指数函数和对数函数复习(知识点和习题详解)

PAGEPAGE4第六讲指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。∴．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则．5．例题分析：例．计算：解：（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；幂的运算性质对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式：，，.解：=；=；=．【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）；（2）；解（1）（2）==．==；例3．计算下列各式：（1）（2）．解：（1）==（2）=．==；三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N,就是，那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，。指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1．在指数式中幂N>0，∴在对数式中，真数N>0．（负数与零没有对数）2．对任意且,都有∴，同样：．3．如果把中的写成，则有（对数恒等式）．2．对数式与指数式的互换例如：，；，；，；，。【例1】将下列指数式写成对数式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．介绍两种常见的对数：①常用对数：以10作底简写成；②自然对数：以作底为无理数，=2.71828……，简写成．【例2】（1）计算：，．解：设则，,∴；令，∴,,∴．（2）求x的值：①；②．解：①；②但必须：，∴舍去，从而．（3）求底数：①，②．解：①∴；②,∴．4．对数的运算性质：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．【例3】计算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=．5．换底公式：(a>0,a1；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得：，∴．说明：两个较为常用的推论：（1）；（2）（、且均不为1）．证明：（1）；（2）．【例4】计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．【例5】已知，，求（用a,b表示）．解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【例6】设，求证：．证明：∵，∴，∴．四、对数函数1．对数函数的定义：函数叫做对数函数。2．对数函数的性质：（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。11（图1）同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。11（图1）1111（图2）（3）对数函数性质列表：图象 性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在上是减函数【例1】求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；（2）由得，∴函数的定义域是；（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．【例2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），，；（2），，．解：（1）∵，，，∴．（2）∵，∴．【例3】求下列函数的值域：（1）；（2）解：（1）令，则，∵，∴，即函数值域为．（2）令，则，∴，即函数值域为．【例4】判断函数的奇偶性。解：∵恒成立，故的定义域为，，所以，为奇函数。【例5】求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又∵，∴或，故在上递增，在上递减，又∵为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。

课堂练习题（1）1、填空：（3）；（4）；（5）；（6）；2、（1）若，则；（2）若，则；（3）若，，用表示，；（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；2、判断下列式子是否正确，若不对，请纠正：(1)；（2）；（3）；（4）.课后巩固提高1、下列计算正确的是（）A.B.C.D.2、81×27可以记为（）A.B.C.D.3、可以等于（）A.B.C.D.4、计算的结果是（）A.B.C.D.5、在等式中，括号内的代数式应当是（）A.B.C.D.6、若是正整数，当时，等于（）A.1B.－1C.0D.1或－17、计算的结果为()A.B.C.D.8、，，.9、已知，则；已知，则x=.10、计算：（1）；（2）；（3）；11、下列各式中，正确的是（）A.B.C.D.12、下列各式中错误的是()A.B.()=C.D.－13、已知n是大于1的自然数,则等于()A.B.C.D.14、下列运算中与结果相同的是()A.B.C.D.15、用简便方法计算(1)(2)16、已知,求m的值.17、若，解关于的方程.18、若，，求的值．§2指数扩充及其运算性质1、将b写成分数指数幂的形式：（1）；（2）；（3）.2、将分数指数幂写成根式的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.3、将根式写成分数指数幂的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.4、计算：（1）；（2）；（3）；（4）.5、已知，，求，，，.6、已知，求，.§3指数函数1、已知，则指数函数1.，2.的图像为（）第2题2、如图是指数函数的图像则的关系是（）第2题A.B.C.D.3、已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．4、若，则下列选项成立的是（）A.B.C.D.5、设，则（）A.B.C.D.6、若，那么的值为（）A.1B.2C.5D.1或57、已知则的大小关系为.8、解方程.§4.1对数及其运算1、把下列指数式写成对数式：（1）（2）（3）（4）2、把下列对数式写成指数式：（1）（2）（3）（4）3、求下列各式中x的值：（1）（2）（3）（4）4、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5、基础练习（1）（2）6、加强巩固（1）（2）（3）（4）（5）（6）7、已知，，，请分别用表示式子，，.§4.2换底公式1、求下列各式的值：(1)（2）（3）（4）（5）（6）2、加强巩固3、综合应用（1）设,，试用、表示，，.（2）已知求.§5对数函数1、求下列函数的定义域：(1)；（2）；(3)；（4）.2、求下列函数的反函数：(1)；（2）；(3)；（4）；(5)；（6）.3、比较各题中各数的大小：(1)，；（2），；(3)，；（4），.4、已知函数，则.5、已知函数，且，则.第三章指数函数和对数函数单元测试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题6分，共60分．）1．已知x，y为正实数，则()A．B．C．D．2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()A．B．C． D．3．已知，则函数y＝f(x＋1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为()A．2与1B．3与1C．9与3 D．8与34．下列说法正确的是()A．B．C．D．5．设函数．若，则的值等于()A．4B．8C．16D．2loga86．(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(25,12)C.eq\f(9,4) D．以上都不对7．若的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域为()A.B．C.D.8．若是奇函数，则实数a＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,10)9．已知，那么用表示是（）A．B.C.D.10．设，则（）A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，共15分．）11．函数y＝eq\f(lg4－x,x－3)的定义域是________．12．函数，则________.13．的值为.三、解答题(本大题共5小题，共75分．解