基于机电耦合模型的压电振动发电机负载特性分析

基于机电耦合模型的压电振动发电机负载特性分析

压电陶瓷发电机随着无线传感器节点规模的减小和线路能量消耗的增加，无线传感器设备越来越需要体积小、寿命长、能量密度高的新型电源。压电材料通过振动能够将环境中的机械能转化为电能,具有能量密度大、无污染、结构简单等优点,可以应用在结构监控、环境控制、健康监控、数字农业、战场检测等需要免维护的领域。压电陶瓷具有良好的力-电转换特性,其研究涉及测量、控制、智能结构和电子信息等领域,随着新型供电方式的广泛应用,利用压电陶瓷进行能量收集的技术正逐步成为研究热点。压电陶瓷发电机利用压电陶瓷的振动来实现能量转换,多采用悬臂梁式结构。本文通过对悬臂梁结构的压电振子的压电性能和力学性能进行分析,建立机电耦合模型的微分方程式,利用Simulink仿真建立传递函数,导出输出电压和功率与输入振幅及频率的关系,从而为优化几何参数,得到最佳匹配的机械模型提供良好的基础。1悬臂梁式压电振动发电机模型选择悬臂梁作为压电振动发电机机械结构,是因为这样压电片具有较低的谐振频率和较高的应变,并且电极制作比较方便。悬臂梁式压电振动发电机中压电片工作在31模式,其极化方向为垂直方向。在交变弯曲应力的作用下,压电片被交替拉伸和压缩,从而在上下表面间产生交变电压。如图1所示,悬臂梁式压电振动发电机由镀有电极的双压电片、钢片夹层和质量块组成。悬臂梁式压电振动发电机模型的建立需综合压电学、力学和电学等相关理论,本节简单介绍该模型建立过程。1.1动态加速度模型该模型建立是以压电方程、牛顿运动定律以及材料力学的相关理论为基础,最终导出振动频率和加速度大小与输出电压和功率的关系。为了简化模型的形式,本文作以下假定:1)梁的质量可以忽略;2)压电片只受到轴向应力;3)质量块的刚度无穷大;4)复合梁的各层之间无相对滑动;5)变形前垂直于轴线的平面在变形后仍为垂直于轴线的平面;6)剪应力的影响可以忽略。1.1.1e型、h型压电方程是描述压电材料的力学量及电学量的相互关系的表达式。压电方程共有d型、g型、e型、h型四种,其中d型最为常用。四种压电方程是可以相互转换的。下面主要介绍一下d型压电方程。这里{S}是应变矩阵,{T}是应力矩阵,{D}是电位移矩阵,{E}是电场强度矩阵,[sE]是弹性柔顺常数矩阵,[d]是压电常数矩阵,[εT]是介电常数矩阵。1.1.2直方向的位移与应变的关系采用牛顿第二定律对质量块动力学分析,假定整个系统的质量都集中在质量块的质心。由于我们关心的是压电片上的机电耦合关系,因此需要将质量块的振动映射到压电片的伸缩运动上。从这个意义上说,质量块在垂直方向的位移与应变的关系是非常重要的,它建立了联系质量块的垂直振动与压电片的水平伸缩运动及换能器电压变化之间的桥梁。由牛顿第二定律可得系统的动力学方程为:其中,m为质量块的质量,bm为阻尼系数,k为弹簧刚度系数,δ为质量块沿垂直方向的位移,a为振动加速度。ma为惯性力。需要特别指出的是,这里实际上假定了ma是交变的,且直流分量为零,而且也忽略了其它可能存在的恒定外力(如重力)。即使质量块上的惯性力与外力之和的交流分量不为零,也只是在压电片中产生一个恒定的应变分量,而该分量并不会影响稳态端电压和输出电流。因此在分析换能器件的电特性时,只需考虑惯性力和外力中的交变分量。1.1.3机电耦合动力学方程利用(1)(2)(3)式,通过对悬臂梁结构的负载分析计算得到压电振动发电机的机电耦合动力学方程,由于篇幅有限,该方程的具体推导过程不在此列出。机电耦合动力学方程为:其中S为梁的应变,d31为压电常数,Ip为压电片转动惯量,I为中间层梁的转动惯量,tp为压电材料的厚度,lb为梁的固定端到质量块的距离,lm为质量块的长度,b为压电片的重心到钢梁的重心的距离,V为输出电压。方程(4)是机电耦合的关键,通过该方程可以将振动的加速度和输出电压联系起来,从而为研究机械能向电能的转化架起了桥梁,同时也为该压电振动发电机模型的优化设计提供了理论基础。