2023年黑龙江省伊春市统招专升本高数自考模拟考试(含答案)

设f(x)是COST设f(x)是COST的一个原函数,则Id/(X)=A.sin.rIC 13.—sin.rI('(二—cos.i',C.不定积分jcos?yd.r=A.J-/-J-sirtr+(、乙 JC.x-siirr+C，--1 _A.1 B,1B.+JsifLT+CD.x+s\njr+C()D.-12023年黑龙江省伊春市统招专升本高数自

考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（20题）・ICOSKIdj：= （ ）~0A.0 B,1 C.2 D.4）5.［答案］D=-1•所以【精析】令F（j.y,z）=-1•所以2.F（1.-2.3>2.F（1.-2.3>=-1,即所求切平面的法向最为{2,—2,—1），故所求切平面方程为2（x—I）—2（、+2）—（之一3）=0,即21一2y—z—3=0.8.B［答案］B-11【精析】（a】aa,cti）=fl则a1・a?・a4.内的极大无关组为69.B【精析】原方程可化碑=6+2m.为可分离变量的方程,分离变量可得=（2/+2、r）&r,两边积分.（2/+2、r）di,得（2/+2、r）&r,两边积分.J10.C【精析】由导数几何意义，切线斜率归=“=i—e,，乂切线与1轴平行，故6=0,即1—ez1—ez=0.解得x=0.代入曲线方程3,=z—e，得y=—晨所以切点坐标为（0,-1）.11.C【精析】微分方程对应的特征方程为八+4=0,解得小2=±2i,故方程的通解y=C］cos2jc+C2sin2jr.【精析】 lim———口【精析】 lim———口X =limzsimx->0J•(一■)413.D【精析】limy=lim【精析】limy=lim1,则其水平渐近线为.y=1•故应选D.r3f'2r3f'2r2x-4-D21-31一1〕门一「2fl2-2；20【精析】(AB)=12—220f'2-2rt ►「3+口0-31;-3-1-1k.3?-25/050：05cl2-22fl2a0一4010厂3+3r2-3r—421r—421因此X= =-315.A【精析】'coso.r5.r)15.A【精析】'coso.r5.r)f-(sin31)’=-5sin5.r-3cos3^\16.A［答案1A【精析】令f=h+1•则/=f— =(f—1>•人所以/(/)=/(n—1)。17.C［答案］C【精析】lim，—2:2O.r+2=4，所以Jr=1为曲线的水平渐近线,故应选C.18.C【精析】中'(.r)=/(］),夕"(Q=/'(I)>0•所以*(k)在内是凹的•因为所给条件不能确定/(/)与0的关系,故不能确定以/・)在［。，口上的单调性.【精析】曲线》="2与3r2=Inj相切，故存在外＞9使»（%0）=了2（/0）且Vl（/o）=，（/0）Q，心彳=InTo•即J1解得4=3•代回方程组得〃=;TOC\o"1-5"\h\z26。=—. 2e19.D “°20.C［答案］C丁2x 1r-1 2 1 2【精析】呵占）=呵（1+占）］（1+r）=/"=犬.故应选C.［答案1【精析】由公式得v=e+如（卜如/血dr+C）=e-?1+C）,令/=0,得、y=C=。■故所求特解为y=二"/.2O［答案1-f【精析】函数h:匕：在对称区间［-1J］上为奇函数,因而原积分=-「Md.r=i —Io2T- 2［答案］2—］【精析】sinY、l+V在［-1.口卜.是偶函数•＞在1-1.1］卜.是奇函数•故;sm巨在1—、11,1］上是奇函数，由奇函数在对称区间上的积分性质可得二十Msini'd1+二十Msini'd1+xz而必+o=＞（i一—）山=(.r—arctan.r)I-V=学/_1e6-TOC\o"1-5"\h\z“ 2 2【精析】该微分方程对应的特征方程为产一8r+12=(「一2)(「-6)=0.解得特征根为门=2,厂2=6,故方程的通解为y=Ge>+Ge",5'=2(；/+6(’2，”•代入初始条件得「+3- 解得G=9C=-4,故所求特解为尸畀|2G+6G=10. 2 2 2 2yF(2j)+CJ【精析】/(2i)cLr=JI/(2k)d(2.T)=-^-F(2,r)+C.J 4J 4tany=(Ke**-I)3【精析】方程分离变量为产ydw+组&dy=o•即弹=各7dl.积分得1-etany tanve-1In|tanv|=31n|er—1|+G♦所以方程的通解为tanjr=C(el—1)3.(1+e*)1n(1+e4)—e'+C【精析】设In.r=f♦则才=e'./(/)=ezln(1+ez),f(i)dw=er1n(1—e,r)di=ln(l十u')d(l十e‘)J J J=(1+er)•ln(1+eJ)—e2cLr*=(l+eOln(l+ev)-er+C.1+y+22+1=0ijk【精析】该平面的法向量〃J_q，〃_L8，用向量积求〃,〃=—2 0 1=(1.1,2).1 -10该平面方程为(①-1)+()，-0)+2(2+1)=()•即？+)，+2之+1=0.［答案］［答案］13【精析】29.13/3y=2。在［1,3］上的平均值为里二=\

