全国高考新课标2卷理科数试题(解析)

高考真题高三数学第6页共6页2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．eq\f(1+2i,1-2i)=()A．-eq\f(4,5)-eq\f(3,5)i B．-eq\f(4,5)+eq\f(3,5)i C．-eq\f(3,5)-eq\f(4,5)i D．-eq\f(3,5)+eq\f(4,5)i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8 C．5 D．4解析：选A问题为确定圆面内整点个数3．函数f(x)=eq\f(ex-e-x,x2)的图像大致为()解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=eq\f(e2-e-2,4)>1,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4 B．3 C．2 D．0解析：选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y=±eq\r(2)x B．y=±eq\r(3)x C．y=±eq\f(\r(2),2)x D．y=±eq\f(\r(3),2)x解析：选Ae=eq\r(3)c2=3a2b=eq\r(2)a6．在ΔABC中，coseq\f(C,2)=eq\f(\r(5),5)，BC=1，AC=5，则AB=()A．4eq\r(2) B．eq\r(30) C．eq\r(29) D．2eq\r(5)解析：选AcosC=2cos2eq\f(C,2)-1=-eq\f(3,5)AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4eq\r(2)7．为计算S=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+……+eq\f(1,99)-eq\f(1,100)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：选B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,14) C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)解析：选C不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=eq\f(3,C102)=eq\f(1,15)9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6) C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)解析：选C建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。10．若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2) C．eq\f(3π,4) D．π解析：选Af(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4)),依据f(x)=cosx与f(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4))的图象关系知a的最大值为eq\f(π,4)。11．已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50 B．0 C．2 D．50解析：选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=212．已知F1，F2是椭圆C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，ΔPF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．（2）设函数h(x)=1-ax2e-x．f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点．（i）当a≤时，h(x)>0，h(x)没有零点；（ii）当a>0时，h′(x)=ax(x-2)e-x．当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h′(x)>0．所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．故h(2)=1-eq\f(4a,e2)是h(x)在[0,+∞)的最小值．①若h(2)>0，即a<eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)没有零点；②若h(2)=0，即a=eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；③若h(2)<0，即a>eq\f(e2,4)，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由（1）知，当x>0时，ex=x2，所以h(4a)=1-eq\f(16a3,(e2a)2)>1-eq\f(16a3,(2a)4)=1-eq\f(1,a)>0故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点．综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=eq\f(e2,4)．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2cosθ,y=4sinθ))（θ为参数），直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1+tcosα,y=2+tsinα))（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,16)=1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．【解析】（1）当a=1时，eq\b\lc\{(\a\al\