1.2悬臂式压力振动器数学模型的简单分析1.2.1最优电阻的求解当换能器接纯电阻负载时,负载电阻与换能器极板间电容并联,此时流出换能器的电流为:其中isc为短路电流,Cb是换能器的电容,k31为机电耦合系数,R是负载电阻。电压与应变的关系为:其中ε为压电材料的介电常数,cp为压电材料的弹性模量。换能器接阻性负载时,最优电阻的设计是比较重要的,下面简单介绍一下最优电阻的求解过程。对式(4)和式(8)进行Laplace变换,并将式(8)变换后的表达式带入式(4)变换后的表达式,经整理得:其中V(s)和A(s)分别为Laplace变换后的电压和加速度。将式(9)整理得到V(s)和A(s)幅值之间的关系,再求得平均功率如下式所示:其中V0和A0分别为电压和加速度的幅值,ω为换能器的振动频率。对式(10)进行优化求得输出功率最大时的负载电阻值为:1.2.2标准系统的解析当换能器经桥式整流后接纯电容负载时,负载电容通过全波整流桥与换能器极板间电容并联,正压电效应方程可表示为:w为梁的宽度,Vl为负载电压,Vd为二极管工作电压,Cl为负载电容。正压电效应和逆压电效应的同时存在导致了压电换能器中的机电耦合现象,使换能器的性能分析更加复杂。接阻性负载时,该系统是线性系统可以通过上面的方程求得解析解;接容性负载时,无法直接求出系统的解析解,只能通过仿真得到系统输出。2传递函数的仿真悬臂梁式压电振动发电机的仿真主要是对式(4)取拉氏变换,作为传递函数的主干,以式(8)和式(15)、(16)分别作为反馈环节,建立以加速度a为输入变量,电压V为输出变量的传递函数仿真模型。如表1和表2所示,其所列的参数为仿真所用的实验数据,其中质量块的质量m=0.007kg。Simulink中的仿真参数设置为:仿真时间为10s,定步长,采样步长0.1ms,求解器采用ode5。2.1瞬时功率的求解当负载为纯电阻时,整个能量收集系统是一个线性系统,由于阻性负载无记忆性,因此要使它从换能器获得最大的平均功率,只需优化其阻值R即可。如图2所示,输入加速度a为正弦波,TransferFcn1和TransferFcn2是由式(4)得到的系统的主传递函数。Subtract模块后的输出为应变S,传递函数TransferFcn3是由式(8)建立的反馈环节,电压V可通过反馈环节,由应变S计算得出。电流是按照式(7)所示的方法进行求解的。power1和power2均表示对系统的瞬时功率的积分,但power1的瞬时功率是通过分析系统的等效机电耦合电路模型,得到的电流i,再由p=u·i得到,而power2的瞬时功率则由p=u2/R直接求得,平均功率可由power1和power2的结果除以采样时间得到。结果证明两种方法得到的平均功率是完全一致的。2.2非线性负载模型当负载为纯电容时,换能器必须经过整流后才能与负载电容并联,因此整个能量收集系统是一个非线性系统。负载电容Cl通常远大于压电片的电容Cb,因此在稳态工作条件下,Cl两端的电压近似恒定。逆压电效应对平均功率的影响很微弱,影响平均功率的主要因素是由于负载本身的接通和断开。因此对于容性负载来说,负载电容的电压Vl需要优化。如图3所示,输入加速度a也为正弦波,与阻性负载的仿真模型相比,增加了非线性环节Switch1和Switch2。Switch1环节的阈值为Vl+2Vd,其前后连接的是S和V的关系,该环节引入了非线性因素,其输出电压按式(15)和式(16)进行选通。Switch2环节的阈值为0,其输入信号为du/dt,当du/dt≥0时,输出为|u|;du/dt≤0,输出为0,此时电压达到最大值,负载连接断开。因负载电容的两端电压基本恒定,该换能器的开路电压高于Vl+2Vd时对负载进行充电,当开路电压一旦低于负载电压值,就会关断整流二极管,阻止电路对负载电容充电。电流的求法与阻性负载相同。Power为在仿真时间区间上对系统输出瞬时功率的积分,除以仿真时间就得到平均功率。工作频带宽度为换能器在稳定工作状态时,输出平均功率达到峰值的一半时对应的频率差值。设置图2和图3中Simulink模型正弦输入的频率为变量,通过M文件进行编程,调用图2和图3的模型计算平均功率,从而得到固定参数下不同频率对应的平均功率,再以合适的步长搜索半功率点对应的频率,就可得到工作频带宽度。