基于动态退化量分布的copula可靠性建模

基于动态退化量分布的copula可靠性建模

0基于趋势性能指标的分析科技的进步促进了更多产品的可得性和长期发展，但忽视了这些产品的可靠性、可用性、维护和安全性，通常是致命的结果。对于此类高可靠性、长寿命产品,利用传统的寿命试验,甚至是加速寿命试验,通常难以在规定时间内获取充分的寿命数据样本,同时加速破坏型试验易造成资源浪费、经济损失,这就使得经典的寿命终态型可靠性方法失去功效。高长寿命产品的失效往往从强度衰减、功能退化、经衍生发展,直至破坏,呈现疲劳、磨耗、腐蚀、老化等多种退化特征;表现为裂纹萌生、扩展、至疲劳断裂;点蚀、促进氧化、腐蚀断裂或是磨合、稳定磨损、至急剧磨损阶段等失效过程。那么在某一试验期间对该类产品的趋势性能指标(如裂纹长度、腐蚀深度、磨耗程度等)数据收集,经分析研究提炼其趋势特征,再预测其发展,便成为一种有效且节约成本的可靠性评估方法。高长寿命产品,尤其是机械、机电设备的组件存在的多种故障模式往往彼此互动相关。如对于传动齿轮表现的齿面点蚀、齿面磨损、齿面胶合和塑性变形、齿根弯曲、折断等故障形式,由于密封失效、润滑不当、零件的表面质量差等因素,使得齿面点蚀的存在,提高了齿面腐蚀磨损和磨料磨损的速率,进而促进齿面胶合、塑性变形的发生,也增大了齿轮折断的概率;反过来,齿面胶合、长期重复载荷作用萌生裂纹,封闭在裂纹中的润滑挤压作用使得裂纹扩大,也诱导齿轮点蚀。多故障模式相关性失效的产品可靠性计算是可靠性工程的难题,发展极不成熟。自DITLEVSEN等基于相关系数,考虑两两故障模式之间相关性,提出上下窄界理论,为国内外学者所接受。但随着失效模式数增加,计算冗繁。周金宇等基于Nataf变换建立载荷相关系统共因失效概率定量分析模型,给出将联合失效概率转化成一维标准正态积分的乘积的较实用方法,但各元件安全裕量之间线性相关系数的反解较困难。李贵杰等利用鞍点逼近方法和Nataf变换相结合来实现多故障模式的多维响应功能函数联合密度的近似,前提也是基于各故障模式在设计点的线性化。对于相关性失效的研究,文献[3,8-14]从相关系数的角度入手,但相关系数对变量相关性的刻画极具片面性(仅适用于线性关系,不足以反映故障模式变量之间的正相关性;同时相关系数的使用无法克服变量数增大带来的“维数烦恼”。本文依据极大似然估计、确定性趋势组合时序模型、条件期望预测等统计理论方法,分析处理高长寿命产品的性能退化数据,以确定性能退化量的动态发展分布。考虑产品各类故障模式的相关性互动影响,基于Copula理论,分别给出相对失效阈值、随机失效阈值—退化量相干作用下的多故障模式相关性失效的综合可靠性评估模型。1多故障模式相关结构的相关分析对于多故障模式高长寿命产品的可检测性能(如裂纹长度、腐蚀深度、磨耗程度等指标)进行检测试验,取得可靠性数据样本,假设如下。(1)有n个试样进行试验检测,选择等距相同的检测时刻t0,t1,…,tm。(2)产品有p种故障模式,其性能退化特征量记为X1,X2,…,Xp。显然当任意一种退化量达到其相应的失效阈值,产品便失效。(3)各退化量Xk(k=1,2,…,p)的相对失效阈值为skf,kth故障模式td时刻的边缘失效概率为随机失效阈值为变量Sk,其密度函数记为分布函数记为随机失效阈值下相关性干涉的边缘失效概率记为(4)ith试样的tj时刻p种退化特征量检测数据样本为(5)检测时刻tj的kth故障模式退化特征量Xk的概率密度函数为fXk(x,βXk(tj)),相应的分布函数为FXk(x,βXk(tj));βXk(tj)是分布特征参数,在常见于多种工况的正态分布下,βXk(tj)=(mXk(tj),sXk(tj))。显然,在动载荷长时间作用下,βXk(tj)多呈现确定趋势性。(6)对于既定工况下的高长寿命产品,设其多故障模式性能退化特征矢量(X1,X2,…,Xp)的相关结构为CopulaCq(u1,u2,…,up),q是相关性程度参数。产品各故障模式之间的正相关作用体现为对任意(x1,x2,…,xp)∈Rp,有对应的相关结构Copula映射为在不考虑各类故障模式的相干作用,即退化特征量相互独立的理想条件下,显然Sklar定理保证了任意n维随机矢量(X1,X2,…,Xn)之间相关结构CopulaCuf071的存在性、唯一性。