虚功原理课件

5.1使用虚功原理解3.1题。半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为：解：杆受理想约束，杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一确定，杆的自由度为1，设棒长为l，如图所示，建立坐标系，棒所受主动力只有重力，由虚功原理：有：

即：

取为广义坐标：

5.1使用虚功原理解3.1题。半径为r的光滑半球形碗，固1只有：

只有：2

5.2使用虚功原理解3.4题。相同的两个均质光滑球悬在结于顶点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求角及角的关系。解：平衡时悬绳张力通过球心，三球所受主动力只有重力，自由度为1，如图建立坐标系，设小球半

径为r，由虚功原理得：代入（1）式得：取变分：5.2使用虚功原理解3.4题。相同的两个均质光3即：由约束关系：

取变分：

代入（2）式：

只有：

故：

即：由约束关系：取变分：代入（2）式：只有：故：45.3长度同为l的轻棒四根，光滑地连成一菱形ABCD，AB、AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上，BD间则用一轻绳联结，C点上系一重物W，设A点上的顶角为，试用虚功原理求绳中张力T。解：如图所示，取两钉连线中点O为坐标原点，建立坐标系，将BD间的约束解除，代之以约束反力T，将T当作主动力。一定，便可确定ABCD位置，体系自由度为1，选为广义坐标。由虚功原理得：（2）（1）5.3长度同为l的轻棒四根，光滑地连成一菱形ABCD，5取变分：将⑶代入⑴得：

（3）取变分：将⑶代入⑴得：（3）6

补充题1、图所示曲柄连杆机构中，曲柄A端上所受的竖直力为Q，由活塞D上所受的水平力P维持平衡，求水平力P与竖直力为Q的大小的比值为（）。A、

B、

C、

D、

补充题1、图所示曲柄连杆机构中，曲柄A端上所受的竖直7解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象。依虚功原理有：

即：

因为刚性杆两端无限小位移投影相等，所以:

(选D)解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究8应用虚功原理解题时的步骤以及应注意的问题：

1．判断所研究的质点系受到的约束是否都是理想约束，然后作受力分析，画出受力图。由于虚功原理中不包含约束反力，因而可以不考虑约束反力，而只画全部主动力。若质点系受有非理想约束，或需计算约束反力时，便将这样的约束解除，代之以相应的约束反力，并视之为主动力。

2．根据问题所给的条件，确定系统的自由度数,同时选适当的参数作为确定系统位置的广义坐标。如果题设条件便于用广义坐标表出各个主动力作用点的坐标，则用分析法求解较为方便。如果题设条件不便于应用分析法，则可应用几何法求解。应用虚功原理解题时的步骤以及应注意的问题：9

3．用几何法求解时，所给虚位移必须满足约束条件(即不破坏约束)，并用此条件来建立各点虚位移间的关系。

4、写虚功原理表示式时，应当注意虚元功的正、负号。

5．对于一个自由度的质点系的平衡问题，每个问题写出一个方程求得一个未知量。而两个自由度的质点系的平衡问题，写出两个方程求得两个未知量，以此类推。不难理解，具有s个自由度的质点系的平衡问题，可写出s个方程求解s个未知量．3．用几何法求解时，所给虚位移必须满足约束条10

补充题2（3．3）两根均质棒AB、BC，在B处刚性连结在一起，且形成一直角，如将此棒的A端用绳系于固定点O上（如图所示），则当棒平衡时，AB棒和竖直直线所成的角满足下列关系：

其中a、b为棒AB和BC的长度，试用虚功原理证明。解：如图所示，系统自由度为1，选为广义坐标，A、B棒重力分别作用于

a(x1,y1)和b(x2,y2)点，设棒线密度为，以A为坐标原点，则：补充题2（3．3）两根均质棒AB、BC，在B处11故：

系统平衡时，由虚功原理得：故：系统平衡时，由虚功原理得：12

补充题3、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力为F，已知，由虚功原理知在图示平衡位置时压榨力的大小Q与角的关系为（

）A、

B、

C、

D、

补充题3、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力13解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象,

系统自由度为1，选

角为广义坐标。依虚功原理有：如图建坐标系：A—xy

，依约束关系知：

代入（1）式得:（1）解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机14选C所以在图示平衡位置时压榨力的大小与角的关系为选C所以在图示平衡位置时压榨力的大小与角的关系为15

补充题4、如图所示，表示一伸缩机构，由光滑铰链联结的n个棱形构成，OA之间用弹簧联系。试求C点受P力作用后，机构处于平衡时，弹簧中受到多大的力。

对此问题，因为O、A、C三点(主动力的作用点)的直角坐标可用角很方便地表示出来，所以用分析法求解最为方便。建坐标Ox，则虽然弹簧力是内力，但内力作功之和一般不为零，故应以弹簧力F来代替弹簧的作用，则整个系统是在P与F力的作用下处于平衡,如图所示．系统自由度为1，选角为广义坐标。解：显然，这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象。补充题4、如图所示，表示一伸缩机构，由光滑铰链16代入即可求得

