高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练十二函数模型及其应用

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练十二函数模型及其应用……25分钟50分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·柳州模拟)如图记录了一种叫万年松的树生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图.请你据此判断,拟合这种树生长的年数与树高的关系式,选择的函数模型最好的是 ()A.y=2t B.y=log2tC.y=t3 D.y=2t2【解析】选B.分析可知,如果为A选项,则A选项函数过(0,1)点,而该函数图象不过,故错误;对于B选项,可知该函数图象类似于对数函数图象,故正确;C选项,该函数递增很快,不符合这个图象,故错误;D选项,同样函数递增很快,不符合这个图象,故错误.2.司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次司机甲、乙同时加同单价的油,但两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析 ()A.司机甲的均价低B.司机乙的均价低C.油价先高后低司机甲的均价低D.油价先低后高司机甲的均价低【解析】选B.设司机甲每次加m升油、司机乙每次加n元钱的油,第一次油价x元/升,第二次油价y元/升.司机甲这两次加油的均价为mx+my2m=x+y2(元/升),司机乙这两次加油的均价为2nnx+ny=2xyx+即司机乙这两次加油的均价低.3.(2020·成都模拟)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时. ()

【解析】选D.由题意可得x=0时,y=192,x=22时,y=48,代入y=ekx+b可得eb=192,e22k+b=48即有e11k=12,则当x=33时,y=e33k+b=18×192=244.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ()A.略有盈利 B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况【解析】选B.设该股民购这只股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)nn,经历n次跌停后的价格为n×(110%)nnn=a×(1.1×0.9)nn·a<a,故该股民这只股票略有亏损.5.(2019·深圳模拟)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,则可以用来描述该厂前t年这种产品的总产量c与时间t的函数关系的是 ()【解析】选A.以下几种情形:图①表示不再增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.综合考虑可知A符合.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·昆明模拟)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓度为________mg/L;若该物质的浓度小于mg/L,则最小的整数t的值为________.

【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64;所以a=100,r=25;所以M(t)=1002所以M(4)=100×25由100×25t得:25所以lg25t<lg(0.1)所以tlg25<5;所以t[lg2(1l所以t(2lg21)<5,将lg2≈0.301代入得:0.398t<5,解得t>12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.56137.某科技股份为激励创新,计划逐年增加研发资金投入,若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________.(参考数据:l≈0.041,lg2≈0.301)

【解析】设从2016年后,第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意可得:100×(1+10%)n≥200,即n≥2,两边取对数可得:n≥lg21g1.则n≥8,即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年.答案:2024年8.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是________.

【解析】七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,则一月份到十月份的销售总额是3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令t=1+x%,则25t2+25t66≥0,解得t≥65或t≤115(舍去),故1+x%≥6x≥20.答案:20三、解答题9.(10分)某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.(1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数.(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?【解析】(1)由题意知,每小时的燃料费用为2(0<x≤50),从甲地到乙地所用的时间为300x小时,则从甲地到乙地的运输成本2×300x+800×300x(0<x≤50),故所求的函数为2×=150x+1(2)由(1)得y=150x+1600x≥当且仅当x=1600x,即x=40时取等号.故当货轮航行速度为40海里/小时时……20分钟40分1.(5分)某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液,经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍.经测量知该真菌的繁殖规律为y=10eλt,其中λ为常数,t表示时间(单位:小时),y表示真菌个数.经过8小时培养,真菌能达到的个数为 ()个 280个 560个 120个【解析】选C.原来的真菌数目为10,由题意可得,在函数y=10eλt中,当t=1时,y=20,所以20=10eλ,即eλ=2,y=10eλt=10·2t,若t=8,则可得此时的真菌个数为y=10×28=2560.2.(5分)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin甲桶中的水只有a4L,则m的值为【解析】选A.因为5min后甲桶和乙桶的水量相等,所以函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=12可得n=15ln12,所以f(t)=a·因此,当kmin后甲桶中的水只有a4L时f(k)=a·12k5=14a,即所以k=10,由题可知m=k5=5.3.(5分)(2019·南昌模拟)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=32t+1的函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是________【解析】设月利润为y,利润等于收入减成本,所以y=48+t2x·=16x+x-12因为x=32t+1<3,可化简为y=16(而16(3x)+13-x≥那么16(3等号成立的条件是16(3x)=13-x所以该公司的最大月利润是万元.答案:4.(5分)(2019·临沂模拟)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:高峰时间段用电价格表高峰时间段用电量(单位:千瓦时)高峰电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分低谷时间段用电价格表低谷时间段用电量(单位:千瓦时)低谷电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元.(用数字作答)

【解析】高峰时段的电价由两部分组成,前50千瓦时电价为元,后150千瓦时为元.低谷时段的电价由两部分组成,前50千瓦时电价为元,后50千瓦时为元,所以该家庭本月应付的电费为50×0.568+150×0.598+50×0.288+50×0.318=148.4(元).答案:5.(10分)已知一家公司生产某种产品的年固定成本为6万元,每生产1千件需另投入万元,设该公司一年内生产该产品x千件并全部销售完,每千件的销售收入为g(x)万元,且g(x)=8+(1)写出年利润f(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2)求该公司生产这一产品的最大年利润及相应的年产量.(年利润=年销售收入年总成本)【解析】(1)当1≤x≤8时,f(x)=x8+2x64当x>8时x3所以f(x)=2(2)当1≤x≤8时,f(x)=2x64此时f(x)max=f(8)=4+5.1×86=38.8.当x>8时,由x210=0,当x∈(8,9)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(9,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数.此时,f(x)max=f(9)=8.1×9130×9338.8<42.6,因此,当x=9时,f(x)取得最大值为万元,故当年产量为9千件时,该公司在这一产品的销售中获得最大年利润为万元.6.(10分)(2020·贵阳模拟)某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分,其中E(0,t)(0<t≤25),GF是圆的切线,且GF⊥AD,曲线BC是抛物线y=ax2+50(a>0)的一部分,CD⊥AD,且CD恰好等于圆E的半径.(1)若CD=30米,AD=245米,求t与a的值.(2)若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米,求a的取值范围.【解析】(1)由抛物线方程得:B(0,50),所以BE=50t,又因为BE,CD均为圆的半径,所以CD=50t,则t=5030=20(米).所以圆E的方程为:x2+(y20)2=302.所