定理1令(X1,X2,…,Xn)是n维随机矢量,其边缘分布函数分别是F1(·),F2(·),…,Fn(·),那么存在着一个n维CopulaC(u1,u2,…,un),使得对任意有若Fi(·)连续,则C唯一;否则在上被唯一确定。不同工况下,不同产品的多故障模式相关结构CopulaC(u1,u2,…,up)和其相关程度参数θ均不尽相同。(7)对于既定的kth故障模式,产品的随机失效阈值Sk与退化量Xk之间的负相关结构设为Copulauf061k则为两者负相关程度参数。2模型和参数估算的分类2.1退化量xkt特征时序估计依据检测时刻tj的退化数据样本xik(tj),i=1,2,…,n,针对kth种故障模式的对应性能退化特征量Xk(k=1,2,…,p),采用极大似然估计法,估计出tj(j=0,1,…,m)点处的Xk分布特征参数矢量βXk(tj)。不妨选择具有代表性的正态分布来表述,其极大似然估计的似然函数求解关于参数矢量(μXk(tj),σXk(tj))的对数似然方程组,从而得到kth故障模式产品性能退化量Xk分布的特征参数的时序估计样本为鉴于产品的性能退化响应,退化量Xk分布参数矢量时序βXk(t)呈确定性趋势特征,采用确定性趋势平稳组合时序模型拟合其动态响应。式中,分别是参数的时间趋势项,服从自回归滑动平均模型,自回归系数矢量φi=(fi,1,fi,2,…,fi,pi),i=1,2。均值参数μ(t)=(mXk,t-1,mXk,t-2,…,mXk,t-p1)和均方差参数σ(t)=(sXk,t-1,sXk,t-2,…,sXk,t-p2)分别为p1、p2阶回归序时矢量;滑动平均系数矢量ηi=(1,ηi,1,ηi,2,…,ηi,qi),i=1,2。iq阶白噪声序时基于估计出的退化量分布特征参数序时样本遵从经典趋势性时间序时的处理步骤完成参数矢量的时序建模。在上述确定性趋势平稳组合模型确立基础上,依条件期望原理,运用差分方程形式实现对退化量Xk的特征参数的预测。如对截尾观测点tm后延迟h期的动态时刻td=tm(h)处故障模式退化量Xk的特征参数的分量μXk(tm(h))的预测形式为显然,在h>q1时,式(7)中滑动平均项全部为零。同理,完成对的预测。如此便确定了td时刻产品kth故障模式退化量Xk的分布密度2.2各参数族的估计序对于多故障模式性能退化量之间的相关性刻画,先后完成相关结构定性拟合到相关程度度量的统计过程。首先根据高长寿命产品的n个试样在tj(j=0,1,…,m)的p种故障模式退化量检测值(xi1(tj),xi2(tj),…,xip(tj))的两两分量之间的散点图或是经验密度曲面,选择相关结构吻合的p维阿基米德CopulaCqt(u1,u2,…,up)参数族映射p维退化量之间的正相关性;而(X1,X2,…,Xp)的相关程度参数qt往往随工作时间t单调不减,在退化量分布特征参数估计值确定的基础上,采用二阶段极大似然估计法实现其动态响应的估计序时样本{θt}=(θt0,θt1,…,θtm)。θtj的似然函数为对数似然函数求解关于的对数似然方程以确定对时序进行确定性趋势时序分析,以预测既定时刻td处的故障模式退化矢量(X1,X2,(43),Xp)之间相关程度参数的估计值3相关失败的综合可靠性模型3.1失效阈值综合评估高长寿命产品的失效分析中,当其中某一故障模式的性能退化量Xk首先达到或是超过其额定的失效阈值,产品便发生失效。如GaAs激光器在80℃下的失效阈值为工作电流达到10%;疲劳裂纹扩展的裂级失效阈值为1.6。文献[16-18]多是针对某单一特定失效模式进行可靠性分析计算,但实际工程中,高长寿命产品,尤其是机械、机电零构件在不同工况下,受到多种外载荷长期作用(如疲劳、侵蚀、温度、磨耗、老化等),存在多种失效途径,且彼此失效相关,对此类产品的可靠性进行整体性的综合评估十分必要。根据第2.1节中确定的产品各故障模式性能退化量Xk的动态概率分布与对应相对失效阈值skf(k=1,2,…,p)的干涉作用,易算出产品在未来时刻td处的边缘失效概率在第2.2节中确定的各故障模式退化矢量之间相关结构Copula的基础上,完成对该产品相对失效阈值下的综合可靠性评估,其计算为式中是退化量Xk在td处的分布函数,依据多故障模式退化矢量(X1,X2,…,Xp)之间的失效正相关性Copula特征式(2),得特别说明,不考虑各故障模式相关性影响下的高长寿命产品可靠性计算结果偏于保守,而只考虑单一故障模式下的可靠度则太过开放,不利于安全性的正确预警。