数学苏教版必修4导学案1.2.2同角三角函数关系

1.2.2同角三角函数关系学习目标重点难点1．记住同角三角函数的基本关系．2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明.重点：同角三角函数基本关系式的理解．难点：利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明.1．同角三角函数关系(1)同角三角函数关系设角α的终边与单位圆交于P点，则点P的坐标为(cos_α，sin_α)．由此可知sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tan_α.(2)同角三角函数关系式成立的条件①当α∈R时，sin2α＋cos2α＝1成立；②当α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)时，eq\f(sinα,cosα)＝tanα成立．预习交流1怎样理解概念中的“同角”二字？提示：“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立．与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．2．同角三角函数关系式的变形式同角三角函数关系式的变形式有：1－sin2α＝cos2α；1－cos2α＝sin2α；sinα＝±eq\r(1－cos2α)；cos_α＝±eq\r(1－sin2α)；tanα·cosα＝sin_α；eq\f(sinα,tanα)＝cos_α等．预习交流2sin2α与sinα2相同吗？提示：不同．sin2α是(sinα)2的简写，读作sinα的平方；而sinα2中，只对角α平方．前者是角α的正弦的平方，后者是角α的平方的正弦，两者截然不同．一、求三角函数值已知cosα＝eq\f(5,13)，求sinα和tanα.思路分析：可先由余弦值确定出角α是第一或第四象限角，再由同角三角函数关系分别求解．解：∵cosα＝eq\f(5,13)＞0，∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)；当α是第四象限角时，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).已知sinα＝m(|m|＜1)，求cosα，tanα的值．解：∵|m|＜1，∴cosα≠0.(1)当α为第一或第四象限角或其终边在x轴正半轴上时，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(m,\r(1－m2))＝eq\f(m\r(1－m2),1－m2).(2)当α为第二或第三象限角或其终边在x轴负半轴上时，cosα＝－eq\r(1－m2)，tanα＝－eq\f(m\r(1－m2),1－m2).求三角函数值的方法：(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解．(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解．二、三角函数式的化简化简：eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).思路分析：本题中需化简的式子既有正弦、余弦，也有正切且含有根号，故解答时，可先开方，后化简．为此先“切化弦”，再构造“完全平方”后利用“平方关系”开方化简．解：原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝±1.化简下列各式：(1)eq\f(2sin2α－1,1－2cos2α)；(2)eq\r(1－tanθ·cos2θ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))·sin2θ).解：(1)原式＝eq\f(2sin2α－sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α－2cos2α)＝eq\f(sin2α－cos2α,sin2α－cos2α)＝1.(2)原式＝eq\r(\f(cosθ－sinθ,cosθ)·cos2θ＋\f(sinθ＋cosθ,sinθ)·sin2θ)＝eq\r(cos2θ－sinθcosθ＋sin2θ＋sinθcosθ)＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1.三角函数式化简问题中的常用方法：(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．三、三角函数关系式的灵活应用已知tanα＝eq\f(2,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)；(2)eq\f(1,sinαcosα)；(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.思路分析：如果由tanα的值出发，则先求出sinα，cosα的值，再代入求值，又由于tanα＞0，需分象限讨论，运算过程繁琐，因此，可考虑把原式转化为只含tanα的表达式，从而简化求值过程．解：(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＋eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq\f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq\f(26,5).(2)eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(tan2α＋1,tanα)＝eq\f(13,6).(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(sin2α－2sinαcosα＋4cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－2tanα＋4,tan2α＋1)＝eq\f(\f(4,9)－\f(4,3)＋4,\f(4,9)＋1)＝eq\f(28,13).已知tanα＝2，求下列各式的值：(1)eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.解：(1)∵eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－2,4tanα－9)，且tanα＝2，∴eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2×2－2,4×2－9)＝－2.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.在已知tanα＝m，求关于sinα，cosα的齐次式的值时，一般地，是将sinα，cosα的齐次式化为tanα的表达式，然后整体代入，这是一种常用的处理方法，是运用化归思想的典型问题．1．若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ＞0，则cosθ＝__________.答案：－eq\f(3,5)解析：由已知，得θ为第三象限角，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).2．若cosα＝eq\f(12,13)，α是第四象限角，则sinα＝__________.答案：－eq\f(5,13)解析：∵α是第四象限角，cosα＝eq\f(12,13)，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).3．若0＜a＜1，eq\f(π,2)＜x＜π，则eq\f(\r(a－x2),x－a)－eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(\r(1－cos2x),sinx)的值是__________．答案：3解析：∵0＜a＜1，eq\f(π,2)＜x＜π，∴x＞a，cosx＜0，sinx＞0.则原式＝eq\f(|a－x|,x－a)－eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(|sinx|,sinx)＝eq\f(x－a,x－a)－eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(sinx,sinx)＝1－(－1)＋1＝3.4．(2012辽宁高考，理7改编)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα＝__________.答案：－1解析：将sinα－cosα＝eq\r(2)两边平方得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝2，即sinαcosα＝－eq\f(1,2)，则eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq