历年上海高考试题(圆锥曲线)

#历年上海高考试题（圆锥曲线）班级学号姓名（01上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 [X=12-1（02上海）曲线〈 「 [ （t为参数）的焦点坐标是 [y=2t+1（02上海）抛物线（y-1）2=4（x+1）的焦点坐标是（03上海春）直线y=X-1被抛物线y2=4X截得线段的中点坐标是 .（03上海理）在极坐标系中，定点A（1,y）,点B在直线Pcos9+psin9=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是.（04上海春）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是（04上海）设抛物线的顶点坐标为（2,0），准线方程为x=—1，则它的焦点坐标为一（04上海理）在极坐标系中，点M（4,9）到直线l:p（2cosO+sinO）=4的距离d=.X2 y2（03上海）给出问题：F1、F2是双曲线弁-夫=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦12 1620点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8,由||PF1|一|PF2||=8,即|9一|PF2||=8,得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确的结果填在下面空格内.（04上海）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.（05上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是（2^运,。）,则椭圆的标X2y2准方程是一+—=18020（05上海理）若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是（＜10,0）,则双曲线的方程是 X2—/=1—。(06上海文)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是 . _(06上海理)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(-2<3,0),且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是.(06上海理)在极坐标系中，O是极点，设点A(4,1),B(5,-5^-)，则4OAB36的面积是.(07上海春)在平面直角坐标系％0y中，若抛物线j2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6,则点P的横坐标x=.X2 j2(07上海文)以双曲线下-==1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的45抛物线方程是 (06上海春)抛物线y2=4x的焦点坐标为 ( )A.(0,1) B.(1,0) C.(0,2) D.(2,0)(05上海)过抛物线J2=4X的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(B)A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在x2j2(01上海)设外F2为椭圆-+彳=1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知p、外PFF2是一个直角三角形的三个顶点，且IPF1I>IPF2I,求—d-的值.2 1 2pf2x2j2(02上海春)已知F、耳为双曲线——-7-=1(a>0,b>0)的焦点，过耳作垂直于x轴1 2 a2b2 2的直线交双曲线点P,且NPF1F2=30°,求双曲线的渐近线方向(02上海)已知点A(-J5,0)和8日M0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x—2交于D、E两点，求线段DE的长。TOC\o"1-5"\h\z一一 一x2y2一，. ~(03上海春)设F,F分别为椭圆C：—+^=1(〃>b>0)的左、右两个焦点.12 a2b2一，，“3、一一 一(1)若椭圆C上的点A(1,-)到F,F两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；2 12(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段FK的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为鼠,鼠时，那么RM.『N是_ x2y2一与点P位置无关的定值.试对双曲线一~2-=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.a2b2.(03上海文)如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？ un| —工—L(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设 ……工一计拱高h和拱宽i，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ 漳必心兀„(半个椭圆的面积公式为S= lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到40.1米)25.(04上海春)已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,—2)和点B,B在第一象限,|AB|=3<2.(1)求点B的坐标;(4分)X2(2)若直线l与双曲线C：——y2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为a2,1),求a的值;(6分)(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时，称Pg的最小值为P与线段AB

的距离.已知点P在x轴上运动,写出点p(t,0)到线段ab的距离h关于t的函数关系式.(8分)(04上海文)如图，直线y=1x与抛物线y=1x2—4交2 8于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=—5交于Q占八、、.(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求AOPQ面积的最大值.(05上海春)(1)求右焦点坐标是(2,0)，且经过点(-2,-<2)的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆C的方程是三+匕=1(a>b>0).设斜率为k的直线l,交椭圆C于a2 b2A、B两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上;(3线上;(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直轴,垂足为B,OB的中点为M.⑴求抛物线方程；(2)过M作MNXFA,垂足为N,求点N的坐标；

⑶以M为圆4,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.,, .一， ，,一,，一12y2 — 一, _ 29.(05上海理)如图，点A、B分别是椭圆)+==1长轴的左、右端点，点F是椭圆的3620右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA,PF.3620(1)求点P的坐标；(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.(06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航x2 y2 J"天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 +3=1,10025变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹64 L———二一.\：是以y轴为对称轴、M(0,了)为顶点的抛物线的实线部分，VT"V降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？(06上海文)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-\；3,0)，右顶点为D(2,0)，设点点为D(2,0)，设点A1,-I27(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B,。，求AABC面积的最大值。(06上海理)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2X相交于A、B两点.(1)求证：“如果直线l过点T(3,0),那么(OA•OB=3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

