不等式证明方法经典例题

1/1不等式的证明方法经典例题不等式的证明方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考消失较为形式较为活跃，证明中常常需与函数、数列的学问综合应用，敏捷的把握运用各种方法是学好这部分学问的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

留意abba22

2

≥+的变式应用。常用2

222b

aba+≥

+(其中+∈Rba,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数，求证：

a

ccbbacba+++++≥++111212121二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a、b、),0(∞+∈c，1=++cba，求证：

31222≥

++cba

3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：)(4

4

4

cbaabccba++>++4、知a,b,cR∈，求证:

)(22

2

2

2

2

2

cbaac

cb

ba

++≥++

++

+

5、),0(∞+∈yx、且1=+yx，证：9

)1

1)(11(≥++yx。

6、已知.9

111111,,≥?????+?????

+

=+∈+

babaRba求证：三、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式动身，探究使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c为正数，求证：

)3(3)2(

23

abccbaabba-++≤-+

8、),0(∞+∈cba、、且1=++cba，求证3≤++cba。

四、换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9、

1

b>c,求证：

.4

11c

ac

bba-≥-+-12、已知1≤x2＋y2≤2，求证：2

1≤x2－xy＋y2

≤3．

13、已知x2

－2xy＋y2

≤2，求证：|x＋y|≤10．14、解不等式15+-

-xx＞2

1

15、－1≤2

1x-－x≤2．

五、增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母挨次(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是削减变量的个数，使要证的结论更清楚，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．

16、已知a，b∈R，且a＋b=1，求证：(a＋2)2

＋(b＋2)2

≥2

25．六、利用“1”的代换型

17、.

91

11,1,,,≥++=++∈+cbacbaRcba求证：且已知

七、反证法

反证法的思路是“假设→冲突→确定”，采纳反证法时，应从与结论相反的假设动身，推出冲突的过程中，每一步推理必需是正确的。

18、若p＞0，q＞0，p3

＋q3

=2，求证：p＋q≤2．证明：反证法

19、已知a、b、∈c（0，1），求证：ba)1(-，cb)1(-，ac)1(-，不能均大于41

。

20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a不能同时大于

4

1

。21、a、b、Rc∈，0>++cba，0>++cabcab，0>??cba，求证：a、b、c均为正数。八、放缩法

放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩

22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜cbab++＋dcbc

++＋adcd++＋

b

ada++＜2．

23、

*

Nn∈，求证：

1

213

12

11)11(2-0时，则|x|axa。

注:这里利用实数肯定值的几何意义是很简单理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。3．常用的同解