水工钢结构中双悬臂工字梁稳定性分析

水工钢结构中双悬臂工字梁稳定性分析

1梁总稳定能量法的总结1.1纵向平面内梁内荷载双臂承受钢梁的承载方法与文献规范处理方法相同。它由梁和墙柱承受。通常，按照一端固定损坏，另一端移动损坏。纵向平面在两支承处存在构造约束,考虑按铰支处理。设作用于竖向对称平面内梁中轴线上荷载如图1所示,悬臂段长为l0,中跨段长为l。梁横截面高h,翼缘宽为b,厚度(平均厚度)为t。坐标系如图1所示。当作用于工字形钢梁竖向平面yoz上的荷载达到极限值时,工字形钢梁将丧失平面弯曲的稳定平衡状态,发生侧向倾覆失稳破坏,在此过程中工字形钢梁发生了侧向弯曲和扭转变形。1.2钢梁侧向弯曲扭转应变能及力学性能根据材料力学能量法求解临界荷载,梁的扭转与弯曲的微分方程如下:EΙxv″=-Μx;EΙyv″=-Μy;GΙtφ′-EΙwφ‴=ΜΤ。(1)根据图1(b),在小变形情况下近似有My=βMx,MT=Mxu′,因此(1)式变为EΙxv″=-Μx;EΙyu″=-βΜx;GΙtφ′-EΙwφ‴=Μxu′。(2)当达到临界荷载时,梁竖向弯曲势能增量为零,而且因竖向弯曲刚度EIx远大于侧向弯曲刚度EIy,可以略去竖向弯曲能量。因此,梁屈曲时存储梁内的应变能只有两部分组成,即对y轴弯曲的应变能与对z轴扭转的应变能。对薄壁杆来说,后者又包括圣维南扭转和翘曲扭转。对称工字形钢梁侧向弯曲扭转应变能为U=12EΙy∫10(d2udz2)2dz+12GΙt∫10(dβdz)2dz+12EΙw∫10(d2βdz2)2dz。(3)对双轴对称工字形截面,剪切中心与截面形心重合,侧向弯曲扭转时只有My做功。根据能量法,外力势能应在数值上与外荷载做功相等,符号相反,得外力荷载势能为V=-∫Μ2xβ2EΙydz。(4)根据式(2)、(3)、(4)得到系统的总势能∏=U+V=12EΙy∫10(d2udz2)2dz+12GΙt∫10(dβdz)2dz+12EΙw∫10(d2βdz2)2dz-∫10Μ2xβ2EΙydz=12GΙt∫10(dβdz)2dz+12EΙw∫10(d2βdz2)2dz-12EΙy∫10Μ2xβ2dz‚(5)驻值条件为δП=0。(6)若假设满足边界条件的位移为β=B1sinπzl(简支梁),β=B2cosπz2l(悬臂梁)‚将以上两式分别代入式(5),(6)可等效为对B1(B2)的偏导数,即∂Π∂B=0,由此就可求出各种情况的临界荷载。简支梁临界荷载通式GΙt∫01(π2l)2cos2πz2ldz+EΙw∫01(π2l)2sin2πz2ldz=1EΙy∫01Μcr2sin2πz2ldz；(7)悬臂梁临界荷载通式GΙt∫01(π24l)2sin2πz2ldz+ELw∫01(π24l)2cos2πz2ldz=1EΙy∫01Μcr2cos2πz2ldz。(8)2双悬臂钢梁侧向弯扭变形规律在集中荷载、均布荷载及其组合形式作用下,双悬臂工字形钢梁的临界荷载计算简图如图1所示。当荷载及悬臂段长度满足某种关系时,该双悬臂工字形钢梁就会发生侧向弯扭变形。该结构的失稳取决于悬臂段与中跨段先达到临界状态者,故该结构的临界荷载就应是这两段临界荷载的最小值。2.1悬臂段的临界荷载2.1.1悬臂梁荷载修正由于构造约束的作用,双悬臂梁在支座处扭转角β(z)=0。因此,悬臂段的临界荷载计算可采用组合荷载作用在悬臂梁的临界荷载(8)式计算。前面推导临界弯矩过程中忽略了最大刚度平面内的弯曲势能,根据理论分析,悬臂梁要用荷载修正系数γ修正。γ随不同荷载形式取不同值。当集中荷载P作用在悬臂梁端部时,系数γ=1.08;当均布荷载q作用时,γ=1.21。考虑荷载修正后,悬臂梁在任意截面处的弯矩为Μx=Ρ*z+12q*z2=Ρ1zγ1+qz2γ2,代入公式(8)简化为Ρ12+0.1(ql0)2+0.6Ρ1(ql0)=16.17GΙtEΙyl04(1+π2EΙw4l02GΙt)。(9)若令n=l0l,则上式可化简为Ρ12+0.1n2(ql)2+0.6nΡ1(ql)=16.17GΙtEΙyn4l4(1+π2EΙw4n2l2GΙt)。