高中数学必修5332简单的线性规划问题B

第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题如果若干年后的你成为某工厂的厂长，你将会面对生产安排、资源利用、人力调配的问题……【引例】：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

数据分析表：日生产满足402乙产品041甲产品B配件（个）A配件（个）每件耗时（h）应用举例248642【优化条件】：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？M(4,2)应用举例zmax=2×4+3×2=14线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。解线性规划问题的步骤：

2、在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（注意y的系数“+，-”）

3、通过解方程组求出最优解；4、作出答案。

1、画出线性约束条件所表示的可行域；画移求答解线性规划应用问题的一般步骤：

1、理清题意，列出表格； 2、设好变元，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数； 3、准确作图； 4、根据题设精确度计算。例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgAB分析：将已知数据列成表格0.1050.1050.070.140.140.07日常饮食含量0.0750.060.06解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，

总成本为z，那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y变形为xyo5/75/76/73/73/76/7

它表示斜率为随z变化的一组平行直线系

是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。M

如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张约束条件是作出可行域见课本图3.3-12目标函数是z=x+y此问题中，钢板张数为整数，在一组平行直线x+y=t中（t为参数），经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解虽然直线经过点A时，与原点距离最近，经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x+y=12,但是由得即点A(,)坐标不是整点，不合题意答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，截第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张。练习1、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。

xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。

故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。M容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmin＝3练习2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？

解

设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是Z＝3x＋2y

变形为

它表示斜率为的直线系，Z与这条直线的截距