专题45变量间的相关关系知识点

相关关系当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系.即相关关系是一种非确定性关系.当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关；当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关【注意】相关关系与函数关系的异同点：共同点：二者都是指两个变量间的关系.不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系.散点图将样本中的n个数据点(气，七)(‘二1，2，L，n)描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图.从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.具有正相关关系的两个变量的散点图如图1,具有负相关关系的两个变量的散点图如图2.回归分析如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程).回归方程的求解(1)求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小.若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据3.,X)(i=1,2,L,n)，则回归方程宁=bx+&中II£(X—x)(y-y)l^xy-nxyi i iib= =卞 ,a=y-bx.乙(x-x)2 乙x2-nx2iii=1ii=1_15、x+x+L+x_15、y+y+L+y其中x=一乙气=——3 n,y=一乙y_=——3 n,(元,y)称为样本点的中心・i=1 i=1(2)线性回归模型y=bx+a+e，其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量.【注意】①回归直线y=bx+a必过样本点的中心(x,y)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据.一一- . 一 一 .-- . 一一 . …一一一 ■一…一 人利用回归直线方程不但可以预测在x取某一个值时，y的估计值，同时也能知道x每增加1个单位，y的变化量.-- . 一 一 . 人 . 一 一一 . - - … … 在回归直线方程中，b既表示直线的斜率，又表示自变量X的取值每增加一个单位时，函数y的改变量・相关系数(1)样本相关系数r的计算公式我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为£(x-x)(y-y)iir= i=1 —J£(X-x)2£(yi-y)2'i=1 i=1(2)样本相关系数r的性质①Ir!<1；当r>。时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关；|r|越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0,表明两个变量的线性相关性越弱.非线性回归分析对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，然后用线性回归的方法进行研究.在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决.

已知X与V之间的一组数据如下表所示:X0123Vm35.57已求得V关于X的线性回归方程为V=2.1X+0.85，则m的值为A.0.85 B.0.75C.0.6 D.0.5某考察团对全国io大城市的职工人均工资x与居民人均消费>进行统计调查，>与x具有相关关系，回归方程为V=°.66X+技62（单位：千元），若某城市居民消费水平为7.675千元，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比约为A.66% B.72.3%C.67.3% D.83%经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下表:x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为V=bx+方，则点（a,b）与直线x+18y=100的位置关系是A.a+18b<100 b.a+18b>100C.a+18b=100八C.a+18b=100D.a+18b与100的大小无法确定（2015年高考福建卷）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）支出V（万元）根据上表可得回归直线方程V=bx+a,其中b=0.76,a=V-bx，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为

x345678y-0.5-2.0-3.0A.11.4万元A.11.4万元C.12.0万元（2014年高考重庆卷）已知变量x与y正相关,观测数据算得的线性回归方程可能是A.y=0.4x+2.3C.y=-2x+9.5（2014年