X2 22yl椭C32.(07上海春)如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:—+乙=1(a〉b〉0)的左右a2b2yl椭C两个焦点分别为F、F.过右焦点F且与％轴垂直的直线l与1 2 2(-)圆C相交，其中一个交点为m\：2,17Fj(1)求椭圆c的方程;Fj(2)设椭圆C的一个顶点为B(0,-b),直线BF2交椭圆于另一点N，求△FiBN的面积.TOC\o"1-5"\h\zX2 y2 y2 X233.（07上海文）我们把由半椭圆一+--=1（x三0）与半椭圆—+—=1（xW0）合a2b2 b2 c2成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2,a〉0,b〉c〉0.如图，设点F,F,F是相应椭圆的焦点，A,0 1 2 1轴的交点，M是线段AA的中点.12(1)若4FFF是边长为1的等边三角形，求该012“果圆”的方程；- y2X2“(2)设P是“果圆”的半椭圆J+—=1b2C2(XW0)上任意一点.求证：当IPMI取得最小值时，P在点B1，B2或A1处;(3)若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标.参考答案［解］(1)设F2(c,O)(c>O),P(c,yO)4lJ则尹二-^77，且—F‘口+i在直角三角形PF2F1中,NPF］F2=30。解法一：IFF2IZ3IPF2I，“n一口1二口二『7口即］』总将C2=a2+b2代入,解得b2=2a2.解法二：|PF」=2|PF2|,由双曲线定义可知|PF】|-1PF2|=2a,得|PF2|=2a.21.谶］⑴第1位职工的奖金白尸--第2位职工的奖金生=J也第W位职工的奖金第k位职工的奖金它2芋一%［解］设点C(x,y),则ICAI-ICB1=±2根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线TOC\o"1-5"\h\zx2 y2——- =1a2 b2由2a=2,2c=IABI=2v3,得a2=1,b2=2即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAR==X，直线AB的垂直平分线方程y-1=—(x—2).TOC\o"1-5"\h\zAB2 2令y=—5,得x=5,・・・Q(5,—5)(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,1x2—4).81 4\o"CurrentDocument"X+-X2—4 8 1 …_•・•点P到直线OQ的距离d= ———=^x2+8x—32,\o"CurrentDocument"<2 8J231=5”,・•.sa°pq=2OQd=156X2+8x—32|.乙 JLVz,/P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，/.—4<x<4-3—4或4%：3—4<x<8.•・•函数y=x2+8x—32在区间［—4,8］上单调递增，・••当x=8时,AOPQ的面积取到最大值30.TOC\o"1-5"\h\zx2 y2［解］(1)设椭圆的标准方程为—+匚=1,a〉b〉0,a2b2x2 y2・•.a2=b2+4，即椭圆的方程为——+乙=1,b2+4b2\o"CurrentDocument"4 2•二点(—2,一V：2)在椭圆上，• 1 =1,b2+4b2解得b2=4或b2=-2(舍)x2 y2由此得a2=8，即椭圆的标准方程为—+二=1. ……5分84(2)设直线l的方程为y=kx+m, ……6分与椭圆C的交点A(x1,y1)、B(x2,y2),y=kx+m贝陆］x2 y2+ =1［a2 b2解得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2—a2b2=0,・/A>0,•m2<b2+a2k2,即—bb2+a2k2<m<bb2+a2k2.贝ij%+%=

