2022-2023学年广东省茂名市信宜重点中学高一（下）期末数学模拟试卷（一）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年广东省茂名市重点中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知i为虚数单位，复数z满足z(2−i)=i2020，则下列说法正确的是(

)A.复数z的模为13 B.复数z的共轭复数为−25−15i

C.复数z2.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是(

)A.众数为7和9 B.方差为s²=3 C.平均数为7 D.第70百分位数为83.在△ABC中，已知D为AC上一点，若AD=2DC，则BD=A.−13BC−23BA B.4.已知角α的终边上有一点P(1,3)，则sin(π−α)−sin(πA.1 B.−45 C.−1 5.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA.26 B.25 C.36.若α，β为锐角，sinα=45,cos(α+β)=5A.1665 B.5665 C.8657.函数y=cos2x+π4的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos2xA.向左平行移动π4个单位长度 B.向右平行移动π4个单位长度

C.向左平行移动π8个单位长度 D.8.△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，若a=2，则△ABC的面积的最大值是(

)A.1 B.3 C.2 D.9.下列等式成立的是(

)A.cos215°−sin215°=32 10.已知向量a=(4,3−m)，b=(1,m)，则下列说法正确的是(

)A.若a⊥b，则m=4

B.若m=35，则a/​/b

C.|a+2b|11.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是(

)A.异面直线AC与BC1所成的角为60°

B.直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°

C.二面角A−12.函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则(

)A.f(x)=3sin(2x+5π8)

B.f(x)图象的一条对称轴方程是x=−5π8

C.f(x)图象的对称中心是(kπ−π8,0)，k∈Z13.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且A′B′=1，O′C′=3，O′A′=2，则原梯形的面积为______．14.向量a=(2,3)，b=(−1,2)，则|a−2b15.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：

①若l⊂α，m⊂α，l/​/β，m//β，则α/​/β; ②若l⊥α且m⊥α，则l/​/m；

③若α/​/β，l⊂α，m⊂β则l/​/m; ④l⊥α，m//β，α⊥β，则l⊥m．

其中正确命题的序号是______．16.一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为______．17.已知a=(1,2)，b=(−3,2)，当k为何值时，

(1)ka+b与a−2b平行？18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=AA1=4，点D是AB的中点，AC⊥BC．

(1)求证：AC1/​/19.4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到下表．组号分组频数频率1[0.5)50.052[5,10)a0.353[10,15)30b4[15,20)200.205[20,25)100.10(1)求a，b的值，并在如图中作出这些数据的频率分布直方图；(用阴影涂色)

(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数(精确到0.01)；

(3)现从第4，5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数x=7，方差s2=2，第5组得分的平均数y=7，方差t2=1，则这6人得分的平均数a和方差σ2分别为多少20.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．

①sinA−sinCb=sinA−sinBa+c；

②2ccosC=acosB+bcosA；

③△ABC的面积为12c(asinA+bsinB−csinC)．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．

(1)求C；

(2)若D为AB中点，且c=2，CD=21.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2，AB=3，AD=3，∠DAB=90°，△BCD为正三角形，E是CD的中点，DE=PE，PD⊥BC．

(1)求证：平面PDE⊥平面PBC；

(2)求二面角P−BC−D的余弦值；

(3)求四棱锥P−ABCD的体积．22.已知向量a=(2sinx,2cosx)，b=(3sinx+4cosx,−cosx)，设函数f(x)=a⋅b．

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足f(B答案和解析1.【答案】CD

【解析】解：z(2−i)=i2020，

∴z(2−i)(2+i)=i2020(2+i)，

∴5z=2+i，

∴z=25+15i，

∴|z|=(25)2+(15)2=55，故A错，

复数z的共轭复数为252.【答案】D

【解析】解：结合数据得众数为7和9，故A正确，

平均数是x−=7×3+9×3+5×2+4+810=7，故C正确，

s2=110(32+22+22+12+22+22+22)=3，故B正确，

10次射击成绩从小到大排列分别是：

4，5，5，7，7，7，8，9，93.【答案】D

【解析】解：如图，BD=CD−CB=13CA+BC4.【答案】A

【解析】解：∵角α的终边上有一点P(1,3)，∴x=1，y=3，r=|OP|=10，

∴sinα=yr=310，cosα=xr=110，则5.【答案】C

【解析】解：长方体ABCD−A1B1C1D1的表面可如图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：