产品的实际可靠度不仅依赖于其各初始强度和强度衰减速率及失效阈值;还依赖于实际工况中的各故障模式相关结构和相关程度。3.2退化量xk与随机失效阈值sk的相关性分析性能退化高长寿命产品的可靠性计算基于退化量Xk与失效阈值的干涉模型,多数关于退化失效的研究针对于既定失效阈值。实际工程中,因影响机械零件强度的参数:材料性能、试件尺寸、表面质量、热处理方式等均为随机变量,造成产品的个体差异;以及受不同工况条件的外载荷影响等诸因素,均可导致其性能退化失效阈值亦为一随机变量Sk。另一方面,由于零件尺寸参数、材料性质、内部缺陷、表面质量、应力集中等因素,既影响着退化量Xk的取值,同时也影响着零件的失效阈值;温度、湿度等外载荷作用亦然;这就导致退化量Xk与随机失效阈值Sk之间呈负相关性。零件在综合因素作用下退化性能衰减速率越大(即td时刻Xk趋大),而其失效阈值Sk趋小。从而退化量随机过程{Xk(t)|t∈T}与随机失效阈值Sk之间的相关性干涉模型更具普适性。设td处退化量Xk(td)与失效阈值Sk的负相关结构为Copulauf061k是两者负相关程度参数,则随机失效阈值下相关性干涉的kth故障模式的边缘失效概率进一步若也不考虑失效阈值的随机性,即Sk=skf,则结果与式(11)一致。需要说明的是,传统的相对失效阈值下的零件可靠性计算,仅是忽略失效阈值随机性、忽略退化量-失效阈值相干作用下的一种理想简化的结果。退化量Xk(td)与Sk两者之间的负相关程度ak是一待估修正参数,可依据补充的终态失效时刻样本完成参数估计。其对应似然式中,sik(t-f)是产品i在失效时刻t-f因k故障模式而发生失效的退化量实际检测样本值;是失效时刻的预测结果;是依前期检测数据,轨迹预测的产品退化量Xk在失效时刻的取值。4模式相关失效综合可靠性评估结果某航空发动机的转轴是用来支承旋转部件或传递动力和旋转运动的重要构件,在支承传输动力作用下,处于高温甚至腐蚀性环境中,呈现有疲劳失效、磨损失效、腐蚀失效、变形失效4种故障模式,假设在掌握该轴4类故障模式退化量充分样本数据的基础上,试计算该类轴在飞行20000h后的零件可靠性。因文中缺少对该类转轴进行试验检测的退化量数据样本,仅给出本文提出的多故障模式相关性失效综合可靠性评估部分过程。设在完成对各退化量Xk(k=1,2,3,4)检测样本数据的时序统计分析基础上,得到飞行20000h正态分布特征参数矢量(μt,σt)的估计如表1所示。假设各故障模式性能退化的随机失效阈值分布的特征参数如表2所示。各失效模式下的转轴性能退化量Xk与对应随机失效阈值Sk的负相关结构选择服从ClaytonCopula族根据式(14),在相关程度参数uf061k估计的条件下,得到各边缘失效概率,见表3。进一步评估轴零件的综合可靠度,根据各类故障模式之间的正相关特征,选择GumbelCopula拟合性能退化矢量间的相关结构。依据检测点处退化特征量数据样本,采用二阶段极大似然估计法得到(X1,X2,…,Xp)之间的相关程度参数θ的估计序时以差分方程形式实现其动态发展预测则转轴在时刻td(飞行20000h后)的综合可靠度预计下图反映了转轴综合可靠度随故障模式相关程度参数的动态变化。在不考虑多故障模式的失效相关性条件下,转轴的综合可靠度为图下界针对单一故障模式的最薄弱环节计算法得到的转轴可靠度为图上界显然,前者过于保守,而后者对转轴可靠度估算过高,不利于对该类高可靠性长寿命产品的经济化使用和正确的安全评估。5多故障模式可靠性模型与模型的应用(1)时间序时的统计理论方法是进行高长寿命产品可靠性分析的有效手段,其通过研究产品的性能退化规律,预测其发展趋势,进而与对应失效阈值相干作用,达到定量可靠性评估的目的,克服了缺乏终态失效数据的不足。(2)本文基于Copula的相关性理论、时序统计方法,给出了多故障模式相关性失效的综合可靠度计算方法。该方法既考虑了产品多故障模式退化量之间的正相关性,又蕴含了