1 22a2kmb2+a2k2y+y=k%+m+k%+m=

1 2 1 2bm,b2+a2k2・•・AB中点M的坐标为-Ia2kmb2+a2k211分・•・线段AB的中点M在过原点的直线b2%+a2ky=0上.13分(3)如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N,连接直线MN；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于A、B］和C-D1,并分别取AB、CD的中点M、N么直线MN和M1N1的交点心.18分O即为椭圆中连接直线M1N1,那4"——［解］(1)由已知可得点A(—6,0),F(0,4)设点P(x,y),则AP={x+6,y},FP={x—4,丫},由已知可得%%2 y2——+—=13620--(x+6)(x—4)+y2=03、贝U2x2+9x—18=0,x=2或x=—6.由于丫＞0,只能x=—，于是y=.乙 乙.,.点P的坐标是(—,-)(2)直线AP的方程是x—<3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是m+6|2m+6|. .于是―--=m+6,又一6WmW6,解得m=2.于是椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x—2)2+y2=x-4x2+4+20——x2=—(x——)2+15,7 7 乙由于一6WmW6,...当x=1-时,d取得最小值H5［解］(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p，于是4+p=5,，p=2.・•・抛物线方程为y2=4x.(2)二•点A是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),43又・・・F(1,0),・・・kFA=3；MN'FA,・・・kMN=-4,则FA的方程为y=3(x-1),MN的方程为y-2=-1x,解方程组得x=|,y=|,，N的坐标(|,|).(1)由题意得，，圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离.当m，4时，直线AK的方程为y=- (x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,4一m圆心M(0,2)到直线AK的距离d=|2m+8|

q16+(m一4)2,令d>2,解得m>1・•・当m>1时,AK与圆M相离;当m=1时,AK与圆M相切;当m<1时,AK与圆M相交.64［解］(1)设曲线方程为y=ax2+万，64 1由题意可知^=@•64+—, /.a=-7・•・曲线方程为y=-1x2+64.77(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知4分6分x2y2——+—10025=1(1)TOC\o"1-5"\h\z1 64y=-7x2+— (2) 得4y2-7y-36=0,9y=4或y=-4(不合题意,舍去)・・y=4 9分得x=6或x=-6(不合题意，舍去).・C点的坐标为(6,4), ……11分|AC|二2*5,|BC|=4,答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2<5、4时，应向航天器发出变轨指令 14分1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3,16)、B(3,—Y6). JOA-OB=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k(X-3)，其中k丰0,y2=2x .八八八 ,得ky2-2y_6k=0n74=一6[y=k(x-3) 12又Xi=1y/，%=2y22，OA.OB=xx2+yiy2=4(乂y2)2+y1y2=3，综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OA•OB=3”是真命题;(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果OAO=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.1例如：取抛物线上的点A(2,2),B(5，1),此时。OB=3=3,2直线AB的方程为：y=2(X+1)，而T(3,0)不在直线AB上;说明：由抛物线y2说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)>B(x2,y2)满足OA-OB=3,可得y1y2二—6，或y1y2=2,如果y1y2=—6,可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2,可证

得直线AB过点(一1,0)，而不过点(3,0).解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=\；3，则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上，・•・椭圆的标准方程为—+>2=1(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),x=%+1-0 22y%+1-0 22y=得Iy0=1(2%—1)2- 1、 I由，点P在椭圆上，得 +(2y—-)2=1,r 乙・♦・线段PA中点M的轨迹方程是(％—2)2+4(y—4)2=1.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此4ABC的面积S^ABC=1.%2当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为丫=履,代入彳+y2解得B(,2 , 22 ),C(一-. 2 ，一:22 ),4k22+1\.：422+1V422+1 4k22+1,%；1+22 2则|BC|=4. ，又点A到直线BC的距离d=,<1+422 V1+221 22-1・••△ABC的面积S人ar「=AB-d=△ABC21 1 .、；1+422：4k2-4k+1二:]4k于是^abc=y 422+1 \ 422+1

由-4^-2—1得S人AbcW'2，其中，当k=-1时，等号成立.TOC\o"1-5"\h\z4k2+1 △ABC 2AS△ABC的最大值是•v2.⑴［解法一］i1%轴，.•・f2的坐标为（：2,0）2 1 1 「/由题意可知j一+ ——1，z曰Ja2——4由题意可知ja2b2得j,oub0Ib2——2.a2-b2——2， .6分「•所求椭圆方程为9+ ——1.6分［解法二］由椭圆定义可知|MF/+|MF2|=2a.由题意IMF2|=1|MF/+|MF2|=2a.由题意IMF2|=1,「.|MF1|=2a-1.又由Rt△MF、F2可知(2a-1)