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文档简介
1/1不等式的证明方法经典例题不等式的证明方法
不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考消失较为形式较为活跃,证明中常常需与函数、数列的学问综合应用,敏捷的把握运用各种方法是学好这部分学问的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
留意abba22
2
≥+的变式应用。常用2
222b
aba+≥
+(其中+∈Rba,)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数,求证:
a
ccbbacba+++++≥++111212121二、综合法
综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。
2、a、b、),0(∞+∈c,1=++cba,求证:
31222≥
++cba
3、设a、b、c是互不相等的正数,求证:)(4
4
4
cbaabccba++>++4、知a,b,cR∈,求证:
)(22
2
2
2
2
2
cbaac
cb
ba
++≥++
++
+
5、),0(∞+∈yx、且1=+yx,证:9
)1
1)(11(≥++yx。
6、已知.9
111111,,≥?????+?????
+
=+∈+
babaRba求证:三、分析法
分析法的思路是“执果索因”:从求证的不等式动身,探究使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式。
7、已知a、b、c为正数,求证:
)3(3)2(
23
abccbaabba-++≤-+
8、),0(∞+∈cba、、且1=++cba,求证3≤++cba。
四、换元法
换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的。9、
1
b>c,求证:
.4
11c
ac
bba-≥-+-12、已知1≤x2+y2≤2,求证:2
1≤x2-xy+y2
≤3.
13、已知x2
-2xy+y2
≤2,求证:|x+y|≤10.14、解不等式15+-
-xx>2
1
15、-1≤2
1x--x≤2.
五、增量代换法
在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母挨次(如a>b>c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是削减变量的个数,使要证的结论更清楚,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简.
16、已知a,b∈R,且a+b=1,求证:(a+2)2
+(b+2)2
≥2
25.六、利用“1”的代换型
17、.
91
11,1,,,≥++=++∈+cbacbaRcba求证:且已知
七、反证法
反证法的思路是“假设→冲突→确定”,采纳反证法时,应从与结论相反的假设动身,推出冲突的过程中,每一步推理必需是正确的。
18、若p>0,q>0,p3
+q3
=2,求证:p+q≤2.证明:反证法
19、已知a、b、∈c(0,1),求证:ba)1(-,cb)1(-,ac)1(-,不能均大于41
。
20、已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于
4
1
。21、a、b、Rc∈,0>++cba,0>++cabcab,0>??cba,求证:a、b、c均为正数。八、放缩法
放缩时常用的方法有:1去或加上一些项2分子或分母放大(或缩小)3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数,求证:1<cbab+++dcbc
+++adcd+++
b
ada++<2.
23、
*
Nn∈,求证:
1
213
12
11)11(2-0时,则|x|axa。
注:这里利用实数肯定值的几何意义是很简单理解上式的,即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。3.常用的同解
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