(9a)2.1.2teyl2e2ew3.2et将q=0,p=0分别代入式(9),得悬臂梁在集中荷载和均布荷载作用的临界荷载计算公式:Ρ1=4.02GΙtEΙyl021+π2EΙw4l02GΙt;(10)q=12.72GΙtEΙyl021+π2EΙw4l2GΙt。(11)将Iw=0分别代入(9),(10),(11)式就可求得在组合荷载、集中荷载及均布荷载作用下狭窄矩形截面悬臂梁的临界荷载,经与有关规范及文献比较误差很小。2.2中距离噪声2.2.1计算简单图中跨段临界荷载的计算可按简支梁在组合荷载作用下的临界荷载式(7)计算,其荷载作用形式如图2所示。2.2.22q2q22,2.2q2.2.23.2.23.2.3s22,5.2q122,5.2q122,5.2.3.22,5.2.3.2.3.23.22,5.2.3.23.2.3.22,5.2.3.22,5.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.23.20.4中跨段任意截面弯矩为Μz={Ρ22z+ql2(z-z2l)-Μ0＜z＜12Ρ22(l-z)+ql2(z-z2l)-Μl2＜z＜l。将上式代入式(7)化简得Ρ22+0.36(1-32.6Μql2)Ρ2(ql)+0.36(1+84Μ2q2l4-18Μ2ql2)(ql)2=294.6GΙtEΙyl4(1+π2EΙwl2GΙt)。(12)若令n=2Μql2,则上式可化简为Ρ22+0.36(1-16.3n2)Ρ2(ql)+0.36(1+21n4-9n2)(ql)2=294.6GΙtEΙyl4(1+π2EΙwl2GΙt)。(12a)2.2.3临界荷载的计算将M=0代入(12)式,得组合荷载作用下简支对称工字形钢梁的临界荷载计算公式:Ρcr2+0.36Ρcr(ql)cr+0.36(ql)cr2=294.6GΙtEΙyl4(1+π2EΙwl2GΙt)。(13)将q=0,P2=0分别代入(13)式得集中荷载和均布荷载对称工字形钢梁的临界荷载计算公式:Ρcr=17.6GΙtEΙyl21+π2EΙwl2GΙt,(14)qcr=28.6GΙtEΙwl3(1+π2EΙwl2GΙt)。(15)将Iw=0分别代入(13),(14),(15)式就可求得在组合荷载、集中荷载、均布荷载作用下狭窄矩形截面简支梁的临界荷载关系及临界荷载,经与有关规范及文献比较误差很小。将Iw=0代入式(12)得组合荷载作用下狭窄矩形截面双悬臂钢梁的临界荷载计算公式:Ρ22+0.36(1-32.6Μql2)Ρ2(ql)+0.36(1+84Μ2q2l4-18Μ2ql2)(ql)2=294.6GΙtEΙyl4。(16)当Μx=12ql02,Ρ1=Ρ2=0代入式(12)得均布荷载作用下双悬臂对称工字形钢梁的临界荷载计算公式:qcr=28.6l3EΙyGΙt1-9n2+21n41+π2EΙwl2GΙt‚(17)其中n=l0l。2.3临界荷载的计算在组合荷载作用下,双悬臂工字形钢梁整体稳定性应为悬臂段及中跨段临界荷载之中的最小值。若以P为纵坐标,以ql为横坐标,以n为参数,则式(9a)及(12a)均为n参数的两条椭圆曲线,而实际工字形钢梁的临界荷载即为这两条椭圆曲线的下轮廓线。即参数n已知时,外荷载P,ql落在下轮廓以内,则该双悬臂工字形钢梁整体结构稳定,不会发生侧向倾覆失稳,否则结构失稳。图3给出的是悬臂段与中跨段临界荷载关系曲线。显然该临界荷载总图按特点可分为2个区间,第Ⅰ区间稳定性由悬臂段控制,应用公式(9a)计算临界荷载;第Ⅱ区间稳定性由中跨段控制,应用公式(12a)计算临界荷载。另外,临界荷载的大小与它作用点的位置有关。很明显,将荷载作用于梁轴线的上方将减小其值,而作用在梁轴线的下方将产生相反的影响。这种影响的大小可以很容易地用能量法来得到,只须考虑当梁侧向屈曲时由于中间截面的旋转而使荷载位置的额外下降。若β0为转角而a为荷载的作用点至截面中心的垂直距离(向上为正),于是荷载位置的额外降低为a(1-cosβ0)≈aβ02。