北京市通州区2020学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)

北京市通州区2020学年高二数学下学期期末考试一试题(含解析)北京市通州区2020学年高二数学下学期期末考试一试题(含解析)北京市通州区2020学年高二数学下学期期末考试一试题(含解析)州区2020学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必然答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．1.已知cos50,，则tan等于，且13A.12B.5C.12D.5512512【答案】A【解析】【解析】由同角三角函数的基本关系，可求得sin12sin，再由tan求值。1312cos【详解】由于sin2cos21，0,，所以sin，13sin1212，所以tan13由于tan5。cos513【点睛】已知sin,cos,tan中的一个，则别的两个都能够求出，即知一求二。R，以下各式中与sin相等的是A.sinB.cosC.sinD.2sin【答案】D【解析】【解析】由引诱公式

sin

sin

，可得答案。【详解】由于

sin

sin

，所以与

sin

相等的是

sin

。【点睛】引诱公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”。3.设角的终边经过点(3,4)，则cos()的值等于4A.2B.2C.72D.1010107210【答案】B【解析】【解析】角的终边经过点(3,4)，得sin4,cos3，代入cos()张开后的式子554进行求值。【详解】由于角的终边经过点(3,4)，所以sin4,cos3，55所以cos()cossinsincos32422。444525210【点睛】本题观察三角函数的广义定义、两角差的余弦公式，注意两角差余弦公式张开时，中间是加号，符号不能够记错。如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A.6B.9C.12D.15【答案】B【解析】【解析】经过三视图还原几的直观图，是一个条侧棱与底面垂直的三棱锥，利用三视图的数据求出几何体的体积即可。【详解】该几何体是三棱锥ABCD，以下列图：则V1SBCDAB1(163)39。332【点睛】本题以三视图为载体，要求还原几何体的直观图，再经过三视图的数据，观察三棱锥体积公式的应用。已知,是平面，m,n是直线，以下命题中不正确的选项是A.若m//，m，I=n，则m//nB.若m，m，则C.若，m，m，则m//D.若m//，m，则//【答案】D【解析】【解析】由线面平行的性质定理可判断A；由面面垂直的判判定理可判断B；由面面垂直的性质定理和线面平行的判判定理可判断C；由线面平行的性质和面面的地址关系可判断D。【详解】对A，若m//，m，I=n，由线面平行的性质定理可得m//n，故A正确；对B，若m，m，则，就是面面垂直的判判定理，故B正确；对C，若，m，则m//或m，但m，所以m//，故C正确；对D，若m//，m，则,也能够订交，故D不正确。【点睛】本题观察空间线线、线面和面面的地址关系及平行和垂直的判断和性质定理的应用，观察空间想象能力。6.设函数f(x)sinxcosx(0,)的最小正周期为π，且2f(x)f(x)，则A.1,B.1,44C.2,D.2,44【答案】D【解析】【解析】利用辅助角公式把f(x)化成f(x)2sinx(0,)，利用周期42T2的值，再依照奇函数性质f(0)0，获取的值。，求出【详解】由于f(x)2sinx(0,)，422，所以2，又周期T由于

f(x)

2sin2x

4

，且

f(x)

为奇函数，所以f(0)0，所以2sin0，又，解得：。424【点睛】本题观察辅助角公式的应用及正弦型函数的周期、奇偶性，再依照三角函数值求解时，要注意角的取值范围。7.在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（）A.C.

充分不用要条件充要条件

B.D.

必要不充分条件既不充分也不用要条件【答案】C【解析】试题解析：必要性在△ABC中，“cosA＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A＜B，若B不是钝角，显然有“sinA＜sinB”建立，若B是钝角，由于A+B＜π，故有A＜π-B＜

