数学人教B版选修2-3本章整合第二章概率

本章整合知识网络专题探究专题一：相互独立事件的概率与条件概率【应用】某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、,,，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．提示：本小题考查概率知识．(1)同学得300分必是第一、二题一对一错，这样得100分，而第三题一定答对，所以一共得分是300分．(2)至少300分，意思是得300分或多于300分，而本题包括两种情况：一种是得300分，另一种是得400分，两种概率相加即可．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为P1＝P(A1eq\x\to(A2)A3)＋P(eq\x\to(A1)A2A3)＝P(A1)·P(eq\x\to(A2))·P(A3)＋P(eq\x\to(A1))·P(A2)·P(A3)××××0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率为P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)·P(A2)·P(A专题二：离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是解决两个问题：一是随机变量的可能取值；二是随机变量取每一个值时的概率．针对于不同的题目，应认真分析题意，明确随机变量，正确计算随机变量取每一个值时的概率．求概率主要有两种类型：(1)古典概型，利用排列组合知识求解；(2)独立重复试验，即X～B(n，p)，由P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k计算．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，利用这一性质可以由概率的分布列求出随机变量在所给区间的概率．【应用】如图是一个从A→B的“闯关”游戏．规则规定：每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1,2,3,4的均匀的正四面体．在过第n(n＝1,2,3)关时，需要抛掷n次正四面体，如果这n次面朝下的数字之和大于2n，则闯关成功．(1)求闯第一关成功的概率；(2)记闯关成功的关数为随机变量X，求X的分布列．解：(1)抛一次正四面体，面朝下的数字有1,2,3,4四种情况，大于2的有两种情况，故闯第一关成功的概率为eq\f(1,2).(2)记事件“抛掷n次正四面体，这n次面朝下的数字之和大于2n”为事件An，则P(A1)＝eq\f(1,2)，抛掷两次正四面体面朝下的数字之和的情况如图所示，易知P(A2)＝eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).设抛掷三次正四面体面朝下的数字依次记为：x，y，z，考虑x＋y＋z＞8的情况，当x＝1时，y＋z＞7有1种情况；当x＝2时，y＋z＞6有3种情况；当x＝3时，y＋z＞5有6种情况；当x＝4时，y＋z＞4有10种情况．故P(A3)＝eq\f(1＋3＋6＋10,43)＝eq\f(5,16).由题意知，X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝P(eq\x\to(A1))＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝P(A1eq\x\to(A2))＝eq\f(1,2)×eq\f(3,8)＝eq\f(3,16)，P(X＝2)＝P(A1A2eq\x\to(A3))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(11,16)＝eq\f(55,256)，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)×eq\f(5,16)＝eq\f(25,256).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,2)eq\f(3,16)eq\f(55,256)eq\f(25,256)专题三：离散型随机变量的期望与方差期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在期望这一概念之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中应用广泛．求离散型随机变量X的期望与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率或求出P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出E(X)；(5)由方差的定义求D(X)．若X～B(n，p)，则可直接利用公式求：E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【应用1】设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.提示：(1)在分析取到两球的颜色时，要注意是有放回地抽取，即同一个球可能两次都能抽到；(2)根据计算数学期望与方差的公式计算，寻找a，b，c之间的关系．解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36)，所以ξ的分布列为ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由题意知η的分布列为η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9)，化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2【应用2】投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．，．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及数学期望．提示：本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、分布列及期望的相关知识．解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋BC，P(A×0.5＝0.25，P(B)＝2××0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝P(A)＋P(B)P(C×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，所以P(X＝0)＝(1－0.4)46，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)××(1－0.4)36，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×2×(1－0.4)26，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×3×6，P(X46.因此X的分布列为X01234P66666期望E(X)＝4×0.4＝1.6.专题四：数学期望在风险与决策中的应用在日常生活中，人们经常要面临“风险”．为了减少风险，我们决策时必须平衡极大化期望和极小化风险这样矛盾的要求，还必须在一个多阶段过程的每一阶段作出决策．但是始终有一条指导性原则：尽你的最大努力去决定各种结果在每一阶段出现的概率及这些结果的价值或效用，计算每一种行动方案的期望效应并断定给出最大期望效应的策略．这也就是说利用随机变量的概率分布计算期望值后，就可以选择能给出最大期望值的行动．【应用】某突发事件，，一旦发生，将造成400万元的损失，现有甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)解：(1)不采取预防措施时，总费用损失期望为400×0.3＝120(万元)；(2)若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)；(3)若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失