可以把荷载在其位置额外降低距离上所做的功及扭转势能加到前面所叙的势能方程中求解临界荷载。由于额外做功很小,扭转变形势能更小,对势能方程为一很小的修正。令X=1+π2EΙwly2GΙt,m=γ2aπXEΙyGΙt‚u=m+X1+m2；则P=uPcr,q=uqcr。其中:简支梁ly=l;悬臂梁ly=2l;简支梁跨中集中荷载作用γ2=0.55;简支梁均布荷载γ2=0.45;悬臂梁自由端集中荷载γ2=0.64;P,q为作用点不在中性轴的临界荷载,Pcr,qcr为荷载作用在中性轴的临界荷载。其它的修正值可以参考文献。集中荷载作用在不同位置时临界荷载将不同,本文公式中集中荷载的位置是临界荷载最小的控制截面,即中跨段为跨中点,悬臂段为自由端端点,这也是工程中最常见的控制工况。3均布荷载作用下的倾覆稳定性根据式(11)、式(17)绘制悬臂段及中跨段临界荷载变化曲线,如图4所示。临界荷载应为两条曲线的下轮廓线,根据特点可分为2个区间。第Ⅰ区间稳定性由中跨段控制,第Ⅱ区间稳定性由悬臂段控制。可以看出,均布荷载双悬臂工字形钢梁的临界荷载随着l0l变化有上升段和下降段。上升段表明悬臂段负弯矩增强了该结构的稳定性;下降段表明悬臂段负弯矩过大引起屈曲,削弱了该结构的稳定性。由此可见,适当调整支座位置或荷载组合,便可提高其稳定性。由上面分析可知,恰当地选择l0l能有效地提高双悬臂工字形钢梁的倾覆稳定性。由图4及计算可知,均布荷载作用下,当l0l=0.404时,无量纲临界荷载最大值为97.36,这也是双悬臂工字形钢梁的合理悬臂长度及最大临界荷载。其值为现规范按简支梁考虑的建议值28.3的3.5倍。对其它荷载组合也可同样处理,以得到合理布置参数及最大临界荷载。4试验测梁的整体弹性稳定性一双悬臂工字形截面组合梁,悬臂段l0=3m,中跨跨度l=9m,承受次梁传给的集中荷载P2、两端悬臂段承受托梁传来集中荷载P1及满跨分布荷载q,如图5所示。假定梁的中点及两端有侧向支承,钢材为Q235B,试验算分析此梁整体弹性稳定性。已知:根据工字梁截面特性A=14880mm2,Ix=6550cm4,Iy=20800cm4,Wx=4502cm3,Iw=13619808cm6,E=20600kN/mm2,fy=235N/mm2,μ=0.3,It=522.22cm4,G=14714kN/mm2,q=18kN/m。4.1对本文件的评论根据式(9)、式(12)及已知条件求解临界荷载:Pcr1=128.17kN,Pcr2=560.40kN。4.2集中处理总体荷载与均布荷载规范中公式均不能直接验证组合荷载作用双悬臂梁的稳定性。规范处理这类问题的方法有两种,即在保证控制弯矩相等的前提下将荷载等效。一种是将集中荷载等效为均布荷载;另一种是将均布荷载等效为集中荷载。悬臂段本文公式解为Mcr=465.50kN·m。将集中荷载转化为均布荷载,Mcr1=673kN·m,比Mcr大45%,很不安全;将均布荷载转化为集中处理,Mcr2=420kN·m,比Mcr小10%,不太经济。中跨段按本文公式解为Mcr=815.66kN·m。将集中荷载转化为均布荷载,Mcr1=413kN·m,比Mcr小49%,太不经济;将均布荷载转化为集中处理,Mcr2=495kN·m,比Mcr小40%,也不经济。4.3梁的中跨段与悬臂段通过对4.1,4.2两种方法的计算结果比较,相同的参数有截然不同判断结果。这是由于文献各种近似处理误差很大所致。对双悬臂梁的中跨段简单处理为简支梁及将组合荷载的等效简化,均使临界荷载太小,对悬臂段第一种处理太不安全,第二种处理太不经济,而且不能反映各种荷载的组合关系。本文各公式考虑规范与文献的以上不足,以图3与图4宏观反映双悬臂对称工字形钢梁在组合荷载下倾覆时的各控制段的情况,提供各控制段的计算公式,同时公式能反映各组合荷载作用下的组合关系,并对合理悬臂长度的确定进行了探讨。5工字形钢梁倾覆稳定性临界荷载通用公式(1)通过分析给出的双悬臂对称工字形钢梁在组合荷