高等代数多项式教学课件

多理项式第一章多项式多理项式环和数域§1数环和数域数是数学中的一个基本概念,人们对数的认识经历了一个长期的发展过程,由自然数到整数、有理数,然后是实数到复数数学中的许多问题都和数的范围有关,数的范围不同,对同问题的回答可能也不相同。例如2在有理数范围内不能进行因式分解,但在实域内就可以分解x2+1=0在实数范围内没有根,但在复数域内就有一对共轭复根。影多项式环和数域我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以及全体复数等,它们具有一些不同的性质,但也有很多共同的性质,在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。个数集中,数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中,则称该数集P对这个运算是封闭的a)自然数集N对加、乘运算封闭,对减、除不封闭。b)整数集Z对加、减、乘运算封闭,对除不封闭。c)有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除(除数不为O)四种运算都封闭。多理项式1数环和数域根据数集对运算的封闭情况,可以得到两类数集数环和数域。数环定义1:若P是由一些复数组成的非空集合,若数集P对加、减、乘三种运算都封闭,即对sa,b∈P,总有a+b,a-b,ab∈P,则称数集P是一个数环例如:整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环例1除了以上数环外,是否还有其他数环?有没有最小数环?例2一个数环是否一定包含0元?除零环外,是否还有只包含有限个元素的数环?多理项式环和数域例3证明P=(2a+b√2|a,b∈是包含√2的最小数环二、数域定义2:若P是由一些复数组成的集合,其中包含0和1,如果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭,则称数集P是一个数域。定义3:若P是一个数环,如果①数集P内含有一个非零数②对必a,b∈P,且b≠0,有ab∈P,则称数集P是一个数域例如:有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。多理项式环和数域例4证明Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是一个数域。例5设P={a+b√2|a.b∈Q}P2={a+b√3a.b∈Q}P={a+b√2+c3+dv6ab,c,d∈Q}证明P2,P是一个数域,而且P是包含P1和P2的最小数域。例6证明任何数域都包含有理数域Q例7在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢例8设F1和F2是两个数域,证明1)F1F2是一个数域;2)F1∪F2是数域的充分必要条件是F1=F2或F2三F1。多理项式的定义和运算§2一元多项式的定义和运算称为首项,定义常数项,或称其中首项系数an≠0零次项文字或符号),n/个非负整数,表达式、nax+ax.taotaoa.r其中a0,a1,…,an全属于数域P,称为系数在数域P中的元多项式,或简称为数域P上的一元多项式定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义1)这里的x不再局限为实数,而是任意的文字或符号。2)多项式中的系数可以在任意数域中。多理项式的定义和运算例如:f(x)=9x3+3x2-2x+1是Q上的一元多项式f(x)=x2+√2X+3是R上的一元多项式。f(x)=5x2+X+3是C上的一元多项式。而x3+3X+22:都不是多项式。x+1定义2:如果在多项式f(x)与g(x)中,除去系数为零的项外,同次项的系数相等,那么就称多项式∫(x)或g(x)相等,记为f(x)=g(r)多理项式的定义和运算定义3:设f(x)=a,x"+an-In-1+…+a1x+ao,an≠0非负整数n称为多项式f(x)的次数,记为a(f(x)=n例如:f(x)=3x2+2x+1a(f(x)=2(f(x)=0几类特殊的多项式零次多项式:次数为0的多项式,即非零常数零多项式:系数全为0的多项式,即f(x)=0。对零多项式不定义次数,因此,在使用次数符号时,总假定f(x)≠0。首一多项式:首项系数为1的多项式多理项式的定义和运算、多项式的运算定义4:设f(r)=a,"+anx"+.+a,x+ao,g(x)=bmx"+b+…+b,x+是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设m≤n),则多项式f(x)和g(x)的和,差为f(x)±g(