由虚位移原理得：

代入即可求得由虚位移原理得：17

补充题5、五根长度相同的均质柱形链杆，各重W，与固定边AB形成正六边形（如图所示）。设在水平杆的中点施力T以维持平衡，试用虚功原理证明T=3W。证：如图所示，建立坐标系o--xy，以整个机构为研究对象，这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。系统自由度为1，选y为广义坐标。并以分别表示各杆中点的纵坐标，由图可知：假想C5点获得一向下的虚位移,则C1,C2,C3,C4各点的虚位移为：补充题5、五根长度相同的均质柱形链杆，各重W，与固定18

证毕。由虚功原理得：

证毕。由虚功原理得：195.5在离心节速器中，质量为m2的质点沿着一竖直轴运动，而整个系统则以匀角速度绕该轴转动，试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆AB、BC、CD、DA等的质量均可不计。质点的相对速度：

质点的牵连速度：

方向垂直xy平面所以质点B的动能为：

解：系统自由度为1，选为广义坐标，如图所示，以A为定点，建立动坐标系

质点B的势能为：

（以A点为零势点）5.5在离心节速器中，质量为m2的质点沿着一竖直20同理可知质点D、C的动能、势能为：

取微商：同理可知质点D、C的动能、势能为：取微商：21此力学体系的拉氏函数为：

此力学体系的拉氏函数为：22又解：系统自由度为1，选为广义坐标质点B的动能、势能为：

质点C的动能、势能为：此力学体系的拉氏函数为：

又解：系统自由度为1，选为广义坐标质点B的动能、势能为：235.6使用拉格朗日方程解4.10题。质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。解法1：小环作平面运动，自由度为1，选为广义坐标。取圆圈为势能参考面，则小环势能为零。小环动能为：

5.6使用拉格朗日方程解4.10题。质量为m的小环24拉氏函数为：代入拉氏方程：

得：

故小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：

拉氏函数为：代入拉氏方程：得：故小环沿圆圈切线方向的运动25解法2：小环作平面运动，自由度为1，选为广义坐标,取圆圈为零势面，则小环势能为零。

小环相对速度大小为：

牵连速度大小：

小环绝对速度：

将小环绝对速度在圆圈的切向和法向投影：

则小环的动能为：

解法2：小环作平面运动，自由度为1，选为广义坐标,取26拉氏函数：

代入拉氏方程：

得：

化简得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：拉氏函数：代入拉氏方程：得：化简得小环沿圆圈切线方向的27解法3：小环作平面运动，建立平面极坐标系，自由度为1，选为广义坐标,取圆圈为零势面，则小环势能为零。

设某一时刻，小环M（r,φ）在如图所示位置：

小环动能为：

拉氏函数为：

解法3：小环作平面运动，建立平面极坐标系，自由度为1，选28代入拉氏方程：

得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：代入拉氏方程：得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：29

5.7

试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3（4.8）.轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为，式中a为常数，计算时可忽略摩擦阻力。

解：在抛物线金属丝上建立坐标系,系统自由度为1，选x为广义坐标，小环相对速度：

小环牵连速度：方向与xy面垂直小环的动能：

由得：势能：

（选x轴为零势线）5.7试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3（4.8）.30拉氏函数为：

拉氏函数为：31代入拉氏方程：

故小环运动的微分方程为：

代入拉氏方程：故小环运动的微分方程为：325.9设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为的圆锥面内运动，试以为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。

解：取柱坐标系，如图所示，则：质点的动能：质点的势能：(以o点为零势点)拉氏函数：

选为广义坐标，约束关系：

则：

5.9设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角33代入拉氏方程得：

质点运动微分方程为：

代入拉氏方程得：质点运动微分方程为：345.10试用拉格朗日方程解2.4题中的(a)及(b)。

质量为m1的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求(a)劈的加速度；(b)质点水平方向的加速度。解法1：

此力学体系自由度为2，选广义坐标：

如图所示。

m1的绝对速度：

系统的动能：

系统的势能：

(以m1初始状态为势能零点)5.10试用拉格朗日方程解2.4题中的(a)及(b)。35拉氏函数：

代入拉氏方程：

即：

拉氏函数：代入拉氏方程：即：36两式联立得：

劈的加速度为：

质点水平方向的加速度：

两式联立得：劈的加速度为：质点水平方向的加速度：37解法2：

选固定坐标系,如图所示。系统自由度为2，选广义坐标：

（质点m1相对静系的水平位置）

(直角劈m2相对静系的位置，因为直角劈只做平动，故C点的运动可代表直角劈的运动)直角劈m2的动能为：

质点m1的动能和势能为：

约束方程为：

解法2：选固定坐标系,如图所示。系统自由度38系统拉氏函数为：

系统拉氏函数为：39代入拉氏方程：

整理得：

⑴+⑵得：

（3）⑴⑶两式联立得：

由以上两解法可知，应用拉氏方程求解力学体系的动力学问题时，广义坐标可同时选惯性系量，也可同时选惯性系量和非惯性系量。代入拉氏方程：整理得：⑴+⑵得：（3）⑴⑶两式联立得：405.11试用拉格朗日方程求3.20题中的a1和a2。质量为M，半径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2。

