近世代数考题整理

、二、(45分)单项选择题和填空题的知识点:任何有限群G的子群H的阶数是G阶数的因子任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。P31-32第一定义：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群G对于这个乘法来说是闭的结合律成立a(bc)=(ab)c，对于G的任意三个元a,b,c都对对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b都在G里有解第二定义：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群G对于这个乘法来说是闭的结合律成立a(bc)=(ab)c，对于G的任意三个元a,b,c都对G里至少存在一个左单位元e，能让ea=a，对于G的任何元a都成立对于G的每一个元a，在G里至少存在一个左逆元a-1，能让a-1a=e什么是一个群G的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，也说G是由a所生成，并且用符号G=(a)来表示，a叫做G的一个生成元P63什么叫做结合律？给出一个集合和集合上的运算，会判断该运算是不是可结合的。一个集合A的代数运算o适合结合律，对于A的任意三个元a,b,c来说，都有(aob)oc=ao(boc)已知群G的元素a的阶是n,那么am的阶是。(n,m)环、整环、除环、域的定义。环：一个集合R叫做环R是一个加群，R对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群R对于另一个乘法的代数运算来说是闭的这个乘法适合结合律：a(bc)=(ab)c，不管a,b,c是R的哪三个元两个分配律都成立a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca，不管a,b,c是R的哪三个元整环：一个环R叫做整环，假如(1)乘法适合交换律ab=ba(2)R有单位元1：1a=a1=aR没有零因子：ab=0->a=0或b=0a,b可以是R的任意元，整数环是整环除环：一个环R叫做一个除环R至少包含一个不等于零的元R有一个单位元R的每一个不等于零的元有一个逆元域：一个交换除环叫做一个域一个除环没有零因子。一个除环R的不等于零的元对于乘法来说作成一个群R*什么是单位元，什么是一个元的逆元素，单位元和一个元素的逆元素唯一吗？单位元：一个环R的一个元e叫做一个单位元。唯一的单位元逆元：一个有单位元环的一个元叫做元a的一个逆元唯一的逆元8、什么是单位元，什么是…个元的逆元素，单位元和…个元素的逆元素唯…吗？【定义】-个群G的唯-的能使心鹿"(口是G的任意元)的元£叫做群G的单位无【定义】曝一的能使"口=皿的元/叫做元灯的逆元(有时简称逆人单位元和一个元素的逆元素足唯一的"什么叫做一个群的左、右陪集，有限群的左、右陪集的个数是什么关系？群的左陪集：a~'b,当而且只当bA(-i)aeH,由这个等价关系~'所决定的类叫做子群H的左陪集，用符号aH表示；群的右陪集：右陪集：a~b,当而且只当abA(-1)^H,由这个等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集，用符号Ha表示；有限群的左右陪集的个数相等9.什么叫融一个群的左、右陪年.有限捽购左、右陪集的个数是什么关乘？由等价关丢〜所决定的类叫做子計厅的右陪集。包含元卫的右陪旅用符号屉來卷示.hJr'dEH.Ha为右陪集°由等价关系」所决定的类叫他子群丹的左陪集.包含元口的左陪集用捋号然H來證示°廿〜佔' 、aH为左陪集.左陪集和右陪集牛数相锌。环无零因子是什么意思？一个没有零因子的环R,里面所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的无零因子的特征是什么意思？一个无零因子环R的非零元的相同的阶叫做环R的特征有限群G的任何元素的阶数都是G阶数的因子。集合的直积是怎么定义的。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为AXB,即AXB={(X,y)|x$A且y^B}。循环群的子群是循环群吗？是一个集合可以和其真子集建立一一对应吗?