第44讲 双参数问题(解析版)_第1页
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第44讲双参数问题1.已知不等式对一切都成立,求的最小值【解答】解:令,则,若,则恒成立,时函数递增,无最值.若,由得:,当时,,函数递增;当时,,函数递减.则处取得极大值,也为最大值,,,,令,,上,,,上,,,.的最小值为.故选:.2.已知为自然对数的底数,,为实数,且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时,求的值【解答】解:由于.此不等式对任意恒成立,则需要保证.令,则从而,从而.另一方面,当,时,即为,设,则得,故在上单调递增,在上单调递减,从而,即,可使不等式恒成立,从而可取.综合上述,当取最大值时,.故选:.3.设函数,若不等式对任意恒成立,求的最大值【解答】解:由题意可知,对任意恒成立,等价于,如图,与轴交于点,直线在曲线上方,则直线与轴交点小于等于,即,所以,的最大值为,故答案为:.4.已知函数,,若,,求的最小值【解答】解:由题意可得在恒成立,即在上恒成立,令,,,,当时,恒成立,在上单调递减,且,,不符合题意,当时,令,可得,可得,可得,所以,令(a),,则(a),,令(a),可得,,(a),(a)单调递减,,(a),(a)单调递增,所以,(a),故答案为:.5.已知函数为自然对数的底数).(Ⅰ)求的极值;(Ⅱ)若,求的最大值.【解答】解:(Ⅰ)函数,则,在上递增,且,当时,,当时,,故为极值点:(Ⅱ),,即,等价于,得:①当时,在上单调性递增,时,与相矛盾.②当时,,此时,,此时,当时,取得最小值为即那么:令,则,可得,,可得.当时,取得最大值为.即当,时,取得最大值为.故得的最大值为.6.已知函数.(1)若,且,求证:;(2)若时,恒有,求的最大值.【解答】解:(1),,单调递增,又,在上单调递减,在上单调递增,要证,不妨设,则,,下证,即证,构造函数,,,即在上递减,而,,为单调递增,,,,原命题成立.(2),恒成立,令,则,①当时,在上单调递增,且时,,不符合题意,②当时,,③当时,令,得,在,单调递增,,单调递减,,令,,,在递增,递减,.7.已知函数,为自然对数的底数),且在点,(1)处的切线的斜率为,函数.(1)求的单调区间和极值;(2)若,求的最大值.【解答】解:(1),,所以(1),解得;所以,,又,故为上的增函数,而,所以当时,,在,上为增函数,当时,,在上为减函数,所以时,取得极小值1,无极大值.(2),令,则,①当时,,故在上递增,时,与矛盾;②当时,由,得:,由,得,故时,,即,,令,则,,解得:,,解得:,时,,即当,时,的最大值为,的最大值为:.8.已知函数满足(1).(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.【解答】解:(1)由(1),令,得(1)(1),所以;令,得(1),所以(1).所以的解析式为.因为单调递增,且,所以当时,;当时,.所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(2),①当时,恒成立,所以在上单调递增,当时,,与矛盾.②当时,在,上递减,在,上递增,所以所以,又,所以令,则所以在上递增,,上递减,即.所以当时,取到最大值,为.9.已知函数,,,.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若恒成立,求的最小值.【解答】解:(Ⅰ)函数的定义域是,,令,解得:或,①时,令,解得:或,令,解得:,故在递增,在递减,在递增,②时,,在递增,③当时,令,解得:或,令,解得:故在递增,在递减,在递增;(Ⅱ),设,则,,令,得,设,由于在递增,当时,,当时,,故存在唯一,使得,即,当时,,故在递减,当时,,在,递增,当时,,恒成立,故,即,故,设,,则,令,解得:,故在递减,在递增,故(1),故即,时,.10.已知函数,.(1)若曲线在点,(1)处的切线方程为,求,的值;(2)已知当时,恒成立,求的最大值.【解答】解:(1)函数的导数为,可得在点,(1)处的切线斜率为,切线方程为,可得,,解得,;(2)由的导数为,当时,函数递减;当时,函数递增;可得的最大值为0,即,当时,恒成立,即恒成立,只要恒成立,即,,可得,即的最大值为1.11.已知函数,,,.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线为:,求,的值;(3)若恒成立,求的最大值.【解答】解:(1)当时,,,令,解得,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增;(2),,切线斜率,解得,当时,,即,解得;(3)由恒成立,可得,即,令,则,当,即时,,函数单调递增,当时,,故不满足题意,当时,令,解得,当时,,当时,,在,上单调递减,在,上单调递增;恒成立,,令,,,令,解得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,(e),从而当,时,的最大值为,综上的最大值为.12.已知,,设函数.(Ⅰ)若,求的单调区间;(Ⅱ)当,时,的最小值为0,求的最大值.注:为自然对数的底数.【解答】解:(1)当时,,,当时,,所以单调递增,当时,在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)当时,,,下面证等号可以取得:,,解得,即证:恒成立,,,,单调递增,单调递增,单调递增,,单调递增,考虑到,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,,的最大值为.13.设函数.(Ⅰ)求的单调区间和极值;(Ⅱ)若对一切,,

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