全国高考理科数试题分类汇编3：三角函数

2013年全国高考理科数学分类汇编3：三角函数一、选择题1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知,则A.B.C.D.【答案】C2．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定【答案】B3．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））在△ABC中,则=

(A) (B) (C) (D)【答案】C4．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(A)(B)(C)0(D)【答案】B5．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））在,内角所对的边长分别为且,则A.B.C.D.【答案】A6．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数,下列结论中错误的是(A)的图像关于中心对称(B)的图像关于直线对称(C)的最大值为(D)既奇函数,又是周期函数【答案】C7．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））函数的图象大致为【答案】D8．（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是()(A)(B)(C)(D)【答案】A9．（2013年上海市春季高考数学试卷）既是偶函数又在区间上单调递减的函数是()(A)(B)(C)(D)【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））()A.B.C.D.

【答案】C

11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若A.B.C.D.【答案】D12．（2013年高考湖北卷（理））将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是()由题意得

30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【答案】

31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））设向量(I)若(II)设函数【答案】

32．（2013年高考上海卷（理）)已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.【答案】(1)因为,根据题意有

(2),

或,

即的零点相离间隔依次为和,

故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.

33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求.【答案】

34．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.【答案】解:由,得

,

即,

则,即

由,得,

由正弦定理,有,所以,.

由题知,则,故.

根据余弦定理,有,

解得或(舍去).

故向量在方向上的投影为35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））设△的内角所对的边分别为,且,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得,

又,,,所以,解得,.

(Ⅱ)在△中,,

由正弦定理得,

因为,所以为锐角,所以

因此.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））已知函数的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)讨论在区间上的单调性.【答案】解:(Ⅰ)

.所以

(Ⅱ)

所以37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得

又曲线的一个对称中心为,

故,得,所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数

(Ⅱ)当时,,

所以

问题转化为方程在内是否有解

设,

则

因为,所以,在内单调递增

又,

且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,

即存在唯一的满足题意

(Ⅲ)依题意,,令

当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,

现研究时方程解的情况

令,

则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况

,令,得或

当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于

当且趋近于时,趋向于

当且趋近于时,趋向于

当且趋近于时,趋向于

故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;

当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;

当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点

由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以

综上,当,时,函数在内恰有个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分14分.已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1)∵∴即,

又∵,∴∴∴

(2)∵∴即

两边分别平方再相加得:∴∴∵∴39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知函数,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求.【答案】(Ⅰ);

(Ⅱ)

因为,,所以,

所以,

所以.40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值;(II)求使成立的x的取值集合.【答案】解:(I).

(II)

41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?CBCBA【答案】解:(1)∵,

∴∴,

∴

根据得

(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则

∴

∵即

∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.

(3)由正弦定理得(m)

乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C

设乙的步行速度为V,则

∴∴

∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内

法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,

设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,

AB=52k,由AC=63k=1260m,

知:AB=52k=1040m.

(2)设乙出发x分钟后到达点M,

此时甲到达N点,如图所示.

则:AM=130x,AN=50(x+2),

由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2AM·ANcosA=7400x2-14000x+10000,

其中0≤x≤8,当x=eq\f(35,37)(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.

(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:eq\f(1260,50)=eq\f(126,5)(min).

若甲等乙3分钟,则乙到C用时:eq\f(126,5)+3=eq\f(141,5)(min),在BC上用时:eq\f(86,5)(min).

此时乙的速度最小,且为:500÷eq\f(86,5)=eq\f(1250,43)m/min.

若乙等甲3分钟,则乙到C用时:eq\f(126,5)-3=eq\f(111,5)(min),在BC上用时:eq\f(56,5)(min).

此时乙的速度最大,且为:500÷eq\f(56,5)=eq\f(625,14)m/min.

故乙步行的速度应控制在[eq\f(1250,43),eq\f(625,14)]范围内.

CBADMNCBADMN42．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.【答案】解:(I)由已知条件得:

,解得,角

(II),由余弦定理得:,

43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯））△在内角的对边分别为,已知.

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)若,求△面积的最大值.【答案】

44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=eq\r(3),BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=eq\f(1,2),求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

[【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;

(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,

∴=,∴=.45．（2013年上海市春季高考数学试卷）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.

在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且是首项为1、公比为2的等比数列,记,.(1)若,求点的坐标;(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.P2P20xyAP1P3P4[解](1)

(2)【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知,

而,

所以,解得或.

故点的坐标为或.