工字形截面轴压和弯曲作用下的腹板屈曲系数

工字形截面轴压和弯曲作用下的腹板屈曲系数

在设计受弯零件的压板和受弯零件时，板件的局部稳定性是一个需要验证的重要因素。GB50017—2003《钢结构设计规范》通过限定板件的宽厚比来防止受压构件组成板件的局部失稳,但GB50017—2003在宽厚比限值的计算过程中对板件间的相互作用,要么不加以考虑(轴压杆的局部稳定),要么采用一个固定的嵌固系数(梁腹板的局部稳定)完善。比如对外伸翼缘直接按一边自由三边简支的板件来计算屈曲应力,不考虑腹板对翼缘的约束作用;这对腹板则按四边简支板考虑,工字形截面均匀受压时通过取腹板的嵌固系数为1.3来考虑翼缘对腹板的约束,对翼缘相对腹板较厚的工字形截面来说过于保守。国内外学者对这类问题也做过大量研究。Kroll和Fisher曾推导过轴心受压理想弹性工字形截面的局部屈曲,因为是轴压,可以求得解析解,但是文献给出的是屈曲系数随翼缘腹板厚度比和截面高度宽度比变化曲线的一个图表,不便于应用。Bleich试图研究截面各板件之间的相互作用,但其将相互的约束简化为边界的转动弹簧,并没有考虑到提供约束的板件上也作用有压应力,会使约束刚度减小。分析揭示,翼缘对腹板的约束是翼缘扭矩的导数的形式,而箱形截面翼缘对腹板的约束,才是转动弹簧的形式。文献采用能量法分析了轴心受压工字形截面和箱形截面的屈曲,推导了超越函数表示的临界方程,但是未做进一步的求解。现在的分析表明,应用能量法分析的结果仅在部分参数范围内有一定的精度,工字形截面的解析解也不全面。Allen&Bulson用图的形式给出了槽钢、工字形截面和箱形截面轴压时的板件屈曲系数。Seif和Schafer对商业化生产的热轧H型钢的局部屈曲进行了详细研究,使用自编的软件分析计算了多种截面形式受压情况下的板件屈曲系数,并对AISC中关于局部稳定的设计提出了修正意见。关于冷弯型钢,对整个截面进行局部屈曲的研究较多,因为冷弯截面板件之间相互约束更加明显,而考虑和不考虑这种相互约束,对截面的设计差别巨大,因此相互屈曲的影响必须在规范里体现,例如文献和我国GB50018—2002《冷弯薄壁型钢结构技术规范》。但是对热轧或者焊接截面板组相互影响的研究,目前主要用于确定宽厚比的限值。这样一来,腹板的宽厚比限值将在一定的程度上依赖于翼缘,例如文献所得到的结果,日本AIJ2010(参考文献)对腹板和翼缘的宽厚比限值表示成圆的相关关系的形式,这两个文献代表了在局部屈曲的设计方面,往更合理的方向迈出了一步。本文对工字形截面在单独或联合承受弯矩和压力作用时的局部屈曲进行研究。对轴压的情况,给出了解析解;对弯曲和压弯的情况,采用有限元方法求解;对轴压和弯曲的情况,拟合了腹板屈曲计算公式;对于压弯的情况,根据压力和弯矩联合作用的思路,提出了以腹板最大应力为依据的局部屈曲系数近似计算公式,对常用的参数范围具有良好的精度,且略偏于安全。1腹板屈曲分析当工字形截面构件受压时,板件可能在构件失去整体稳定性之前,产生局部屈曲。构件的局部失稳有如下特点:1)腹板与翼缘交线处挠度为零;2)腹板与翼缘交线处转角连续;3)腹板与翼缘有相同的屈曲波长。图1所示为均匀受压时的情况。由这3个特点出发,按照板件稳定理论对工字形截面腹板在均匀压力作用下的弹性屈曲系数进行计算(文中未标注的变量,其意义见文献)。板件屈曲方程为:设位移函数为代，入式(1)可得:式中:a为屈曲半波数。它的特征方程是:单块板时,特征值总为一对实根、一对虚根:工字形截面尺寸如图2所示。取屈曲半波数为a,腹板坐标原点建在腹板中点,翼缘坐标原点建在翼缘和腹板交点。分析发现,腹板的特征值总是一对实根、一对虚根,腹板屈曲波形可以利用对称性写出:翼缘的特征方程分两种情况。1)当腹板对翼缘起约束作用时,可写成:2)当翼缘对腹板起约束作用时,翼缘临界应力会小于三边简支一边自由的板件,特征方程的根有可能全是实根,此时屈曲波形是:边界条件和连续条件有:腹板与翼缘交线处挠度为零,腹板与翼缘交线处转角连续,腹板与翼缘交线处弯矩相等,翼缘自由边弯矩和剪力为零,由这些条件可列出6个方程,参见文献。记临界应力为σcr,腹板与翼缘的临界压力分别为:式中:b为翼缘宽度;tf为翼缘厚度;Kw,Kf分别为腹板、翼缘的屈曲系数,两者间关系为:其中η=htf/(btw)利用式(8)、式(9)把αw、α2、βw、β2、β3表示成包含待求系数Kw的式子。利用上述6个边界条件,可得到以C1、C2、D1、D2、D3、D4为未知量的齐次方程组,令系数行列式为零,可得临界方程。当翼缘位移方程为式(6)时,临界方程为:当翼缘位移方程为式(7)时,临界方程为:给定t=tf/tw=(0.7~4)、h/b=1.25~6、构件长度L,可求出相应的Kw。