O-i 【精析】29.13/330.【精析】|喳=lim|些=lim2，F=lira(2-2&)=2,所以该广义积分收敛.J"4rc)&(工u-*o'a m十31.N［答案］x【精析】•・、=（一24.”'=>—2,当［―5.—⑶时，/>0,），单调递增；当x6（一9，1］时,）/VOr单调递减.【精析】当1f0时.2/-3k+2f232—41+3-3.32.Y33.N【精析】［答案］【精析】/（z）dz=/,对题中等式两边取［—1,1］上的定积分,

111+s]¥dv—2I,)1+ri1+sin.rrjriS1DTri1+sin.rrjriS1DT1=—arctan-r1=lirn-

o.「一、故lin】/O)=liin1=lirn-

o.「一、1十.r-34.Y［答案］V【精析】因为极值点在驻点或不可导点处取得•函数在定义域（—2•+3）内无不可导点，故/（X）的极值点••定是驻点.35.N【精析】通解中含有任意常数,故丫=sirur不是方.程的通解，但\=siru满足/+T=0•是该方程的解.36.Y［答案］7【精析】因为/Q）在［—1.门上连续.在（一1.1）内可导.且/（—1）=/（1）=1.所以/（#在1―1.口上满足罗尔中值定理.［答案］XN【精析】«'=/（八/）为达到降阶的目的.需令'="S=38.N【精析】有限个无穷小的和一定是无穷小，而无限个无穷小的和不一定是无穷小.例如〃->8时工是无穷小.但〃个工相加（无限个无穷小之和）=〃•工■=1不是无穷小.n n n39.N［答案］x【精析】由函数丁=I：'—3/+21—1可得y=312—6I+2.y=6?—6.令y=0•即6］-6=0,则/=L当1>1时.y”>0;当/V1时V0.又当.r=1时”=一1，所以可得（1.—1）为函数了=/—3/+2?-1的拐点.注：也可通过验证点（1.1）不在曲线上,可知该命题错误.40.Y［答案］J【精析】［/（一?）了=—/（—?）.若/（.「）为精函数,则［/（一1）了=［一/（.r）了=一/（.「）.所以一/'（—.「）=—/'（.「）•即/（一.「）=/'（才）,故/'（.】、）是偶函数.41.【精析】Jr，e〜didy= dy d.rt>J •：lJ”t）r.，=一丁w》）0MMTOC\o"1-5"\h\z1 2 ।12—v I=rc丫 +•n o1 1————p-6e 6 u11不一南42.【精析】由/(r)在r=0处连续•则 =limf(.r)=/(0),TOC\o"1-5"\h\z,r ,ri_ 、枭尸1即limc?S"‘=lim-；=—a2=L得a=±&.>、• k /Asin.r+cos/d/lim=lim(bcosjr+cost")=/>+1=1.得A=0・r□ I，43.【精析】原方程对应的齐次方程的特征方程为产+「-12=0•解得厂】=-4,r2=3.所以对应的齐次方程的通解为丫=CL+C*LA=-1不是特征方程的根•故设原方程的特解为=e-RAz+8),则(5**)'=e"J(—Ar—B+A)■(=6一"<Az+B—2A),代入原方程得b，(Ar+B—2A)+e~T(—Ar—3+A)—12e-J(Ar+B)=(/+2)e).-12A=】•一-12A=】•一A—1213=2*解得1口23