工作频带宽度要根据不同振动频率下的平均功率得到,而输出平均功率是在固定振动频率下求解得到的,因此求解工作频带宽度的计算量要大得多。3模拟结果分析由图2、图3的仿真图可得到压电振动发电机的仿真结果。通过对结果的分析可以得到负载的电压和电流输出特性以及相关的特性曲线。3.1能源阻滞性能模拟结果分析换能器接阻性负载时,其完全符合线性关系,故其输出功率也可用解析方法计算的到。结果证明,该仿真结果和解析计算结果完全一致。3.1.1正弦波和正弦波如图4和图5所示,输出电压波形和电流波形都是正弦波,并且符合欧姆定律的线性关系。此时平均功率为151.1µW,最优电阻为632.5kΩ,激振频率ω=600.5rad/s。3.1.2负载电阻下等温如图6和图7所示,随着电阻增大电压逐渐增大,但当负载电阻达到一定数值后,电压变化平缓,趋于空载电压。相比之下,输出功率在达到峰值后逐渐衰减,但达到峰值后衰减幅度比上升的幅度要缓慢。3.1.3功率模型的求解将式(13)代入式(12)并化简可得:其中Ω=ω/ωn,ωn为该机械模型的固有频率,ω为该模型的实际振动频率。为了让振动产生最大的能量输出,二阶谐振系统中振源的振动频率应与机械模型的固有频率进行匹配,当振动源的频率等于压电振动发电机的谐振频率时,可以得到最大的输出功率。但从式(9)可以看出该模型的输出功率模型不是二阶谐振系统,而是三阶谐振系统,此时振动源的固有频率与压电振动发电机的振动频率并不相等。其最佳谐振频率可对式(17)进行优化得到,但式(17)阶数较高,代数求解过于复杂,因此将式(17)中的其它参数固定,绘制如图8所示的平均功率与Ω的关系。如图8所示,横轴表示Ω,纵轴为输出功率。从图8中可以看出该图形具有两个谐振峰值,分别对应换能器的谐振(resonant)频率(串联谐振)和反谐振(anti-resonant)(并联谐振)频率。由于两个峰值处的带宽(FWHM)较小,抗干扰性较差,故实际采用的Ω可取两峰值中间值所对应的值。与Roundy和Wright的模型的并联连接方式相比,本设计采用串联连接方式,该模型的输出电压约为Roundy和Wright设计模型输出电压的两倍,电流为其电流的一半,输出功率大体相当,最佳匹配电阻为Roundy和Wright设计模型的4倍左右。另外Roundy和Wright并没有对谐振频率进行具体的分析,其认为振动源的频率等于压电振动发电机的谐振频率时,输出功率最大。3.2最佳谐振频率换能器接容性负载时,输出功率无法用解析方法算出,其最佳谐振频率也无法通过解析方法得到,只能通过动态的仿真分析得到平均功率和最佳谐振频率,并且所接负载电容对输出电压影响不大。3.2.1发电机输出电压恒压如图9和图10所示,输出电压稳定波形为方波,电流稳定波形为被截断的正弦波,电压与电流之间不成比例关系。此时平均功率为114.7µW,负载电容为100µF,激振频率ω=576.9rad/s。因假定负载电压恒定,该发电机的输出电压迅速达到略高于阈值电压后,电压将不再升高,在峰值保持短暂的时间后,迅速下降至相反方向的峰值。电流波形在一个周期内被截断两次,分别对应正反两个电压达到峰值的时间,假定负载电压恒定,在峰值处输出电压与负载电压近似相等,此时输出电流为零。3.2.2接容性负载时风电振动对负载模型的影响如图11所示,在Ω=1时不同的负载电压对应的输出功率不同,因此可以通过跟踪负载电压大小,合理匹配负载参数,从而得到最大的功率输出。如图12所示,振动频率在固有频率附近时输出功率较大(Ω=1.03)。压电振动发电机接容性负载时,其谐振频率也不是在ω=ωn时,而是比ωn略大一点。与Roundy和Wright的模型的实验数据相比,接容性负载时该模型输出功率比较大,主要原因是机电耦合系数k31的取值不同所产生的结果的差异,另外该模型所考虑的非线性环节要更复杂一些,所得到的图形更能反映实际问题。从对以上两种负载的分析来看,接阻性负载时其模型相对简单;容性负载由于引进了非线性环节,用解析方法分析较为困难,采用仿真可