，故有

sinA＜sin（π-B）=sinB2综上，“cosA＞cosB”能够推出“sinA＜sinB”：充分性：由“sinA＜sinB”若B是钝角，在△ABC中，显然有0＜A＜B＜π，可得，“cosA＞cosB”若B不是钝角，显然有0＜A＜B＜，此时也有cosA＞cosB2综上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”建立故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要条件C考点：本题观察三角函数和充要条件判断谈论：解决本题的要点是掌握充要条件的判断方法，利用原命题真假证充分性，抗命题的真假证明必要性，8.设点B为eO上任意一点，AO垂直于eO所在的平面，且AOOB，关于eO所在的平面内任意两条相互垂直的直线a,b，有以下结论：①当直线AB与a成60o角时，AB与b成30o角；②当直线AB与a成60o角时，AB与b成60o角；③直线AB与a所成角的最小值为45o；④直线AB与a所成角的最小值为60o.其中正确结论的序号为A.①③B.②④C.②③D.①④【答案】C【解析】【解析】①②命题，经过作图把直线AB与a所成的角作出，再去求解AB与b所成的角。一组，③④命题，直接依照线面角的定义。rr【详解】如图圆锥中，AOOB，直线ab，点D,M分别为BC,AC的中点，则ABC为直线AB与a所成的角，MDO为直线AB与b所成的角，设AOOB1，若ABC60o，则OMODMD，所以MDO60o，故②正确；由于AB与eO所在的平面所成角为45o，即直线AB与平面内所有直线所成角中的最小角，所以当直线a与直线AB所成角的最小值为45o，故③正确。【点睛】本题观察异在直线所成角、线面角定义、最小角定理，观察空间想象能力、运算求解能力，能否正确找出两个角是解题的要点。第二部分（非选择题二、填空题：(本大题共

共110分）6小题，每题

5分，共

30分．)把正确答案填在题中横线上9.已知tan2，则tan________.4【答案】-3.【解析】【解析】由两角差的正切公式张开，解关于tan的方程。【详解】由于tan2，所以tan12tan3。41tan【点睛】本题观察两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号。10.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以的Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若sin55

，则cos2等于________.【答案】3.5【解析】【解析】由角与角的终边关于y轴对称，得sinsin5，再代入cos2的2倍5角张开式，进行求值。【详解】由于角与角的终边关于y轴对称，所以sinsin5，5由于cos212sin21213。55【点睛】依照角与角的终边的对称，利用三角函数线可快速获取两个角的三角函数值之间的关系。11.要获取函数ysin(2x)的图象，只要将函数ysin2x的图象向____平移3_____个单位.【答案】(1).左.(2)..6【解析】【解析】函数ysin2x改写成ysin2(x)，函数ysin(2x)改写成ysin[2(x)]，对3

6比两个函数之间自变量发生的变化。【详解】函数

y

sin2x

等价于

y

sin2(x)

，函数

y

sin(2x

)