12^=~144所以原方程的特解为<=}(一/一含)•\1Z144/1 24、故原方程的通解为了=Ge-s+C2-+e)(一雪上一出.\1Z 144/44.【精析】设所求平面的法向最为〃.因平面过点M⑶一5.1)和MU2)•且MJVT={1,6.1}•故〃一环丽"又所求平面垂直于已知平面,且已知平面的法向量心=(1,一8・3}.故〃_12.所以〃可取与环跖X孙平行的向量.ijkM；M又如=1 61={26.—2.-14>=2{13.一1.一7>.1-83故可取”=<13.—1.—7},又平面过点M(3.—5,1),故所求平面的方程为13(—3)—(>+5)—7(2f-1)=0•即平才一y—7n—37=0.【精析】原式=「T^d.r+「T-v-zdT--11+3 1u1+4广=ln(1+=ln(1+c')o+-i—dr...1+(2、j=ln2—ln(1+e-1)+-yarctan(2jr)I)乙I)=ln2—ln(1+e-1)+-y.o【证明】令f(£)=er—1--yjc2—ln(x+l)，则=e'一z一/，3)=e/一1+当z>0时，/〃(z)>0,所以/(T)单调递增，且，(口在0),十8)上连续，则%>0时，，(2)>/'(o)=o,从而/(/)单调递增，且f(z)在［0,十8)上连续，所以7>0时，/(/)>f(0)=0,即e"-l>-y^+ln(x乙+1).47.【证明】设gD=arctaixz—arcsin—工■则/FT7715/I+T2—=0,•>故=C.又令丁=。可得g(0)=Oy所以=0恒成立.结论得证.48.【精析】设场地的正面长度为I米,侧面长度为了米.墙的高度为〃米・则心，=150,所使用的材料费用为L=6H+3M+6M=9、M+6yl•将V=122代人得,L=9.出+竺”.则//=9A-吗公.r 、r .r令//=0得w=10(w=-10舍去)，//=当当=1.8//>0..'..r=10是极小值点•此时、=15.由于］0为唯一驻点.由实际问题知当场地的iE面长为10米.侧面长为15米时.所用的材料费用最低.【精析】设矩形的一边长为1,则另一边长为P—I,设矩形绕长为2—1的一边旋转，则圆柱体的体积为V=nx2（p-x）.o<x<则=2六工（一一力）一九小=—3工），令V,=0,解得驻点为工=5•力.由于驻点唯一•且圆柱体一定存在最大体积.所以当矩形的边长为学和4时.绕短边旋转所得Oo圆柱体积最大.【精析】设存储箱的长和宽分别为I和〉则高为工，用料最省即表面积最小,表面积VV, 八/2VS=2xv+2v-—+ •—=2.rv+—+—.令S/=2v-*=0,Sv=2i一驾=0®旷可解得唯一的驻点（小,刀），因为实际问题用料最省的设计方案一定存在.故唯一的驻点对应的就是函数的极值点,也是最值点9此时高为VTv•此时高为VTv•Tv/，故存储箱的长、宽、高均为方时.木板用料最省.【精析】设为Xm.则1<^<4.由题可知圆柱和圆锥的底面半径相同.且R=732-（^-1）2=/9一（才-1）"则帐篷的体积为V=1•汽• •（工-1）+兀R2•1、）=近9—5—1为三，