不可以三、问答题知识点(25分)正规子群,举例说明一个群G的一个子群H叫做一个不变子群(正规子群)，假如对于G的每一个元a来说,都有Na=aN(p70)例子：一个任意群G的子群G和e总是不变子群，因为对于任意G的元a来说，Ga=aG=G,ea=ae=a循环群,举例说明若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说G是由元a所生成的。并且用符号G(a)来表示。A叫做G的一个生成元。举例:任意素数阶数的群是循环群。有限域,举例说明一个只含有限个元素的域叫做一个有限域。例子：特征是p的素域就是一个有限域。5.群的左、右陪集，举例说明假设一个群G和它的一个子群H,规定G的元a,b中间关系~：右陪集：a~b,当而且只当abA(-l)EH,由这个等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集，用符号Ha表示；左陪集：a~'b,当而且只当bY-1)aWH,由这个等价关系~'所决定的类叫做子群H的左陪集，用符号aH表示；例如：G={(1),(12),(13),(23),(132),(123)}；H={(1),(12)}；子群H把群G分成了H(1)={(1),(12)}H(13)={(13),(123)}H(23)={(23),(132)}三个右陪集；子群H把群G分成了(1)H={(1),(12)}(13)H={(13),(123)}(23)H={(23),(132)}三个左陪集；原根，举例说明设Ovavp，使得素数Z的乘法群Z*=<a>，这样的正整数a称为模p的一个原根。举例：设p=41，贝川Zp*|=40=2八3*5,故a是模41的原根的充要条件是aA8^1,GA20H1。p由于1A8=1,2A20=1,3A8=1,4A20=1,5A20=1。但是6A8=10H1, 6A20=40H1。故6是模41的最小原根，Z41*=<6>。等价关系，举例说明集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如~满足以下规律：I反射律：a〜a，不管a是A的哪一个元II对称律：a〜b—b〜aIlla〜b,b〜c—a〜c若a〜b，我们说a与b等价。举例：“等于”是满足这个等价关系的系统同态，举例说明（找不到）检错和纠错（找不到）理想和商环理想：环R的一个非空子集U叫做一个理想子环，简称理想，假如Ia,b^p=>a-b^pIlaUp,r$R=>ra,ar$p商环：设R是一个环，I是环R的一个理想。由于I是环R的加群的正规子群，（R/I,+）是交换群，其中R/I={a+l|aUR}o定义R/I上的乘法“・”如下：（a+I）・（b+I）=ab+I,任意a，bUR。可以看出（R/I，+，・）是一个环。我们就将这个环（R/I,+，・）称为环R关于理想I的商环四、证明题知识点（30分）1.lagrange定理。P.69（定理2）证明过程：G的阶N是有限的，H的阶n和指数j也都是有限正整数。G的N个元被分成j个右陪集，而且根据引理：一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个一一映射，每一个右陪集都有n个元，所以N=nj。例1. P.94证明过程：例1我们看一个模是索数）的剩余类环黑我们说材]是-亍域. I我们只须证明尸的不等于零的元作成一个乘群FJ因为乘法适合结合律，而尸又是一牛有限集合，F•作成乘群的条件是：【尸•对于乘法来说是闭的，1\消去律成立，但】•由于户是素数、p\p\ ab这就是说*[毎]H[o]・[占]誕Co]=>「谊1[刃=[起占]换询话说.[QN⑷CF8[小[幻£尸■J p\ax—a^—a（北一丘）*p\a=>p\jc^^这就是说*SG [d]=A[0]=>[幻换一旬话说*Ml>]=0][H],R]EF=R]=[>?一这样，F：杲坐是一牛乘群*而F是_个域.定理1p.72证明过程：定理1一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是；aNa^v=N对于G的任意一个元a都对证明假如N是不变子群*那么对于&的任何逢来说，aN=Na这样*aNa^^（aN）a^=（Na） ^Ne^N假如对于G的任何屛来说，qNL=N那么Na=（aND应=（辺）（U=〔册）毛=少N是不变子群”证完. 、亠，定理p.88定理在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：aHO,ab=acdb=caHO.ba=ca*b=c反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零