数学建模实验离散模型

实验09失散模型（2学时）（第8章失散模型）层次剖析模型1.1（考证，编程）正互反阵最大特点根和特点向量的适用算法p263~264已知正互反阵126A1/2141/61/41注：[263]定理2n阶正互反阵A的最大特点根≥n。★(1)用MATLAB函数求A的最大特点根和特点向量。调用及运转结果（见[264]）：A=[126;1/214;1/61/41];[V,D]=eig(A)V=0.8685-0.8685-0.86850.47790.2390+0.4139i0.13150.0658+0.1139iD=3.0092000-0.0046+0.1663i000D=diag(D)D=3.0092-0.0046+0.1663iD=D.*(imag(D)==0)D=3.009200[lambda,k]=max(D)lambda=3.0092k=1w=V(:,k)/sum(V(:,k))w=0.58760.32340.0890幂法（见[263]）为n×n正互反矩阵，算法步骤以下：a.任取n维非负归一化初始列向量（重量之和为1）w(0)；(k1)(k)；b.计算%Aw,k0,1,2,Lw(k1)(k1)(k1)%w；c.w%归一化，即令n(k1)w%ii1d.关于早先给定的精度ε，当|wi(k1)wi(k)|(i1,2,L,n)时，w(k1)即为所求的特点向量；不然返回到步骤b；n(k1)1w%e.计算最大特点根i。ni1wi(k)注：(k)(k)(k1)(k)Aww%ww(k1)%wii1,2,L,nwi(k)函数式m文件以下：function[lambdaw]=p263MI(A,d)幂法——求正互反阵最大特点根和特点向量%A正互反方阵%d精度%lambda最大特点根%w归一化特点列向量if(nargin==1)%若只输入一个变量（即A），则d取0.000001d=1e-6;endn=length(A);%取方阵A的阶数w0=rand(n,1);w0=w0/sum(w0);%任取归一化初始列向量while1ww=A*w0;w=ww/sum(ww);%归一化ifall(abs(w-w0)<d)break;endw0=w;endlambda=sum(ww./w0)/n;☆(2)用幂法函数求A的最大特点根和特点向量。调用及运转结果（见[264]）：和法（见[264]）为n×n正互反矩阵，算法步骤以下：a.将A的每一列向量归一化得~aijwijn；aiji1~n~按行乞降得~b.对wijwiwij；j1~)Tc.将~归一化wiwi,w(w,w,,w即为近似特点向量；win12n~wii1d.计算1n(Aw)ini1，作为最大特点根的近似值。wi函数式m文件以下：function[lambdaw]=p264HE(A)和法——求正互反阵最大特点根和特点向量%A正互反方阵lambda最大特点根w归一化特点列向量AA=A/diag(sum(A));%a.将A的每一列向量归一化ww=sum(AA,2);%b.对AA按行乞降，ww为列向量w=ww./sum(ww);%c.归一化，得w为近似特点列向量lambda=sum(A*w./w)/length(A);%d.计算最大特点根的近似值λ☆(3)用和法函数求A的最大特点根和特点向量。调用及运转结果（见[264]）：根法（见[264]）为n×n正互反矩阵，算法步骤以下：a.将A的每一列向量归一化得~aijwijn；i1aij~~n1按行求积并开(~n；b.对wijn次方得wiwij)j1~~T归一化wiwi,w(w1,w2,,wn)c.将win~即为近似特点向量；wii1d.计算1n(Aw)i，作为最大特点根的近似值。ni1wi★(4)编写根法函数，用该函数求A的最大特点根和特点向量。[提示：sum,prod,diag]对矩阵A按行乞降的调用为sum(A,2)。对矩阵A按行求积的调用为prod(A,2)。diag(V)，用向量V结构对角矩阵。nargin，寄存函数输入自变量的数量。编写的程序和调用及运转结果（见[264]）：function[lambdaw]=p264GEN(A)根法——求正互反阵最大特点根和特点向量%A正互反方阵%lambda最大特点根%w归一化特点列向量n=length(A);AA=A/diag(sum(A));%a.将A的每一列向量归一化ww=(prod(AA,2)).^(1/n);%b.对AA按行求积并开n次方，ww为列向量w=ww./sum(ww);%c.归一化，得w为近似特点列向量lambda=sum(A*w./w)/n;%d.