(1+2)2+32=32，

(3+1)26.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了两角差的正弦公式及同角基本关系在三角求值中的应用，属于基础题．

由已知cosα，sin(α+β)，然后由sinβ=【解答】

解：因为α，β为锐角，sinα=45,cos(α+β)=513，

所以cosα=35，sin(α+β)=127.【答案】D

【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．

直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．【解答】

解：函数y=cos(2x+π4)的图象向右平移π8个单位，

可得到函数8.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

由已知利用正弦定理可得a2=b2+c2−bc，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，利用三角形的面积公式即可求解．

【解答】

解：由(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，

利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，

即a2=b2+c2−bc，

所以由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=12，

而A∈(0,π)，9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查倍角公式的应用，考查两角和与差的正弦公式和正切公式，是基础的计算题．

利用倍角公式变形求解A与C，利用两角和与差的三角函数计算判断B与D．【解答】

解：cos215°−sin215°=cos30°=32，故A正确；

12sin40°+32cos40°=sin40°cos60°+cos40°sin60°=sin100°=sin80°，故B错误；10.【答案】BC

【解析】【分析】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．

由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】

解：∵向量a=(4,3−m)，b=(1,m)，

若a⊥b，则a⋅b=4+m(3−m)=0，求得m=4或m=−1，故A错误；

若m=35，则向量a=(4,125)，b=(1,35)，由41=12535，可得a/​/b，故B正确；

∵a+2b=(6,3+m)，∴|a+2b|=36+(3+m)2≥6，当且仅当m=−311.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，是较难题．

结合题意逐项分析即可．【解答】

解：对于A，连接A1C1，由题意可得AC/​/A1C1，

所以A1C1与BC1所成的角，即是异面直线AC与BC1所成的角，

因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B=60°，所以A正确；

对于B，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

A(1,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，

AB1=(0,1,1)，AB=(0,1,0)，AD1=(−1,0,1)，

设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z)，

则n⋅AB=y=0n⋅AD1=−x+z=0，取x=1，得n=(1,0,1)，

设直线AB1与平面ABC1D1所成角为θ，

则sinθ=|AB1⋅n||AB1|⋅|n|=12×2=12，∴θ=30°，

∴直线AB1与平面ABC1D1所成角为30°，故B错误；

对于C，平面BB1C的法向量m=(0,1,0)，

12.【答案】BD

【解析】解：由函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图象知：12T=3π8−(−π8)=12π，所以T=π，

即2πω=π，解得ω=2，所以f(x)=3sin(2x+φ)．

因为f(−π8)=3sin(φ−π4)=3，所以φ−π4=π2+2kπ，k∈Z，

即φ=3π4+2kπ，k∈Z．

因为0<φ<π，所以φ=3π4，f(x)=3sin(2x+3π4)，故A错误．

由于f(−58π)=3sin(−54π+3π4)=3sin(−π2)=−3，为最小值，

可得f(x)图象的一条对称轴方程是x=−5π8，故B正确．

令2x+13.【答案】8

【解析】解：因为∠A′O′C′=45°，根据斜二测画法规则知，

所以在原图形中，∠AOC=90°，如图，

梯形OABC是直角梯形，OC/​/AB，且OA=4，AB=1，OC=3，

梯形OABC的面积为S=12⋅(AB+OC)⋅OA=12×(1+3)×4=8．

故答案为：8．

将梯形直观图O′A′B′C′14.【答案】17【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，模长公式，属于基础题．