等价于3ysin[2(x

)]，6所以函数的图象向左平移

个单位。6【点睛】函数的平移或伸缩变换都是针对自变量

x而言的，所以本题要先

x的系数2提出来，再用“左加右减”的平移原则进行求解。12.能说明命题“在ABC中，若acosAbcosB，则这个三角形必然是等腰三角形”为假命题的一组A,B的值为_____.【答案】答案不唯一满足（AB90o）即可.【解析】【解析】由可得：AB或AB90o，所以当A30o,B60o时，显然也满足条件，但三角形不是等腰三角形，进而获取原命题为假命题。【详解】由于acosAbcosB，所以sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B，所以AB或AB90o，所三角形为等腰三角形或直角三角形，所以当A30o,B60o时，原命题显然为假命题。【点睛】本题以三角形知识为背景，观察解三角形与简单逻辑的交会，观察逻辑推理能力。以下列图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量察看点．从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60．已知山高BC500m，则山高MN________m．【答案】750.【解析】【解析】利用直角三角形求出AC，由正弦定理求AM，再利用直角三角形求出MN的值。【详解】在RtABC中，CAB45,BC500m，所以AC5002m，在AMC中，MAC75,MCA60，进而AMC45，ACAM3由正弦定理得：，所以AM500225003m，sin45sin6022RtMNA中，AM5003m,MAN60o，由MNsin60，得MN5003750m。AM32【点睛】本题以测量山高的实责问题为背景，观察正弦定理在解决实责问题中的应用，求解时要注意结合立体几何图形找到角之间的关系。14.如图，在边长为2正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在正方体表面上搬动，且满足B1PD1E，则点B1和满足条件的所有点P构成的图形的面积是_______.【答案】9.2【解析】【解析】点P满足B1PD1E，且在正方体的表面上，所以点P只幸亏面ABCD、面BCC1B1、面CC1D1D、面ABB1A1内。【详解】取CC1，CD的中点分别为N,M，连接AM,MN,B1N,AB1，由于AB1//MN，所以AB1NM四点共面，且四边形AB1NM为梯形，由于D1EMN,D1EAM,MNAMM，所以D1E面AB1NM，由于点P在正方体表面上搬动，所以点P的运动轨迹为梯形AB1NM，以下列图：因为正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，所以NM2,AB122,AMB1N5，所以梯形AB1NM为等腰梯形，所以S1(MNAB1)h1(222)99。2222【点睛】本题以动点问题为背景，观察空间中线面、线线地址关系、面积的求解运算，解题的要点在于确定点P的运动轨迹。三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x.（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x[0,π时，求f(x)的单调递加区间.]2【答案】（1）；（2）[0,3π].8【解析】【解析】（1）利用三角恒等变换，把函数f(x)化成f(x)Asin(x)B的形式，再求周期；（2）先求f(x)在定义域内的单调递加区间，再把单调区间与区间π取交集。[0,]2【详解】（1）因f(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x12sin(2x)1，4所以f(x)的最小正周期T2.2（2）函数ysinx的单调递加区间为[2k,2k](kZ)，22则2k2x2k，即k8xk3,kZ，2428由于x[0,π时，所以f(x)的单调递加区间为[0,3π]].28【点睛】本题观察三角恒等变换及三角函数的性质，在求单调区间时，不能够把定π义域x[0,]忽视，以致求出的单调区间在定义域之外。216.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACCB2，AA122，且ACCB，AA1底面ABC，E为AB中点,点P为B1B上一点.（1）求证：BC1//平面A1CE；（2）求二面角A1CEB的余弦值；（）设BPa，若APAC，写出a的值（不需写过程）.31【答案】（1）见解析；（2）5；（3）a2.5【解析】【解析】（）证明BC1//平面ACE，只要在面ACE内找到一条直线与BC1平行；111（2）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出两个面的法向量，再求法向量的夹角，结合图形发现二面角的平面角为钝角，进而求得二面角的余弦值。（）由APA1C，APCE可证得AP平面A1CE，进而获取APA1E，再3利用相似获取P为BB1中点。【详解】（1）连接AC1交A1C于O，连接EO，由于四边形ACC1A1为矩形，AC1，A1C为对角线，所以O为AC1中点，又由于E为AB中点，所以EO∥BC1，BC1平面A1CE，EO平面A1CE，所以BC1//平面A1CE.（）由于AA1底面ABC，所以CC1底面ABC，2又ACCB，所以以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.uuuruuur则A1(2,0,22)，C(0,0,0)，E(1,1,0)，B(0,2,0).CE(1,1,0)，CA1(2,0,22)，urvuuuvxy0设平面ACE的法向量为则有mCA·10m(x,y,z),vuuuv，即102x22z0mCE·ur(1,1,2).令x1，则m2uuuur2)为平面BCE的法向量，由题意CC1底面ABC，所以CC1(0,0,2所以cosuruuuur5，又由图可知二面角A1CEB为钝二面角，m,CC15所以二面角A1CEB的余弦值为5。5（3）a2.【点睛】本题观察线面平行判判定理、利用空间向量求二面角的大小等知识，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时要注意在图中增加辅助线。17.在ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知abcosCcsinB.1）求B；2）若c22，b25，求ABC的面积.【答案】（1）B；（）6.4【解析】【解析】（1）利用正弦定理及题设，获取等式sinAsinBcosCsinCsinB，由sinAsin(BC)代入等式获取关于B的三角方程，再求得角B的值；（2）依照（1）中结论，利用余弦定理获取关于a的方程，求出a6，利用面积公式SABC1acsinB求得面积。2【详解】（1）由正弦定理及题设得：sinAsinBcosCsinCsinB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC所以sinBcosB，即tanB1，由于0B，所以B。4（2）由余弦定理b2a2c22accosB可得：a24a120，解得a6或a2（舍），由于SABC1acsinB162226。222【点睛】本题观察正弦定理、余弦定理、三角形内角和、三角形面积公式等知识，观察运算求解能力，求得tanB1，要注意写上条件0B，才能获取B。418.如图，

