第39讲 指对函数问题之指数化与对数化（解析版）

第39讲指对函数问题之指数化与对数化1．已知关于的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围【解答】解：由不等式对于任意恒成立，可得，令，，则由题意可得，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减．故，即恒成立，当时取等号，又，当时取等号，即，令，则，易得函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，且（1），由（e），即与的图像有交点，所以等号成立，所以．故答案为：．2．设函数．（1）证明：，都有；（2）若函数有且只有一个零点，求的极值．【解答】（1）证明：令，，则，令，可得，令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为（4），所以，所以，都有．（2）解：由，得，则，所以，所以的零点个数等价于方程解的个数，令，则，且（a），所以在上单调递增，在上单调递减，又因为（1），且由（1）知，则当，，所以时，（a）有且只有一个解，所以若函数有且只有一个零点，则，此时，所以，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，（1）（e），所以当时，，当时，，当时，，所以当时，，则，则，同理可得，当时，，当时，，所以和分别是函数的极大值点和极小值点，所以时，的极大值为，极小值为0．3．已知函数．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）证明：为自然对数的底数）．【解答】解：（1）因为，所以，因为是函数的一个极值点，故（1），即，当时，当经验得是函数的一个极值点，所以．（2）因为在，上恒成立，所以．当时，在，上恒成立，即在，上为增函数所以成立，即为所求．当时，令，则，令，则，即在上为减函数，在上为增函数．当时，，这与矛盾．综上所述，的取值范围是，．（3）要证，只需证．两边取自然对数得，，上式等价于，只需要证明，只需要证明，由时，在单调递增．又，，，从而原命题成立．4．已知函数，其中，．（1）讨论函数在区间，上的单调性；（2）求证：．【解答】解：（1），当，时，，所以在，单调递增，当，由，得，所以在，单调递减，当时，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．（2）不等式，即，为此先证明：，由由（1）知，当，在单调递增，，即，令，则有，故．由（1）知，当，在单调递减，，即，令，则有，故．综上，对，恒成立，所以．5．已知函数．（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）证明：是自然对数的底数）．【解答】解：（1），，，（1），即；（2）在，上恒成立，，当时，在，上恒成立，即在，上为增函数，成立，即，当时，令，则，令，则，即在，上为减函数，在上为增函数，，又，则矛盾．综上，的取值范围为，．（3）要证，只需证两边取自然对数得，，即证，即证，即证，由（2）知时，在，单调递增．又，，所以，所以成立．6．已知函数．（注（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）证明：．【解答】解：（1）函数．函数．是函数的一个极值点，（1）；（2分）（2）在，上恒成立，，（3分）当时，在，上恒成立，即在，上为增函数，（4分）成立，（5分）当时，令，则，令，则，（6分）即在，上为减函数，在上为增函数，，又，则矛盾．综上，的取值范围为，（8分）证明：（3）要证：，只需证．两边取自然对数得，，（9分）即，即，即，（11分）由（2）知时，在，单调递增．又，，（13分）成立（14分）7．设函数，其中为实数．（1）当时，求在区间，上的最小值；（2）求证：．【解答】解：（1），，当时，又，上，，那么在，上单调递增，，即，所以在，上单调递增，，故得当时，在区间，上的最小值为0；（2）根据（1）可知：当时，恒大于0，此时，取，得对任意正整数都有，即，所以，可得恒成立，令得：．8．已知函数．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范围；（3）证明：为自然对数的底数）．【解答】解：（1），，是函数的一个极值点，（1）即；（2）在，上恒成立，，当时，在，上恒成立，即在，上为增函数，成立，即，当时，令，则，令，则，即在，上为减函数，在上为增函数，，又，则矛盾．