计算最大特点根的近似值λ1.2（考证，编程）旅行决议问题p250~256在下边程序中，脚本式m文件p250.m调用函数式m文件p250fun.m（求A的最大特点根及归一化特点列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR），p250fun.m中调用另一个函数式m文件p264HE.m（求A的最大特点根及归一化特点列向量）。脚本式m文件以下：旅行决议问题文件名：p250.mclear;clc;formatcompact;层次剖析法的基本步骤：%1.成立层次结构模型见p250图1选择旅行地的层次结构%2.结构成对照较阵%第2层为准则层：风景、花费、居住、饮食和旅途5个准则A=[11/2433;...21755;...1/41/711/21/3;...1/31/5211;1/31/5311];%第3层为方案层：P1、P2和P3等3个供选择地址B1=[125;1/212;1/51/21];B2=[11/31/8;311/3;831];B3=[113;113;1/31/31];B4=[134;1/311;1/411];B5=[111/4;111/4;441];B=['B1';'B2';'B3';'B4';'B5'];%3.计算权向量并做一致性检查第2层[lambda2w2CI2CR2]=p250fun(A);ifCR2>=0.1%成对照较阵A的一致性查验disp(['CR2=',num2str(CR2),'>0.1,A没有经过一致性检查！'])return;end第3层lambda3=zeros(1,5);w3k=zeros(3,5);CI3k=zeros(1,5);CR3k=zeros(1,5);fork=1:5[lambda3(k)w3k(:,k)CI3k(k)CR3k(k)]=p250fun(eval(B(k,:)));ifCR3k(k)>0.1%成对照较阵B1的一致性查验disp(['CR3k(k)=',num2str(CR3k(k)),'>0.1,B',num2str(k),'没有经过一致性检查！'])return;endend%4.计算组合权向量并做组合一致性查验w3=w3k*w2;%最基层（第3层）对目标（第1层）的组合权向量第3层组合一致性查验(从第3层开始）CI3=CI3k*w2;随机一致性指标RI的数值（下标对应成对照较方阵的阶数）：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];RI3=RI([3,3,3,3,3])*w2;%标量CR3=CI3/RI3;ifCR3>0.1disp(['CR3=',num2str(CR3),'>0.1,第3层没有经过组合一致性检查！'])return;end最基层（第3层）对第1层的组合一致性比率为CR=CR2+CR3;ifCR>0.1disp(['CR=',num2str(CR),'>0.1,没有经过组合一致性检查！'])return;end增添命令用于显示相关结果:函数式m文件以下：function[lamdawCICR]=p250fun(A)求A的最大特点根及归一化特点列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR%A成对照较阵（正互反方阵）%lamda最大特点根值%wA的归一化特点列向量（权向量）%CI一致性指标值%CR一致性比率值[lamdaw]=p264HE(A);%求A的最大特点根及归一化特点列向量随机一致性指标RI的数值（下标对应成对照较方阵的阶数）：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];n=length(A);CI=(lamda-n)/(n-1);%一致性指标，CI=0时A为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重CR=CI/RI(n);%一致性比率，CR<0.1时以为A的不一致程度在允许范围以内要求：请认真阅读以上程序，达成以下实验：在脚本式m文件后边增添命令，使★①显示第2层的数据。包含：最大特点根λ；特点向量（权向量）w；一致性指标CI；一致性比率CR。增添的命令和运转结果（见[254]）：lambda2,w2,CI2,CR2★②显示第3层的数据。包含：特点向量（权向量）w；最大特点根λ；一致性指标CI。增添的命令和运转结果（见[255]表3）：w3k,lambda3,CI3k★③显示最基层（第3层）对目标（第1层）的组合权向量。增添的命令和运转结果（见[255]）：w3★④显示第2层和第3层的组合一致性比率，以及最基层对第层的组合一致性比率。