通过改变比值a/h来改变构件长度,以得到最小的Kw,作为最终该截面的腹板屈曲系数。计算发现,厚度比tf/tw较大时,翼缘对腹板起约束作用,采用式(11)会求出两侧边固支板的屈曲系数超过6.97,这是不合理的,此时应采用式(12)计算。由计算结果(表1、图3)发现:Kw随厚度比与高宽比的增加而增大;当厚度比与高宽比均偏小时,Kw有可能小于4,此时腹板对翼缘提供支持;当厚度比与高宽比偏大后,Kw接近于6.97,但不会超过该值,此时翼缘对腹板提供支持。对计算结果拟合,得公式:其中α=ht/b将按照拟合公式计算出来的结果与原精确解法的结果进行比较,求两者之间的相对误差,即(Kw0-Kw)/Kw,其结果如表2所示。由表2可以发现,拟合公式与精确解之间的误差都在5%以内,相当一部分误差小于1%,所以本文拟合出的公式具有较高的精度,能应用于工程实际。2工字形截面梁段屈曲分析工字形截面构件在非均匀压力作用下如图4所示,其所受应力分布可表示为,其中,是受压较大边缘的应力;σ2是弯矩作用受拉侧边缘的应力。采用有限单元法对工字形截面腹板在非均匀压力作用下的弹性屈曲系数进行计算,β分别取0.5,1,1.5,2。下面先对β=2的纯弯情况进行分析。利用ANSYS分析软件对如图4所示的工字形截面梁段进行整体建模,采用Shell63单元,将翼缘和腹板交线上的共同节点归并,对腹板两加载边上的节点约束出平面外位移自由度z,对上下翼缘加载边采用耦合自由度的方法,分别耦合这四条边上节点的出平面外自由度y,最后还要约束腹板正中节点自由度x和y。在施加荷载时,要在腹板加载边上施加线性变化的非均匀节点荷载,在上下翼缘加载边上施加不同的均匀节点荷载。分析计算时,截面翼缘宽度b取100mm,翼缘厚度tf取20mm,给出与第1节中相同的高宽比和厚度比,取a/h为0.5~5进行搜索计算,使得到的屈曲系数最小,结果如表3和图5所示,屈曲波长比a/h的值在0.5~4.6之间,为节省篇幅不在此处给出。计算结果可以拟合为:同样将按照拟合公式计算出来的结果与原有限元法的结果进行比较,求两者之间的相对误差:(Kw2-Kw)/Kw,结果如表4所示。观察误差值可以发现,在使用较频繁的尺寸范围内,即tf/tw=1.2~3,h/b=2~4这一范围内,拟合公式具有较高的精度,能应用于工程实际。3tf/tw法公式的修改压弯情况下,对β=0.5,1.0,1.5的情况进行了计算,结果在图6—图8中给出。压弯情况的拟合,参考四边简支板在偏压作用下的分析,实际上可以按照轴压和弯矩联合作用来理解,联合作用公式是:式中:σ是轴压应力;σb是弯矩产生的边缘弯曲应力。记,代入式(14)可以得到:将轴压与纯弯的屈曲系数代入式(16)计算任意β时的屈曲系数发现,在翼缘对腹板提供约束,使得腹板的屈曲系数大于4以上时,式(15)具有很好的精度;但是当腹板对翼缘提供约束时,误差可达15%~20%,而且是偏不安全(偏大)的。因此需要对这个公式加以修改。参考文献,四边简支板屈曲系数为:而三边简支一边自由的翼缘的屈曲系数为:令工字形截面构件的翼缘和腹板同时屈曲,可以得到:由此得到决定腹板与翼缘间相互影响的参数:当η大于等号右边的值时,式(15)的相关关系基本成立;而当η比等号右边的值小得越多时,式(15)抛物线的相关关系越不成立。图9是当h/b=2,tf/tw=1时,将β=0,0.5,1,1.5,2等5个数时的压弯情况分别按轴压和弯矩相关关系来表示,发现关系非常接近。按照这个思路,对η比较小的情况,采用指数小于2的抛物线相关关系式,即表达式如下:表示成屈曲系数的形式为:因为Kw0,Kw2,Kwβ均可通过精确解法或有限元分析得到,则通过式(21)即可确定指数α:对不同的β代入式(21)计算发现,不同的β得到的α指数接近,上下相差不超过10%。这说明式(20)用于表示工字形截面屈曲时轴压和弯曲的相互作用是可以的。表5给出了β=1时计算得到的指数。观察表5中数据可以发现,轴压与弯曲相关关系的最小情况趋向于直线,即。对表5数据进行拟合,得到:其中χ=η1.5-0.45δ-5.94-2.67tanh(t2.5-2.75)δ=e-10(t-1.15)2该拟合得到的屈曲系数Kwβ与ANSYS计算得到的结果相比有良好的精度,并且偏于安全。4腹板及翼缘厚比的拟合本文通过解析解和有限元分析的方法,对工字形截面承受弯矩和轴力时的局部屈曲进行了分析。给出不同厚度比和截面高宽比,求出了屈曲系数,对轴压和弯矩作用的情况,拟合了精度较好的公式;对于压弯共同作用,则将腹板看成是弯矩和轴压应力