．5.5cm D．无法求☼16.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，假设CD＝18cm，则△PMN的周长为________☼17.如图，点P在∠AOB部，且∠AOB度数为45°，OP=2cm，在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。☼18.，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________☼19.如图，在△ABC中，AB＝BC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，假设BC＝10，AC＝6，求△ACE的周长。☼20.：如图，点P在∠AOB，且点P与M关于OA对称，PM交OA于Q，点P与N关于OB对称，PN交OB于R，连接MN、OP、OM、ON，假设MN＝10cm，OP＝6cm，求△OMN与△PEF的周长。☼21.，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，求AB的长．☼22.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，假设AC＝5cm，BC＝4cm，则△BDC的周长为________．☼23.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？☼24.如图，A、B两村欲在河边建一抽水站，A村到河边的距离是100m，B村到河边的距离是300m，且CD的长为300m，假设辅设水管的费用是每米100元，问应在河边的何处建水站才能使得辅设水管的费用最低？在图上画出水站的位置P，并求出辅设水管的最低费用。☼25.为了丰富少年儿童的业余生活，*社区要在如下图AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等"☼26.如图，铁路上A，B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？☼27.〔2008年〕如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：〔1〕由图观察易知A〔0，2〕关于直线l的对称点A′的坐标为〔2，0〕，请在图中分别标明B〔5，3〕、C〔－2，5〕关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：〔2〕结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面任一点P〔a，b〕关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为〔不必证明〕；运用与拓广：〔3〕两点D〔1，－3〕、E〔－1，－4〕，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．☼28.〔2009年〕在平面直角坐标系中，有A〔3，－2〕，B〔4，2〕两点，现另取一点C〔1，n〕，当n=______时，AC+BC的值最小．〔2009年达州〕在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____cm。☼29.〔2009〕如图，在锐角△ABC中，AB＝4eq\r(2)，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．☼30.如图，在正方形ABCD中，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN＋MN最小。☼31.〔2009年达州〕在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____cm。☼32.在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可到达_____________。如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。☼33.如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。〔1〕如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；〔2〕几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，假设在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值；〔3〕代数应用：求代数式eq\r(*2＋1)＋\r((4－*)2＋4)〔0≤*≤4〕的最小值。☼34.如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O，点D为BC边的中点，连长为2cm，在BD上找点P，使DP+CP之和最小。☼35.〔2009年〕如下图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为〔 〕A．2eq\r(3) B．2eq\r(6) C．3 D．eq\r(6)☼36.〔2009〕一次函数y=k*+b的图象与*、y轴分别交于点A〔2，0〕，B〔0，4〕．〔1〕求该函数的解析式；〔2〕O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．☼37.〔2010〕如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。〔1〕求证：△AMB≌△ENB；〔2〕①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；〔3〕当AM＋BM＋CM的最小值为eq\r(3)＋1时，求正方形的边长.☼38.〔2010〕〔1〕观察发现如题图1，假设点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P。再如题图2，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．〔2〕实践运用如题图3，⊙O的直径CD为4，eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的度数为60°，点B是eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．〔3〕拓展延伸如题图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保存作图痕迹，不必写出作法．☼39.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。〔1〕设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置；〔2〕当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？〔3〕在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点；如果不存在，请简要说明理由。☼40.〔2008〕在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm〔a＞1〕．现方案在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：*班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13－1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB＋BA〔km〕〔其中BP⊥l于点P〕；图13－2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA＋PB〔km〕〔其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P〕．观察计算〔1〕在方案一中，d1＝_______km〔用含a的式子表示〕；〔2〕在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13－3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝______km〔用含a的式子表示〕．探索归纳：〔1〕①当a＝4时，比拟大小：d1_______d2〔填“＞〞、“＝