ABC是等腰直角三角形，

CAB

90o，

AC

2a

，E，F

分别为AC，BC的中点，沿

EF

将

CEF

折起，获取以下列图的四棱锥

C-ABFE1）求证：AB平面AEC；2）当四棱锥C-ABFE体积取最大值时，写出最大体积；求CF与平面CAB所成角的大小.【答案】（）见解析；（）C-ABFE最大体积为a3；(ii).12(i)26【解析】【解析】（）由翻折前后的不变性，得EFAE，EFCE，且AEICEE，可证得1AB平面AEC；（2）(i)当面C'EF底面ABFE时，四棱锥C-ABFE的体积达到最大；(ii)当四棱锥C-ABFE体积取最大值时，可得EC平面，以ABFE.EA、EF、EC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐uuuur标，求出平面CAB的一个法向量和CF，再求两个向量夹角的余弦值，进而得到线面角的正弦值。【详解】证明：（）由于ABC是等腰直角三角形，CAB90o，E，F分别为1AC，BC的中点，所以EFAE，EFCE，又由于AEICEE，所以EF平面AEC，由于EF∥AB，所以AB平面AEC.（2）(i)当面C'EF底面ABFE时，四棱锥C-ABFE的体积达到最大，则V1S梯形ABFEC'E1(3aa)aa3.3322(ii)由于四棱锥CABFE体积取最大值,所以EC平面ABFE.分别以EA、EF、EC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，uuuruuur(a,2a,a)，则C(0,0,a),A(a,0,0)，B(a,2a,0)，F(0,a,0),AB(0,2a,0)，C'BuuurCF(0,a,a).urvuuuv0,ax2ayaz0,mCB设平面CAB的一个法向量为m(x,y,z),由vuuuv得,2ay0mAB0取x1，得yur0,z1．则m=(1,0,1)，uruuur1，所以CF与平面CAB所成角的正弦值为1，所以cosm,CF22所以CF与平面CAB所成角的大小为.6【点睛】本题以翻折为背景，观察线面垂直的判判定理、棱锥体积、线面角等知sin|cosuuuurr|。识，对线面角与向量的夹角关系要理清楚不能够弄错，即C'F,n19.定义：T(x,y)cosxcosysinxsiny，其中x,yR.（1）设f(x)T(2x,)，求f(x)在区间[0,]的最小值；32（2）设g(x)T(x,)T(x,)2aT(x,)，其中aR.求当x[2,]时，g(x)的6622最大值（用含有a的代数式表示）.【答案】（1）1；（2）当a1时，sinx1，g(x)max2a1；当1a124时，sinxa，g(x)maxa23；当a1时，sinx1，g(x)max2a1.44【解析】【解析】（1）依照定义求出f(x)cos(2x)，利用整体思想获取2x2，再3333由三角函数线获取，当2x32时，f(x)获取最小值；3（2）由定义求得g(x)(sinxa)2a23，利用换元法，把问题转变为求一元4二次函数在闭区间上最大值问题。【详解】（1）由题意可知f(x)cos(2x)，3由于x[0,]，则2x2，333221所以当2x3，即x时，f(x)min.322（2）g(x)T(x,)T(x,)2aT(x,)6623cosx13cosx12asinx(sinx)(sinx)22223cos2x1sin2x2asinx44sin2x2asinx34(sinxa)2a234令tsinx，由于x[,2]，所以t[1,1]，2则函数yg(x)的最大值，可转变为求函数y(ta)2a23t[1,1]的最大值，1的14在当a1时，t时，ymaxg(x)max2a4；当1a1时，ta时，ymaxg(x)maxa23；4当a1时，t1时，ymaxg(x)max2a1.4【点睛】本题是创新式问题，给定一个新定义，要会从定义中读守信息，实质观察三角函数和一元二次函数含参的最值问题，第（2）问依照对称轴与区间