综上，的取值范围为，．（3）两边取自然对数得，，，由（2）知时，在，单调递增，又，，，故成立．9．已知函数，是自然对数的底），（1）若函数是上的增函数，求的取值范围．（2）若对任意的，都有，求满足条件的最大整数的值．【解答】解：（1）设，因为是上的增函数，所以，得到；所以的取值范围为（2）由条件得到（1）猜测最大整数，现在证明对任意恒成立，等价于，，设故时，，当时，，所以对任意的都有（2），即对任意恒成立，所以整数的最大值为2．10．已知函数，．（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．【解答】解：（1）函数的定义域是，，（1分）当时，；当时，．所以，的增区间为，减区间为（2分）（2）证明：函数的定义域是，．（3分）设，则．由（1）得，在上为增函数，在上为减函数．所以在处取得极大值，而，所以，（4分）函数在上为减函数．又，于是当时，，当时，（5分）所以，当时，，在上为增函数．当时，，在上为减函数（6分）所以在处取得极大值，而，所以（7分）（3）不等式等价于不等式．（8分）由知，．（9分）设，则．（10分）由（Ⅰ）知，，即．所以，，，于是在，上为减函数．故函数在，上的最小值为．（11分）所以的最大值为．（12分）11．已知函数．（1）求的单调区间；（2）讨论函数零点的个数；（3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）的定义域是，，①时，，在递增，②时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减；（2）函数，由，可得，，设，，，当时，，递减；当时，，递增，可得处取得最大值1，如图所示：当或，即或时，直线与有一个交点，当即时，直线与有两个交点，当即时，直线与没有交点，综上可得，，函数零点的个数为0；，函数零点的个数为2；或时，函数零点的个数为1；（3）任意的，恒成立，即为恒成立，设，设，，，设的根为，即有，递增；时，递减，可得处取得最小值（a），由（a），可得恒成立，即有，则，即的范围是，．另解：任意的，恒成立，即为恒成立，由，取得等号），时，，即有，可得，（当取得等号），则．12．已知函数．（1）若对，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，证明：．【解答】解：（1）因为，所以，，，当时，，则在，上单调递增，所以，不合题意，当时，由，得，则在，上单调递增，所以存在，使得，不合题意，当时，因为，所以，在，上单调递减，综上可知，实数的取值范围是，．（2）证明：当时，，要证，只需证，即证，令，则，令，则，所以在上单调递减，由可知，只需证，令，则，所以在上单调递增，所以对于任意，，即，故原不等式成立．13．已知函数，，，．（Ⅰ）设，求方程的根；（Ⅱ）设，函数，已知时存在使得．若有且只有一个零点，求的值．【解答】解：（Ⅰ）当时，，令，即，，即，，解得：．（Ⅱ）（1）当时，，当且仅当即时取等号，是的唯一的零点，符合题意．（2）当时，，显然是的一个零点，当时存在使得，且，在必存在另一零点，此时，存在2个零点，不符合题意．综上可得．14．已知实数，设函数．（Ⅰ）当，，，时，证明：；（Ⅱ）若有两个极值点，，证明：．【解答】证明：（Ⅰ），即为，亦即，令，则，令，令对称轴，则，时，，时，，，时，，在上递增，在，上递减，且，在，上递增，故只需证（1），即证，即证，令，则，在上递减，而（1），当时，，当时，，即时，，当时，，即成立，当，，时，成立；（Ⅱ），有两个极值点，，，，令，则，易知，当时，，当时，，在上递减，在上递增，，故，即，由，可得，，则，，则，，由，得，下证，即证，即证，，等价于证，令，则，故，，即，令，则，令，则，在上递减，，即．15．（1）求函数在上的最大值；（2）证明：不等式在上恒成立．【解答】（1）解：，令，解得：（记为，则在递减，在，递增，时，，，即，在，上的最大值是0；（2）证明：满足：，关于直线对称，故只需证明：在，恒成立，而，而，只需证明，①在，恒成立，而，即只需证明：②，而由（1）可得时，，即③，要使②式成立，只需证明在，上恒成立，即只需④，由（1）得：，而，从而④式成立，综合③④可知②式成立，故①式得证，从而原不等式得证．16．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，由零点