根据向量的数量积的坐标运算，先求出向量的坐标，再利用向量的模长公式即可求出．【解答】

解：∵a−2b=(4,−1)，∴|a15.【答案】②

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是较易题．

在①中，α与β相交或平行；

在②中，由线面垂直的性质定义得l/​/m；在③中，l与m平行或异面；在④中，l与m相交、平行或异面．

【解析】

解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：

在①中，若l⊂α，m⊂α，l/​/β，m//β，则α与β相交或平行，故①错误；

在②中，若l⊥α且m⊥α，则由线面垂直的性质定义得l/​/m，故②正确；

在③中，若α/​/β，l⊂α，m⊂β，则l与m平行或异面，故③错误；

在④中，l⊥α，m//β，α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故④错误．

故答案为：②．16.【答案】16【解析】解：∵正四面体的外接球表面积为S=4πR2=24π，

∴球的半径R=6，

如图，将正四面体S−ABC放置到正方体中，

则正四面体的外接球直径2R即为正方体的体对角线CD长，

设正方体的棱长为a，则根据正方体的体对角线公式可得：

CD2=(2R)2=3a2，∴24=3a2，∴a=22，

∴该四面体S−ABC的体积为正方体的体积减去三棱锥17.【答案】解：a=(1,2)，b=(−3,2)，

则a−2b=(1,2)−2(−3,2)=(7,−2)，

ka+b=k(1,2)+(−3,2)=(k−3,2k+2)，

(1)ka+b与a−2b平行，则(−2)×(k−3)−7(2k+2)=0，解得k=−【解析】(1)根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解；

(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．

本题主要考查平面向量的共线与垂直，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：设BC1∩B1C=M，连接DM，

D点是AB的中点，M点是BC1的中点，

DM是△ABC1的中位线，所以AC1//DM，

AC1⊄平面CDB1，DM⊂平面CDB1，

所以AC1/​/平面CDB1；

(2)因为DM是△ABC1的中位线，

所以点A到平面CDB1的距离等于点B到平面CDB1的距离，

因为AC=BC=4，点D是AB的中点，所以CD⊥AB，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

又CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，

又AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，所以【解析】(1)设BC1∩B1C=M，连接DM，证明AC1//DM，从而得解；

(2)先得出点A到平面CDB1的距离等于点B到平面CDB1的距离，再证明平面CD19.【答案】解：(1)由表格可知，5+a+30+20+10=100，

∴a=35，

∵0.05+0.35+b+0.20+0.10=1，

∴b=0.30，

则频率分布直方图如下：

(2)由频率分布直方图可知，该组数据众数的估计值为7.50．

易知中位数应在[10,15]内，

设中位数为x，则0.05+0.35+(x−10)×0.06=0.5，

解得x≈11.67，

故中位数的估计值为11.67；

(3)因为第4组和第5组的频数之比为2：1，所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人，

由第4组得分的平均数x=7，方差s2=2，第5组得分的平均数y−=7，方差t2=1，

则这6人得分的平均数a−=4×x−+2×y−6【解析】(1)由频数分布表列方程能求出a，b.由此能作出频率分布直方图；

(2)由频率分布直方图能求出该组数据的平均数的估计值，中位数的估计值；

(3)根据平均数和方差的公式求解即可．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和方差的计算，属于中档题．20.【答案】解：若选①，

(1)∵sinA−sinCb=sinA−sinBa+c，

∴由正弦定理可得：a−cb=a−ba+c，整理可得：a2+b2−c2=ab，

∴cosC=a2+b2−c22ab=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3．

(2)∵C=π3，D为AB中点，且c=2，CD=3，

∴AD=BD=1，

在△ACD中，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，

则b2=4−23cos∠ADC，

在△BCD中，BC2=BD2+CD2−2BD⋅CD⋅cos∠BDC，

则a2=4−23cos∠BDC，

因为∠ADC+∠BDC=π，

所以cos∠ADC=−cos∠BDC，

则b2+a2=2(1+3)=8，①

又∵由余弦定理c【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

若选①，(1)由已知利用正弦定理可得a2+b2−c2=ab，利用余弦定理可得cosC=12，结合C的范围即可求解C的值．(2)在△ACD和△BCD中运用余弦定理，可得：b2+a2=8，又由余弦定理可得4=a2+b2−ab，联立方程可求a，b的值;

若选②，(1)由正弦定理化简已知等式可得：2sinCcosC=sinC，结合sinC≠0，可求cosC=21.【答案】证明：(1)∵△BCD为正三