解：如图建立坐标oy，系统自由度为1，选y为广义坐标。物体的动能和势能为：圆柱体只滚不滑：

圆柱体的动能：A点的速度等于m的速度：

5.11试用拉格朗日方程求3.20题中的a1和a241系统拉氏函数为：

代入拉氏方程得：系统拉氏函数为：代入拉氏方程得：42例2（5.12）均质杆AB，质量为m，长为2a，其A端可在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动，如除重力作用外，B端还受有一水平的力F的作用，试用拉格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如何？解：系统自由度为2，如图所示,选取为广义坐标由科尼希定理知棒的动能为：

k为棒绕质心c转动的回转半径。

例2（5.12）均质杆AB，质量为m，长为2a43棒质心坐标：

棒质心坐标：44虚功：

所以广义力为：

虚功：所以广义力为：45代入基本形式的拉格朗日方程：得运动微分方程为：若很小，

这里：

则运动微分方程为：代入基本形式的拉格朗日方程：得运动微分方程为：若很小，46

5.13行星齿轮机构如图所示，曲柄带动行星齿轮Ⅱ，在固定齿轮Ⅰ上滚动。已知曲柄质量为m1且可认为是匀质杆。齿轮Ⅱ的质量为m2，半径为r，且可认为是匀质圆盘，至于齿轮Ⅰ的半径则为R，今在曲柄上作用一不变力矩M，如重力作用可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动。

解：系统的自由度为1，选φ为广义坐标。曲柄的动能：

齿轮Ⅱ的动能：

5.13行星齿轮机构如图所示，曲柄带动行星齿轮Ⅱ，47系统的动能：

由于重力不计，则：广义力为：

代入基本形式的拉氏方程：得：

曲柄转动的角加速度为：系统的动能：由于重力不计，则：广义力为：代入基本形式的拉48

5.16半径为r的均质重球，可在一具有水平轴的半径为R的固定圆柱的内表面作纯滚动，如图所示，试求重球绕平衡位置作微振动的运动方程及其周期。解：系统自由度S=1，选广义坐标：球只滚不滑：

球的动能：

球的势能：

（以通过0点的水平线为零势线）

5.16半径为r的均质重球，可在一具有水平轴的49拉氏函数：

代入拉氏方程：

得运动微分方程为：

对于微振动：

∴振动周期为：

拉氏函数：代入拉氏方程：得运动微分方程为：对于微振动：50

补充题:图示质量为m的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道中自由滑动，杆的下端搁在质量为M的光滑楔块斜面上，楔块倾角为，置于光滑的水平面上。由于杆子自重的压力，楔块沿水平方向移动，杆子随之垂直下降，试用拉格朗日方程求杆与楔块的加速度。

系统动能为：

拉氏函数为：

解：系统自由度为1，选广义坐标：q=y

如图所示，有约束关系：

系统势能为：

选0点为零势能点补充题:图示质量为m的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道51代入拉氏方程：得：楔块的加速度为：杆下降的加速度为：拉氏函数为：

代入拉氏方程：得：楔块的加速度为：杆下降的加速度为：拉氏函数52

例4已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定，如图所示，弹簧原长为l0，劲度系数为k,求此弹簧摆的振动方程。解：取弹簧和摆锤为系统，自由度为2，选r，为广义坐标,

系统的动能为

系统的势能为弹簧摆

拉氏函数为例4已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定53拉氏函数为代入拉氏方程：

拉氏函数为代入拉氏方程：54得到系统的运动微分方程为

这是非线性方程组，需在计算机上作数值计算，在一定的初始条件下，摆锤的轨迹如右图所示。如果系统做小振动，可进行近似计算，将非线性方程化为线性方程。弹簧摆的轨迹得到系统的运动微分方程为这是非线性方程组，需在计算机55补充题:如图所示，升降机上有一摆长为l的单摆，升降机以匀加速度a上升，且初速为零，使用分析力学方法确定单摆的运动微分方程。解：系统自由度为1，选单摆摆角为广义坐标摆锤的相对速度的大小：

牵连速度的大小：

绝对速度的平方：（由余弦定理得）

单摆的动能为：

单摆的势能为：以初始位置时（t=0）的o点为零势点补充题:如图所示，升降机上有一摆长为l的56系统的拉氏函数为：

代入拉氏方程：

得：

则单摆运动微分方程为：

系统的拉氏函数为：代入拉氏方程：得：则单摆运动微分方程57由以上例题可看出：

1、拉氏方程不仅适用于稳定约束，也适用于不稳定约束。

2、应用拉氏方程时，广义坐标可选线量，也可同时选角量。

3、应用拉氏方程时，广义坐标可选惯性系量，也可