线性荷载作用下工字形截面深梁应力的解析计算方法

线性荷载作用下工字形截面深梁应力的解析计算方法

梁是工程结构中最基本的部分。现代节水和土木工程的规模不断扩大，荷载随着压力的增加而增加。因此，作为受弯曲结构的主支撑和受弯曲构件的高度不断增加。当梁的框架相对较小且高度较大时，这就是深梁结构。由于其巨大的承载能力，深梁越来越受到重视。例如，在建筑工程、节水工程、港口工程、铁路工程等领域，深梁被广泛应用。当深梁上有横向负荷时，它同时承受弯曲、切割和压缩。换言之，梁截面不仅具有正截面，而且还具有剪切截面。在与中性层平行的垂直纤维中，也存在由横向力引起的压缩力。长度梁的纯曲线理论不适用于计算深梁的压力。长久以来,许多学者致力于深梁应力计算的研究[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17],其中文献[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]以矩形截面深梁为研究对象,推导出不同支座形式深梁的应力计算公式;工字形截面梁因其截面复杂,因此其受力机理比矩形截面梁的更为复杂,文献[12,13,14,15,16,17]通过建立工字形截面深梁横力弯曲的力学模型,推导出均布荷载及集中力作用下各种支座形式深梁的应力计算公式,揭示了薄壁深梁弯剪耦合变形机理,丰富了著名力学家铁摩辛柯的深梁理论.由于问题的复杂性,以上研究成果无法直接应用于线性荷载作用下工字形截面深梁的应力计算,故在以往研究成果的基础上,以单轴对称工字形截面单跨超静定深梁为例,摈弃材料力学中平截面及纵向纤维互不挤压的假设,考虑弯剪耦合效应,推导出该类梁在线性分布荷载作用下的应力解析计算公式,并分析剪力对弯应力的影响规律,以期为线性荷载作用下的工字形截面深梁的应力计算提供理论计算方法.1被压迫系数s1单轴对称工字形截面形状如图1所示.单轴对称工字形截面几何特征参数的计算公式如式(1)所示.{α1=1+2β22(1+β1+β2),α2=1+2β12(1+β1+β2)S1=(1+2β2)β12(1+β1+β2)h2,S2=(1+2β1)β22(1+β1+β2)h2Ι=h312+(1+2β2)2β14(1+β1+β2)2h3+(1+2β1)2β24(1+β1+β2)2h3(1)式中,α1=h1/h;α2=h2/h;β1=A1/Af;β2=A2/Af;A1、A2分别为上下翼缘的面积;h1、h2分别为上下翼缘距中性轴的距离;h为梁高;腹板厚度为单位厚度,即1,面积为Af;I为工字形截面对中性轴的惯性矩;S1、S2分别为上下翼缘对中性轴面积矩的绝对值.2应力分量的估计工字形截面单跨超静定深梁是工程中常见的超静定结构之一,其典型结构形式如图2所示,梁长为l,右端固定,左端铰支,上翼缘承受三角形线性分布荷载,最大荷载集度为q0,将腹板和上下翼缘隔离开,研究腹板的受力机理,计算简图如图3所示.图3中τ1和τ2分别为上下翼缘施加给腹板的切应力,线性荷载集度沿x轴的大小为xq0/l,左右支座的支反力分别为q0l/10和2q0l/5.梁内任一横截面上的剪力和弯矩分别为FS(x)=110q0l-q02lx2(2)Μ(x)=q010lx-q06lx3(3)则τ1=FS(x)S1Ι,τ2=FS(x)S2Ι(4)由式(2)可知,在x=0.447l处横截上的剪力为零,此截面为τ1和τ2的方向变化面,如图3所示.按照弹性力学中的记法,令σx表示弯应力,τxy表示切应力,σy表示挤压应力,由于梁的上翼缘承受线性分布荷载,即荷载集度随x的变化而变化,故σy不仅是y的函数还是x的函数.