江苏省扬州市田家炳实验中学高三数学一轮复习学案函数及导数第9课导数在实际问题中的应用

第9课导数在实际问题中的应用一、教学目标1、会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；2、提高运用数学知识分析和解决实际问题的能力，能综合运用函数、方程、不等式、导数、几何等知识解决问题。二、知识梳理1、把长60的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时面积最大？【教学建议】本题可分别从二次函数、基本不等式、导数三个角度分析，三种方法大致过程如下：设长为，则宽为，其中，由或或，则判断通过此题，要了解解应用题一般有四个要点步骤：设列解答，也要体会在不同的解题方法中，取得最大值的条件．2、某种圆柱形材料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？【教学建议】用料最省即表面积最小，所以本题的关键是写出表面积的表达式，将实际问题转化为数学中的求最值问题处理。这也是解决实际问题的一般处理思路：实际问题数学问题数学求解回到实际问题。设圆柱的高为，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由代入，将表面积S用变量表示，求导求最值即可。得h=2R，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省三、诊断练习诊断练习点评题1：做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为时材料最省．【教学建议】本题是教材中的一道练习题，主要是让学生进一步熟悉解应用题的过程，体会用导数求函数最值的快捷。教师要引导学生分设列解答四个步骤，流畅地写出解题过程。结合上题，可提出下列问题：（1）此题可否仿照知识梳理1，用另外两种方法解决？（2）若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)是否是函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)？题2：一个物体的运动方程为，其中s的单位是m,t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是【分析与点评】本题是导数的物理意义，学生要了解运动物体在某一时刻的瞬时速度等于位移函数在该时刻的导数；某一时刻的瞬时加速度等于速度函数在该时刻的导数。题3：将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是_______．【分析与点评】（1）要注意变量的选择，假设什么量来表示目标函数？（2）加强运算能力的训练，求导求最值不要出错。3、要点归纳：（1）了解体会解应用题的四个要点步骤：设列解答，注意在实际问题中未知数的取值范围（2）求函数的最值可有多种方法，如单调性、不等式等，要体会导数在求函数最值中的运用，特别是高次函数或非整式型的函数（3）掌握一些实际背景（如切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度等），能将导数内容与传统内容有机地结合起来解决问题。四、范例导析例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱．【教学处理】本题是一条典型的最优化问题，指名学生板演，教师点评【引导分析与精讲建议】（1）设箱底的边长为，可相应用来表示高。得到箱子的容积表达式。特别要注意考虑的取值范围．（2）学生板演时，教师在教室里巡视，了解学生题目完成情况，对共性的问题作适当的提醒，要提醒学生注意解题过程规范，最后的”答”不能遗漏．例2、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【教学处理】指导学生抓住题目的关键点，教师提出相应问题，采取指名回答或全体同学齐答的方式，最后指名学生板演，教师点评得出结果。【引导分析与精讲建议】教师可提出下列问题引导学生进行分析：本题中，（1）指的是什么？如何表示？（2）“若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元”这句话的作用是什么？例3、如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排,在路南侧沿直线排,现要在矩形区域内沿直线将与，,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的部分的排管费用为每米2万元,设与所成角为.矩形区域内的排管费用为.(1)求关于的函数关系式；(2)求的最小值及相应的角.【教学处理】教师先分析题意，提出问题：如何设未知数？让学生先思考，讨论。指名学生板演，教师点评。【引导分析与精讲建议】（1）如何用来表示所需要的线段的长（2）目标函数是关于的函数关系式，若考虑用导数求解，则需注意确定的是它在的单调性和最值，若采用局部求最值，最后则需代入W中，最终的单调性千万不能求反了五、解题反思1、解决应用题的关键是合理设未知数，确立目标函数。所以一定要认真读题，审清题意，熟悉常见的几何公式。2、确立目标函数后，就转化成求最值问题，一般情况下，我们碰到的都是在定义域内仅有一个极值的单峰函数，求函数最值时一定要注意函数定义域，防止出现错解。六．课后作业1.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)答案：2500解析：设矩形的长为xm，宽为eq\f(200－x,4)m，则S＝x·eq\f(200－x,4)＝eq\f(1,4)(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500m2.2.水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－t2＋14t－40）e\f(1,4)x＋50，0<t≤10，,4（t－10）（3t－41）＋50，10<t≤12.))该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i－1<t<i表示第1月份(i＝1，2，…，12)，同一年内共有________个月份是枯水期．答案：5解析：①当时，，化简得,解得，或，又，故.②当10<t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50<50，化简得(t－10)(3t－41)<0，解得10<t<eq\f(41,3)，又10<t≤12，故10<t≤12.综合得0<t<4或10<t≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．3.某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．则该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式：________________．答案：L(x)＝10e40eq\f(x－30－a,ex)解析：设日销售量为eq\f(k,ex)，则eq\f(k,e40)＝10，∴k＝10e40，则日售量为eq\f(10e40,ex)件．则日利润L(x)＝(x－30－a)eq\f(10e40,ex)＝10e40eq\f(x－30－a,ex).4.要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m2)，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝eq\f(1,2)AB，tan∠FED＝eq\f(3,4)，设AB＝xm，BC＝ym.(1)求y关于x的表达式；(2)如何设计x、y的长度，才能使所用材料最少？解：(1)如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高．依题意：DH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)x，EH＝eq\f(DH,tan∠FED)＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)x＝eq\f(2,3)x，∴eq\f(39,2)＝xy＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋x＋\f(4,3)x))eq\f(1,2)x＝xy＋eq\f(5,6)x2，∴y＝eq\f(39,2x)－eq\f(5,6)x.∵x＞0，y＞0，∴eq\f(39,2x)－eq\f(5,6)x＞0，解之得0＜x＜eq\f(3\r(65),5).∴所求表达式为y＝eq\f(39,2x)－eq\f(5,6)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3\r(65),5))).(2)在Rt△DEH中，∵tan∠FED＝eq\f(3,4)，∴sin∠FED＝eq\f(3,5)，∴DE＝eq\f(DH,sin∠FED)＝eq\f(1,2)x×eq\f(5,3)＝eq\f(5,6)x，∴l＝(2x＋2y)＋2×eq\f(5,6)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs