2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷含答案

第1页（共1页）2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣9的相反数是（）A．﹣9 B．9 C． D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．3b2+b2＝4b4 B．（a4）2＝a6 C．（﹣x2）2＝x4 D．3a•2a＝6a4．（3分）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（）​A．135° B．105° C．95° D．75°5．（3分）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（）​A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣27．（3分）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）​A． B． C． D．9．（3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③3a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题。（每小题3分，满分21分）11．（3分）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了23.1%．将308000000用科学记数法表示为．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．​13．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是．14．（3分）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）15．（3分）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为．​16．（3分）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为．​三、解答题。（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（1）计算：；（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．19．（5分）解方程：x2﹣3x+2＝0．20．（8分）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“0＜t≤45”；B组“45＜t≤60“；C组“60＜t≤75“；D组“75＜t≤90“；E组“t＞90“．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．​根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查的样本容量是，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是°，本次调查数据的中位数落在组内；（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝5，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）​22．（10分）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是千米，a＝；（2）求线段FG所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）23．（12分）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC＝°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP．24．（14分）综合与探究：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA′+MC′的最小值为．​

2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣9的相反数是（）A．﹣9 B．9 C． D．【分析】符号不同，但绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．【解答】解：﹣9的相反数是9，故选：B．【点评】本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形定义和轴对称图形的定义对几个图形进行分析．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，所以符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，难度不大，认真分析即可．3．（3分）下列计算正确的是（）A．3b2+b2＝4b4 B．（a4）2＝a6 C．（﹣x2）2＝x4 D．3a•2a＝6a【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方，单项式乘单项式法则将各项计算后进行判断即可．【解答】解：A．3b2+b2＝4b2，则A不符合题意；B．（a4）2＝a8，则B不符合题意；C．（﹣x2）2＝x2×2＝x4，则C符合题意；D．3a•2a＝6a2，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．4．（3分）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（）​A．135° B．105° C．95° D．75°【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝45°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝105°．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠1＝∠3＝45°，又∵∠4＝30°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．5．（3分）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（）​A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先得出从左面看得到的图形，然后根据面积公式即可求出左视图的面积．【解答】解：从左边看，共有2层，底层有3个正方形，上层中间有1个正方形，共4个正方形，因为棱长为1，所以面积为4，故选：C．【点评】本题考查了三视图，左视图是从物体的左面看到的视图，属于基础题，较简单．6．（3分）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2【分析】解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件求得m的取值范围即可．【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移项，合并同类项得：x＝m+1，∵原分式方程的解是负数，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故选：D．【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为0．7．（3分）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是＝，故选：A．【点评】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）​A． B． C． D．【分析】根据点N的运动情况，写出每种情况y和x之间的函数关系式，即可确定图象．【解答】解：0≤x≤4时，M在AB上，N在BC上，依题意可知：设AM＝BN＝x，∴CN＝4﹣x，S＝S正方形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC＝4×4﹣×4x﹣×（4﹣x）x﹣×4×（4﹣x）＝（x﹣2）2+6；∴该二次函数图象开口向上，当x＝2时，二次函数的最小值为6；当x＝0或4时，二次函数的最大值为8；故选：A．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．9．（3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【分析】设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据“长度为150cm的导线”列出二元一次方程，求正整数解即可．【解答】解：设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据题意得10x+20y＝150，∴x＝15﹣2y，∵15﹣2y＞0，∴y＜7.5，∵y是正整数，∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，即截取方案共有7种．故选：C．【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程是解决问题的关键．10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③3a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据图象特征可判断①，根据对称轴可判断②，根据抛物线与x轴的交点即对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点后可判断③，将方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解看做y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点可判断④，由点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，故②错误，∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，故③正确，方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看做y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点，∵﹣k2≤0，∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误，∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称，∴y1＝y2，故⑤正确．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．二、填空题。（每小题3分，满分21分）11．（3分）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了23.1%．将308000000用科学记数法表示为3.08×108．【分析】本题主要根据科学记数法的定义来解答．【解答】解：308000000＝3.08×108，故答案为：3.08×108．【点评】本题主要考查了科学记数法的定义，难度不大．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：AD∥BC（AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等），使四边形ABCD成为菱形．​【分析】根据AD∥BC或AB＝CD或或ADB＝∠CBD，证得四边形ABCD是平行四边形，再根据AC⊥BD可证得四边形ABCD是菱形；根据OB＝OD，证得Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），得到AO＝CO，DO＝BO，可证得四边形ABCD是菱形．【解答】解：当添加“AD∥BC”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“AB＝CD”时，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；当添加：“ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD或ADB＝∠CBD等）．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定，利用数形结合的思想解答．13．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是x＞1且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不能为0即可求得答案．【解答】解：已知函数为y＝+，则x﹣1＞0，且x﹣2≠0，解得：x＞1且x≠2，故答案为：x＞1且x≠2．【点评】本题考查求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件及分母不能为0求得x﹣1＞0，且x﹣2≠0是解题的关键．14．（3分）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为6πcm2．（结果保留π）【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π（cm²）故答案为：6π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．15．（3分）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为﹣6．​【分析】由正方形的面积可求AB，AD的长度，从而可求出A，B两点的横坐标，结合AB长度列出关于k的方程，即可求解．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，∴AD＝BC＝AB＝3，∴A（，3），B（，3），∴AB＝，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查了反比例函数中的面积问题，最基本的思路是通过点的坐标去求解，对于某些问题可以通过k的几何意义去求解．16．（3分）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为或．【分析】分点M在D点右边与左边两种情况，分别画出图形，根据勾股定理，锐角三角函数即可求解．【解答】解：设BM，EF交于点O，∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，∴OM＝OB，EF⊥BM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠M＝∠OBF，∠MEO＝∠BFO，又OM＝OB，∴△OEM≌△OFB（AAS），∴OE＝OF，①当M点在D点的右侧时，如图所示，∵BC＝5，DM＝1，∴AM＝AD+DM＝BC+DM＝6，Rt△ABM中，BM＝＝＝3，∴OM＝BM＝，∵tanM＝＝，∴＝，∴EO＝，∴EF＝2EO＝；当M点在D点的左侧时，如图所示，∵AB＝3，BC＝5，DM＝1，∴BM＝＝＝5，∴OM＝BM＝，∵tan∠EMO＝＝，∴＝，∴EO＝，∴EF＝2EO＝，综上所述，EF的长为或．故答案为：或．【点评】本题考查矩形中的折叠问题，涉及勾股定理，锐角三角函数等知识，分类讨论是解题的关键．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为（4﹣，）．​【分析】根据题意，结合图形依次求出A1，A2，A3的坐标，再根据其规律写出A2023的坐标即可．【解答】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，∵OA1⊥AB，∴△OA1B是等腰直角三角形，同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，∴A1（2，2），根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4﹣，），A4（4﹣，），由此可推出：点A2023的坐标为（4﹣，），故答案为：（4﹣，）．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出A_1A_2A_3$的坐标，找出其坐标的规律．三、解答题。（本题共7道大题，共69分）18．（10分）（1）计算：；（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．【分析】（1）根据绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣4×+2+1＝﹣1﹣2+2+1＝；（2）原式＝2a（a2﹣6a+9）＝2a（a﹣3）2．【点评】本题考查实数的运算及因式分解，特别注意因式分解必须彻底．19．（5分）解方程：x2﹣3x+2＝0．【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．20．（8分）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“0＜t≤45”；B组“45＜t≤60“；C组“60＜t≤75“；D组“75＜t≤90“；E组“t＞90“．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．​根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查的样本容量是50，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是36°，本次调查数据的中位数落在C组内；（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出A组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：13÷26%＝50；B组的人数为：50﹣5﹣13﹣20﹣2＝10（人），补全条形统计图如下：故答案为：50；（2）A组对应的圆心角的度数是：360°×＝36°；本次调查数据的中位数落在C组，故答案为：36；C；（3）（人），答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝5，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）​【分析】（1）连接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分线定义得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半径OD⊥BC，即可证明问题；（2）连接OF，DE，由tan∠ADB＝，得到∠ADB＝60°，由直角三角形的性质求出AD长，由锐角的余弦求出AE长，得到圆的半径长，由OD∥AB，推出阴影的面积＝扇形OAF的面积，由扇形面积公式即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AB，∴∠ODC＝∠B＝90°，∴半径OD⊥BC于点D，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OF，DE，∵∠B＝90°，tan∠ADB＝，∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝10，∵cos∠DAE＝＝，∴AE＝，∴OA＝AE＝，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF，∴S阴影＝S扇形OAF＝＝．【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明OD∥AB；推出S阴影＝S扇形OAF．22．（10分）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是60千米，a＝1；（2）求线段FG所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a＝+＝1；（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．【解答】解：（1）∵80×＝60（千米），∴A，B两地之间的距离是60千米；∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴a＝+＝1，故答案为：60，1；（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：，解得，∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；（3）巡逻车速度为60÷（2+）＝25（千米/小时），∴线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，解得x＝；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，解得x＝；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，解得x＝；综上所述，货车出发小时或小时或小时，两车相距15千米．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．23．（12分）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：BE＝CF，∠BDC＝30°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：BF＝CF+2AM；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP或．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论；（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出．【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，理由如下：如图1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠AOE∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：如图2所示：证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；（3）BF＝CF+2AM，理由如下：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE+EF，∴BF＝CF+2AM；（4））如图4所示：连接BD，以BD为直径作圆，由题意，取满足条件的点P，P′，则PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，∴BD＝2，∴BP＝＝＝，连接PA，作AF⊥PB于点F，在BP上截取BE＝PD，∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，∴△ADP≌△ABE（SAS），∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，∴∠PAE＝90°，由（3）可得：PB＝PD＝2AF，∴AF＝＝，∴S△PAB＝PBAF＝，同理可得：S△P′AB＝，故△ABP的面积为：或．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．24．（14分）综合与探究：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为（﹣，），MA′+MC′的最小值为2．​【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且OM＝2可得点M的坐标为M（0，﹣2），利用待定系数法可得抛物线的解析式为；（2）过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为设点P的横坐标为p（0＜p＜4），则，，故PE＝﹣p2+4p（0＜p＜4），先求得S△ACM＝8，从而得到S△PAC＝PE×OC＝﹣2p2+8p＝8，解出p的值，从而得出点P的坐标；（3）由∠COM＝90°可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论，①当∠CQN＝90°，可推导B与点Q重合，△CQN∽△COM，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当∠QCN＝90°时，可推导△QCN∽△COM，即此时符合题意，再证明△QDC∽△COM，从而得到QD＝2DC，再设点Q的横坐标为q，则Q（q，﹣q2+q+2），D（q，0），从而得到﹣q2+q+2＝2（3﹣q），解得q的值，从而得到点C的坐标，最后综合①②即可；（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点M，由平移的性质可知，MA＝M'A，MC'＝M'C，MA'+MC'的值最小就是M'A+M'C最小值，作出点C关于直线y＝﹣2对称的对称点C″，连接