广东省2021年春季高考数学模拟试卷7含解析

Page12021年广东春季高考数学模拟试卷(7)注：本卷共22小题，满分150分。一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】求出A的等价条件，结合补集的定义进行计算即可.【详解】，则，故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．2．将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取.一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（）A．283 B．288 C．295 D．298【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样的方法，确定样本间隔，求出样本数，最后一个样本的编号即为样本中最大的编号.【详解】根据分层抽样的特点，由第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本间隔为18-3=15，共抽取样本数为，则最大的编号为，故选：B.【点睛】本题考查了系统抽样方法，考查了样本间隔以及样本数的确定，属于简单题.3．下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；时，只说明向的长度相等，无法确定方向，所以B，C均错；时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.故选：A.【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.4．已知函数是定义在的周期为2的函数，当时，，则（）A．1 B．4 C．2 D．32【答案】C【解析】【分析】根据周期性可得，再通过时，可得答案.【详解】解：由已知可得.故选：C.【点睛】本题考查函数周期性的应用，是基础题.5．下列各组角中，终边相同的角是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】将各组角相减，看是否为的倍数.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查终边相同的角的判断，属于基础题.6．是等差数列的前n项和，如果，那么的值是()A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质：若m+n=p+q,则即可得.【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列前n项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化.7．不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：不等式化为，不等式的解集为考点：分式不等式解法8．已知满足，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】设，则的几何意义是点与点之间的斜率，画出可行域即可求出.【详解】设，则的几何意义是点与点之间的斜率，如图，由题意知点，，，，，故选：A.【点睛】此题考线性规划，主要是弄清目标函数的几何意义，属于简单题.9．以下命题正确的有①；②；③；④．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④【答案】A【解析】试题分析：①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②由线面垂直的性质可知结论正确；③中的关系可以线面平行或直线在平面内；④中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内考点：空间线面平行垂直的判定与性质10．已知直线，若，则的值为（）A．8 B．2 C． D．-2【答案】D【解析】【分析】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【详解】由题：直线相互垂直，所以，解得：.故选：D【点睛】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.11．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不妨设两直角边为3,1，可得两正方形的面积，利用几何概型公式计算可得答案.【详解】解：不妨设两直角边为3,1，可得大正方形的边长为，小正方形的边长为2，由几何概型公式可得概率，故选B.【点睛】本题主要考查几何概型的概念和计算，设两直角边为3,1，得出两正方形的边长和面积是解题的关键.12．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上（）A．至少有一实数根 B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根【答案】D【解析】【分析】由零点存在性定理可知f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，而函数f(x)在区间[a，b]上单调，从而可判断结果【详解】解：由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根.故选：D.【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而得到，由此求得正确选项.【详解】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，由正弦定理得，由正弦定理有，故．故选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查两角和的正弦公式以及三角形内角和定义，属于基础题.14．已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数（）.A． B．1 C．或1 D．或2【答案】C【解析】【分析】由三角形为等腰直角三角形，得到圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，即，整理得：，即，解得：或1，故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点线距公式的应用，属于基础题．15．一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】【分析】试题分析：由三视图可知该几何体为正方体去掉一角，其直观图如图缩小，正方体的体积，去掉的三棱锥的体积，因此组合体的体积，故答案为D．考点：由三视图求几何体的体积．二、填空题16．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________.【答案】【解析】【分析】利用可计算数列的通项公式.【详解】，而，当时，，故.填.【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.17．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为_________．【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.18．已知a，b为正实数，且，则的最小值为____________.【答案】4【解析】【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．【详解】解：，为正实数，且，，当且仅当时取等号，解可得，即最小值4．故答案为：4【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．19．已知函数对任意不相等的实数，，都有，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到在上为减函数，从而得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：对任意不相等的实数，，都有，所以在上为减函数，故，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题.三、解答题20．设数列是等差数列，且且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的定义求得或，代入检验，然后根据等差数列的通项公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根据裂项相消法即可求出答案．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，又，则，，，又，，成等比数列，∴，即，解得或，又时，，与，，成等比数列矛盾，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查等比中项的应用，属于基础题．21．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理，可得，结合，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.（2）计算，，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.【详解】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，∵平面，∴，∵在中，，，，∴，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.（2）∵是中点，∴，∵平面，，∴.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.22．如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.【答案】城市A在h后会受到影