增添的命令和运转结果（见[256]）：CR2,CR3,CR循环比赛的名次2.1（编程，考证）双向连通比赛图（4极点）的名次排序p270,271~2724个极点的比赛图（教材p270中图3(4)）以下：1243个队得分（获胜场数）为（2，2，1，1）由得分排名为{（1，2），（3，4）}，该比赛图是双向连通图，属于第2种种类，可经过以下方法给有名次排序。该图的毗邻矩阵为：01100011A00011000(1)编写一个程序，求出1~8级得分向量，并依照8级得分向量给出排名。给出程序和运转结果（比较[272]）：clear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%毗邻矩阵n=length(A);%方阵A的阶数s=A*ones(n,1);disp(s');fork=2:8s=A*s;disp(s');end[~,k]=sort(s,'descend');%降序k'%排名求元素互不相等的得分向量法得分向量为s=A*ones此中，ones记s(1)=s

1111s(k)=A*s(k-1)=Ak*ones,k=2,3,（s(k)称为k级得分向量）程序以下：双向连通比赛图的名次排序（求元素不等的得分向量）%文件名：p272_1.mclear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%毗邻矩阵n=length(A);%方阵A的阶数s=A*ones(n,1);k=1;whilelength(unique(s))<n%unique(s)去掉s中的重复元素s=A*s;k=k+1;end%k级得分向量s'%元素不等的得排列向量[~,kk]=sort(s,'descend');%降序kk'%排名(2)运转求元素互不相等的得分向量法程序。运转结果（比较）：特点根法关于n≥4个极点的双向连通比赛图，其毗邻矩阵A为素阵（存在正整数r，使Ar>0），且有limAk1ksk此中，1为全1列向量，λ为最大实特点根且为正，s为其特点列向量。双向连通比赛图的名次排序（特点根法）%文件名：p272_2.mclear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%毗邻矩阵[V,D]=eig(A);%返回A的特点值和特点向量。此中D为A的特点值组成的对角阵，每个特点值对应的V的列为属于该特点值的一个特点向量。D=diag(D);%返回矩阵D的对角线元素组成列向量。D=D.*(imag(D)==0);%复数特点值用0取代，实数的则不变[lamda,k]=max(D);lamdas=V(:,k)/sum(V(:,k));%最大特点根对应的特点列向量(归一化)[~,k]=sort(s,'descend');%降序s',k'☆(3)运转特点根法程序。给出运转结果（比较[272]）：2.2（考证）双向连通比赛图（6极点）的名次排序p270,272~2736个极点的比赛图（教材p270中图1）以下：126354该图的毗邻矩阵为：010111000111110100A000011001001001000要求：使用上题的程序。(1)求出1~4级得分向量，并依照4级得分向量给出排名。运转结果（比较[272]）：☆(2)运转求元素互不相等的得分向量法程序。运转结果：☆(3)运转特点根法程序。运转结果（比较[273]）：公正的席位分派3.1（考证）参照老例的席位分派方法p278~279某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，此中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。(1)有20个代表席位，采纳参照老例的席位分派方法，分别求出甲乙丙系的“席位分派结果”。(2)有21个代表席位，采纳参照老例的席位分派方法，分别求出甲乙丙系的“席位分派结果”。下边是参照老例的席位分派方法的求解函数：function[qi,ni]=p278fun(p,n)%p各单位人数（列向量）%n总席位（标量）%qi按比率分派的席位（列向量）%ni参照老例的结果（列向量）qi=n*p/sum(p);%按比率各单位所得席位（可能含小数）ni=fix(qi);%各单位所得席位取整m=n-sum(ni);%可能有没分派完的席位ifm>0%席位没分完[~,k]=sort(qi-ni,'descend');%按降序排序（缺省为升序）ni(k(1:m))=ni(k(1:m))+1;%排在前m个，加1end要求：①在命令窗口分别调用以上函数求解（使用最正确定点或浮点格式（

5位数字）控制命令formatshortg）。两个结果比较，合理吗？题(1)（20个代表席位）的调用及结果（比较[279]表1）。☆题(2)（21个代表席位）的调用及