在y=-h1的边界上,σy=-q0x/l,在y=h2的边界上,σy=0,故可假设σy=xf(y),应用弹性力学中的半逆解法来求解各应力分量,算得各应力的弹性力学解答为{σx=x3(Ay+B3)+x(-2Ay3-2By2+6Ey+2F)+6Ηy+2Κσy=x(Ay3+By2+Cy+D)τxy=-x22(3Ay2+2By+C)+(A2y4+2B3y3-3Ey2-2Fy-L)(5)根据边界条件来确定式(5)中的待定常数A、B、C、D、E、F、H、K、L.考虑主要边界及次要边界的应力边界条件为{(σy)y=-h1=-xlq0,(τxy)y=-h1=τ1(σy)y=h2=0,(τxy)y=h2=τ2∫h2-h1(σx)x=0dy+(σx)x=0,y=h2⋅A2+(σx)x=0,y=-h1⋅A1=0∫h2-h1(σx)x=0ydy+(σx)x=0,y=h2⋅A2h2-(σx)x=0,y=-h1⋅A1h1=0∫h2-h1(τxy)x=0dy=110q0l(6)将式(5)中相应的应力分量代入到式(6)中,并令{L=5(α42+α41)-2(α52+α51),Μ=h(S2+S1)Ι-2Ν=(α2-α1)[5(α22+α21)-15(α42+α41)+6(α52+α51)]Ρ=hΙ(S1-S2)(2α2-α1)+3(S2hΙ-1)(α2-α1)Q=5α42(1-α2)+2α2α41(3α1-5)-3α22α1(α2-α1)(3-α2α1)(7)可得到式(6)的解为{A=q0Ιh3l[h(S2+S1)-2Ι]B=q02Ιh2l{h[(S2-S1)-3(α2-α1)(S2+S1)]+6Ι(α2-α1)}C=q0Ιhl{S2h-α2h[3α1(S2+S1)+(S2-S1)]+6Ια2α1}D=q02Ιl{α22h[(α2+3α1)(S2+S1)+(S2-S1)]-(2α32+6α22α1)Ι-2S2hα2}E=110Ah2L+13Bh(α2-α1)-q0l10h3ΜF=Ah320Ν+16Bh2(6α2α1-1)+q0l10h2ΡL=110Ah4Q+13Bh3α1(α21+3α2α1-1)+3q0lα2110hΜ+q0lα15hΡ-q0lS110ΙΗ=0,Κ=0(8)参照文献,考虑弯剪耦合效应的附加翘曲正应力σq为σq=2(1+μ)Ιq0lx∫y0S*dy(9)式中,μ为泊松比;S*为距中性轴的距离为y以外部分的横截面面积对中性轴的面积矩.重新记由弹性力学中的半逆解法所求得的弯应力为σe,则弯应力的最终表达式为σx=σe+σq(10)3横截面弯力公式由上面的分析可知,线性荷载作用下单轴对称工字形截面深梁的应力计算公式非常复杂,不便对其作进一步的分析,为了掌握剪力对弯应力的影响沿梁高及跨度的分布规律,以双轴对称工字形截面单跨超静定深梁为例进行分析,易得{A=-2q0lh316β+1,B=0,C=3q02hl4β+16β+1D=-q02l,E=q06β+1(l5h3-110lh),F=0L=q06β+1(h80l-3l20h-3l5hβ),Η=0,Κ=0(11)式中β为翼缘与腹板面积比,则可得到各应力分量的计算公式{σx=2q0lh31(6β+1)y(35l2x-x3)+q0xlyh16β+1(4y2h2-35)+12(1+μ)q0h3(6β+1)xl[h2βy+(h24y-13y3)]σy=-q02lx(1-3yh4β+16β+1+4y3h316β+1)τxy=q0(35l2-3x2)lh16β+1(4β+14-y2h2)+q0ly6β+1(-y3h3+310yh-h80y)(12)记沿横截面高度方向且受拉