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文档简介

引例都是无穷小,但根据函数比的极限可以刻画无穷小趋于0的速度.§1.7无穷小的比较yxOy=x2y=3xy=sinx1引例都是无穷小,但根据函数比的极限可以刻画无穷小趋于0定义.若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作1.无穷小的阶返回2定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自2.无穷小阶的比较举例所以当x

0时

3x2是比x所以当x

3时

x2-9与x-3是

例2

例3

例1

下页

所以当n®¥时,

n1是比21n低阶的无穷小.高阶的无穷小

即3x2=o(x)(x

0)

同阶无穷小

32.无穷小阶的比较举例所以当x0时3x2是比x所以当所以当x

0时

1-cosx

是关于x

的所以当x

0时

sinx

与x是

例4

例5

2.无穷小阶的比较举例小结～当时，～～～二阶无穷小

等价无穷小

即sinx~x(x

0)

返回4所以当x0时1-cosx是关于x的所以当x0定理1β与α是等价无穷小

β

=a+o(a)

下页3.关于等价无穷小的定理必要性:

证明所以b–a=o(a)

因为设a~b

只需证b–a=o(a)

充分性:设b=a+o(a)

则因此a~b

5定理1β与α是等价无穷小β=a+o(a所以当x

0时

有

sinx=x+o(x)

tanx=x

o(x)

例6

下页3.关于等价无穷小的定理定理1β与α是等价无穷小

β

=a+o(a)

6所以当x0时有sin下页3.关于等价无穷小的定理定理2

证明

定理1β与α是等价无穷小

β

=a+o(a)

7下页3.关于等价无穷小的定理定理2证求两个无穷小比值的极限时

分子及分母都可用等价无穷小来代替

因此

如果用来代替的无穷小选取得适当

则可使计算简化

定理2的意义:下页3.关于等价无穷小的定理定理2定理1β与α是等价无穷小

β

=a+o(a)

8求两个无穷小比值的极限时分子及分母都可

解

当x

0时

tan2x~

sin5x~

解

当x

0时sinx~x

所以

p59-3例7

p59-4例8

2x5x所以下页9解当x0时tan2x~例9解常用等价无穷小:当x

0时

1－cosx~

tan2x~

2x下页10例9解常用等价无穷小:当x0时1－cosx~

例10解1常用等价无穷小:解2

下页11例10解1常用等价无穷小:解2下页11常用等价无穷小:对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.注意例10解1下页p60.4.(3)12常用等价无穷小:对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.注意例常用等价无穷小:对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.注意

例11下页13常用等价无穷小:对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.注意

例12解常用等价无穷小:下页14例12解常用等价无穷小:下页14

例13常用等价无穷小:结束15例13常用等价无穷小:结束15内容小结1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小16内容小结1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化2.等价无穷小替换定理～～～～～思考与练习P59题1,2

作业

P593(2)

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