■Jz l r+2-I 1 一V=r•—2（j，-1）:~~+k•—[9—Ci—1）*1=五（—十4）•J 3令V-=0得,r=2,且1产（2）=—"<（）,故V在7=2处取得极大值，由于实际问题最值存在,且驻点唯一•故V在i=2处取最大值•即当顶点。到底面中心（））的距离为2m时.帐篷的体积最大.【精析】（1）由题意,联立方程jy=In.r. =1nr.严Iy=1.I>=1.[jy=L1=L解之得交点分别为(1•())•«.1),(。，1),所以G的面积为a" 1 . 1 1 2A= 3+y-1)dy=(e'+—y1—y)=e+——1—1=e——；(2)V=Tte2vdjr—Ttl(I-+》(1—w=-ye2—In Jn Z0 3 (iL b已知/（1）的一个原函数为等.则白已知/（1）的一个原函数为等.则白(V7)ck=6.用待定系数法求微分方程/+2/=r的特解时•应设特解为 （ ）y'=&丫JD.vA= *+历7.曲面之&+5曲面之&+5在（1，-2,3）处的切平面方程为A.2xA.2x+2y+z—3=0B.2j-+2,y—7+3=0C<21-C<21-2y+七+3=0D.—2y—z—3=00i一12-0i一12-1设向量组a1=,a=*<X1=1—11-1个极大线性无关组是A.a•a?•a$，aiC.at.a>・a?1-1oa一0B.6，。20D.a：aB.y=Ce+J+hD.y=e+28.0、0］，则向量组6处・%・6的—1方程乎=2凸+2处的通解是, 1<4.2\.y=e^J+|C,y=Ce'直线L与才轴平行且与曲线y=z-e”相切，则切点的坐标是B.(-M)C.(0,-1)D.B.(-M)C.(0,-1)D.(0,1)11.).A.y=G+CBC.y=C]cos2t+Gsin2t微分方程口).A.y=G+CBC.y=C]cos2t+Gsin2tB.y=(G+C2I)/D.y=e2r(C]cos2t—C2sin2T)TOC\o"1-5"\h\z若h―►()时，(1—ax2)—1与NsiiLr是等价无穷小，则a= ( )1A.14 B・—41C. D.44函数y= 的水平渐近线是 ( )才+Zsin.zA.y=。B.y=；C.y=J D,y=114.已知矩阵A、B满足矩阵方程AX=B,已知矩阵A、B满足矩阵方程AX=B,其中A= 1-10，则542-4242,-421A.01B.01C.01D.0132-/32324 >一32、/123-3i 1—2 = 22 -215.,设函数y=15.,设函数y=cos5t—sin3.r•则j/=A.-5sin5.r-3cos31cos5a—sin3.rB.5cos5上+3sin3jcosSr+sin3.r16.若/(①+1)=Z?(①+1)9则/(JT)=I)2D.①2(lD曲线/（X）=F£髻。叶2的水平渐近线为3-B.y=—18..设/（］）在［〃》］上可导•且/'（.r）＞0,若9（/）='/（QE,则下歹IJ说法正确的是J0A.勺（A.勺（r）在上单调减少C.9（文）在［a•〃］上为凹函数B.g（i）在［q•切上单调增加D.研1）在［aD［上为凸函数.已知曲线了=与y=In/相切,则a极限地（3）的值是二、填空题（10题）微分方程*+2.斗，=e-?满足v（0）=0的特解为定枳分产（--—1klr=+、/siru'i_方程，-8y'+12»=0满足初始条件yI》。=6~'L=0=10的特解是设F(.r)是/(.r)的一个原函数，C为任意实数,则f(2i)d才=•,微分方程3eJtanvd.r+<1—)sec2vdv=0的通解是设f(Ini)=iln(1+i).则j/(t)dr=」过点(l・0.一D且平行于向量。=(―2.0.1)和b=(1,—1・0)的平面方程为 函数了=/在［1,3］上的平均值为47■ 「dr广义积分，心是的(填“收敛”或"发散”).30.三、判断题(10题)A函数了=1一2、r在区间［―5,口上单调减少. ( )A.否B.是r2工一3jt+2_2TOC\o"1-5"\h\zhm " ~~ q•A.否B.是cJ，A.否B.是设/（.，>是连续函数•满足/（，丁）=毕亚"一［./"）dw,则=%（ ）1一—J-I ।*••• 6A.否B.是函数/（T）=/+3］—4的极值点一定是驻点. （）A.否B.是了=sin./是方程、"+.V=0的通解.A.否B.是TOC\o"1-5"\h\z在区间［—1.1］上•函数/（”）=厂口满足罗尔中值定理. （ ）乙厂一1A.否B.是已知、；'=/（.r,，）.令v=/>,则=p半. （ ）- .dyA.否B.是oo无限个无穷小的和还是无穷小.ahn日A.否B.是曲线》・=V—3/+2w—1的拐点为（1,1）. （）A.否B.是若函数/(工)是奇函数且可导•那么/(7)的导效，(I)是偶函数.A.否B.是四、计算题(5题)计算1%一/心心.其中。为由直线=N"丫=1及y轴围成的平面闭区域.1—COS4W -八 3 ・ V()9、厂设/(、r)=J' 1二°'在、T=0处连续,试求常数a，。.6sin<r+cos/Jd/求微分方程S+y—12^=(1