部分的面积矩为S,受压部分的面积矩仅将S变为其相反数即可,并算得S=4β+18h2-12y2(13)前面已经算得剪力FS(x)和弯矩M(x)的值,则式(13)可写为{σx=Μ(x)Ιy+q0xlyh16β+1(4y2h2-35)+12(1+μ)q0h3(6β+1)xl[h2βy+(h24y-13y3)]σy=-q02lx(1-3yh4β+16β+1+4y3h316β+1)τxy=FS(x)SΙ+q0ly6β+1(-y3h3+310yh-h80y)(14)在主要应力弯应力σx的表达式中,第1项是主要项,是弯矩产生的应力,和材料力学的解答相同;第2项则是应用弹性力学提出横截面翘曲引起的应力修正项;第3项是弯剪耦合修正项.应力分量σy是梁的各纤维间的挤压应力,材料力学中不考虑这一项.在切应力τxy的表达式中,第1项是主要项,是剪力产生的应力,和材料力学的解答相同;第2项则是弹性力学提出的修正项.4不同跨高比的分布及分析为了方便应力分布规律分析,引入量纲为1位置参数如下:剪高比ξ=2y/h,剪跨比η=x/l,跨高比α=l/h,则弯应力σx的表达式可写为σx=q0α26β+1ξη35-η21+12α2ξ2-3535-η2+6(1+μ)α2(35-η2)-ξ212+β+14(15)引入量纲为1翘曲正应力λ,有λ=12α2ξ2-3535-η2+6(1+μ)α2(35-η2)-ξ212+β+14(16)λ代表剪力对弯应力的影响程度,为了反映剪力对弯应力的影响沿梁高的分布规律,以距铰支端0.447l处横截面为例进行分析,该处截面具有最大的正弯矩,可知η=0.447,-1≤ξ≤1,取β=0.5,μ=0.3,作出不同跨高比下λ-ξ关系曲线如图4所示;为了反映剪力对弯应力的影响沿梁跨度的分布规律,以下翼缘外侧部分为例进行分析,可知ξ=1,-1≤η≤1,作出不同跨高比下λ-η的关系曲线如图5所示;为了反映λ关于跨高比α及翼缘与腹板面积比β的变化规律,以距铰支端0.447l处横截面下翼缘外侧的点为例进行分析,则η=0.447,ξ=1,作出不同面积比下的λ-α的关系图及不同跨高比下的λ-β关系图如图6、7所示.由图4～7得出如下结论:1)沿梁高方向,以距铰支座0.447l处横截面为例(该处截面具有最大的正弯矩),量纲为1翘曲正应力λ与剪高比ξ的关系曲线总体趋于平稳,说明剪力对弯应力的影响沿梁高方向几乎处于同一水平,这和剪应力分布规律一致;2)沿梁跨度方向,以下翼缘外侧为例,量纲为1翘曲正应力λ与跨高比η的关系曲线以η=0.77为分界点,分为左右2个区域,在左边区域,沿梁跨方向,λ逐渐增大,说明剪力对弯应力的影响逐渐增大,在η=0.77处,剪力对弯应力的影响达到最大,由弯矩的表达式可知,η=0.77处横截面的弯矩为0,故由纯弯矩产生的弯应力为0,弯应力的产生是由于非平截面及相邻横截面翘曲不同步造成的,故在此处剪力对弯应力的影响达到最大,当η>0.77时,λ的值为负,这主要是受固端弯矩的影响,且离固定端越近,影响越小;3)剪力对弯应力的影响随翼缘与腹板面积比的增大而增大,随跨高比的减小而增大,这均和以往的认识一致;4)通过与均布荷载作用下的工字形截面深梁的量纲为1翘曲正应力比较,在均布荷载集度和线性分布最大荷载集度相同的情况下,线性分布荷载作用下的量纲为1翘曲正应力大于均布荷载作用下的量纲为1翘曲正应力,亦即线性分布荷载变化率越大,翘曲正应力也越大.5工字形截面深梁应力的计算模型本文推导出线性荷载作用下工字形截面单跨超静定深梁的应力计算公式,并对剪力对弯应力的影响作了进一步的分析,获得剪力对弯应力的影响沿梁高和跨度的分布规律以及