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文档简介

常用函数傅氏变换对:δ(t)u(t)e-

t

u(t)gτ(t)112πδ(ω)δ(t-t0)复习习题1.2-10求函数的Fourier变换。解:利用正弦函数的Fourier变换,即非周期函数的频谱在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).我们定义相角频谱:傅里叶变换的性质1.线性性质[α

f1(t)+

f2(t)]←→[α

F1(ω)+

F2(ω)]若f1(t)←→F1(ω),f2(t)←→F2(ω)则2.位移性质时移:若f(t)←→F(ω)则频移:若f(t)←→F(ω)则3.微分性质时域微分:若f(t)←→F(ω)则频域微分:若f(t)←→F(ω)则(–jt)n

f(t)←→F(n)(ω)(–jt)f(t)←→F′(ω)4.积分性质时域积分:若f(t)←→F(ω)则频域积分:习题1.3-11(2)若,利用Fourier变换的性质,解:由线性性质和频域微分性质,有求函数g(t)的Fourier变换。卷积的概念函数f1(t)与f2(t)的卷积,记为f1(t)*f2(t)为(1)卷积满足交换律(2)卷积满足分配律(3)卷积满足结合律卷积定理时域卷积定理若f1(t)←→F1(ω),f2(t)←→F2(ω)则f1(t)*f2(t)←→F1(ω)F2(ω)f1(t)f2(t)←→F1(ω)*F2(ω)频域卷积定理习题1.4-4若,证:由Fourier变换的定义,有,证明F[f1(t)•f2(t)]=F1(ω)*F2(ω)傅里叶变换的应用象原函数(方程的解)象函数微分,积分方程象函数的代数方程Fourier逆变换Fourier变换解代数方程习题1.5-1求微分方程,解:设的解。对方程两边取Fourier变换,并利用Fourier变换的时域微分性质和δ-函数的Fourier变换结果,可得所以,第二章拉普拉斯变换2.1拉普拉斯变换的概念2.2拉普拉斯变换的性质2.3拉普拉斯逆变换2.4卷积2.5拉普拉斯变换的应用

频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号,任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足:(1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e2tu(t);(2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。傅氏变换的局限2.1拉普拉斯变换的概念1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件,则有傅里叶变换几乎所有的实用函数φ(t)乘上u(t)再乘上e-

t后得到的φ(t)u(t)e-

t傅氏变换都存在。tf(t)Otf(t)u(t)e-btO对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换,可得表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。只能描述振荡频率,而不仅能给出重复频率,还可以关键在于引入衰减因子e-

t,可适用于更多函数信号。定义

设函数f(t)当t0时有定义,而且积分在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式),记为

F(s)=L[f(t)]F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数)。而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数),记为

f(t)=L

-1[F(s)]也可记为f(t)

F(s)。若函数f(t)满足:

1)在t0的任一有限区间上分段连续

2)当t

时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在

常数M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分在Re(s)

c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)>c的半平面内,

F(s)为解析函数。2.拉普拉斯变换的存在定理MMectf(t)tO则f(t)的拉氏变换使f(t)拉氏变换存在的Re(s)>c的取值范围称为F(s)的收敛域。3.拉普拉斯变换的收敛域(ROC:TheRegionofConvergence)收敛边界c

收敛域例1

求单位阶跃函数解根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有例2

求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数)。这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)>Re(k)解根据拉氏变换的定义,有例3

求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。解根据拉氏变换的定义,有同理可得满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,积分中的下限取0+或0-不会影响其结果。但如果f(t)在t=0处包含冲激函数时,就必须明确指出是0+还是0-,因为4.拉普拉斯变换的积分下限0-当f(t)在t=0处有界时,则当f(t)在t=0处包含了冲激函数时,则为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数f(t),当t0时有定义扩大为当t>0及t=0的任意一个邻域内有定义.这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成(2.1)式的形式。例

求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换。冲激函数的筛选性质5.周期函数的拉普拉斯变换一般地,以T为周期的周期函数f(t),即f(t)=f(t+T),当f(t)在一个周期上是分段连续时,则有证明:åòòòòò¥+=+++¥øöçèæ=¼++¼++==0)1(T)1(T2T00)()()(

)](L[

kTkk-stTkk-stT-stT-st-stdtetfdtetfdtf(t)edtf(t)edtetftf例

求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)解

常用函数拉氏变换对:δ(t)u(t)ekt

12.2拉普拉斯变换的性质1.线性性质若a,b是常数

L[f1(t)]=F1(s),Re(s)>c1,L[f2(t)]=F2(s),Re(s)>c2

则有

L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)

L-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出。例

f(t)=

(t)+u(t)←→1+1/s,Re(s)>0Re(s)>max(c1,c2)

2.微分性质若f(t)←→F(s)则f′(t)←→sF(s)–f(0)

f〞(t)←→s2F(s)–sf(0)–f′(0)f(n)(t)←→若初值为零,f(0)=f′(0)=…

=f

(n-1)(0)则f(n)(t)←→snF(s)

此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程。时域微分性质证明根据分部积分公式和拉氏变换公式解由于f(0)=1,f'(0)=0,f''(t)=-k2coskt,则

利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换。

L[-k2coskt]=L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0)

-k2L[coskt]=s2L[coskt]-s

移项化简得

所以L[m!]=L[f(m)(t)]=smL[f(t)]-sm-1f(0)-sm-2f'(0)

-...-f(m-1)(0)

利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数。解由于f(0)=f'(0)=...=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!

即 L[m!]=smL[tm]s域微分性质若L[f(t)]=F(s),则

F'(s)=L[-tf(t)],Re(s)>c.

和 F(n)(s)=L[(-t)nf(t)],Re(s)>c.证明因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序例

tu(t)←→?例

求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换。解3.积分性质时域积分性质若L[f(t)]=F(s)证明s域积分性质若L[f(t)]=F(s),则例求函数的拉氏变换。解此公式常用来计算某些积分。作业2.1-1(1)(2)2.2-1(1)(2)若函数f(t)满足:

1)在t0的任一有限区间上分段连续

2)当t

时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在

常数M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<收敛域为Re(s)>c拉普拉斯变换的存在定理MMectf(t)tO则存在f(t)的拉氏变换复习周期函数的拉普拉斯变换一般地,以T为周期的周期函数f(t),即f(t)=f(t+T),当f(t)在一个周期上是分段连续时,则有常用函数拉氏变换对:δ(t)u(t)ekt

1习题

2.1-1(1)(2)求Laplace变换拉普拉斯变换的性质1.线性性质若a,b是常数

L[f1(t)]=F1(s),Re(s)>c1,L[f2(t)]=F2(s),Re(s)>c2

则有

L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)

L-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)Re(s)>max(c1,c2)

2.微分性质若f(t)←→F(s)则f′(t)←→sF(s)–f(0)f(n)(t)←→若初值为零,f(0)=f′(0)=…

=f

(n-1)(0)则f(n)(t)←→snF(s)

时域微分性质s域微分性质若L[f(t)]=F(s),则

F'(s)=L[-tf(t)],Re(s)>c.

和 F(n

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