德州市武城二中高三下学期第一次月考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年山东省德州市武城二中高三(下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题1．复数是虚数单位）的共轭复数为（）A． B． C． D．2．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0｝，B=｛x｜log3（2﹣x）≤1}，则A∩（∁UB）=（）A．{x｜x＜2} B．{x|x＜﹣1或x≥2｝ C．｛x｜x≥2｝ D．{x|x≤﹣1或x＞2}3．已知p：“直线l的倾斜角"；q：“直线l的斜率k＞1”,则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．为了增强环保意识,某校从男生中随机制取了60人，从女生中随机制取了50人参加环保知识测试,统计数据如表所示,经计算K2=7.822，则环保知识是否优秀与性别有关的把握为()优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110附：x2=P(K2≥k）0。5000.1000.0500.0100.001k0。4552。7063。8416.63510.828A．90％ B．95％ C．99% D．99.9%5．已知a=(），b=（)，c=()，则（)A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．函数y=的图象大致为（)A． B． C． D．7．已知抛物线y2=20x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为4，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知点A（﹣2,0），B（2,0）,若圆(x﹣3）2+y2=r2（r＞0）上存在点P（不同于点A,B)使得PA⊥PB,则实数r的取值范围是（）A．（1，5） B．[1,5] C．（1，3] D．[3,5]9．运行如图所示的程序框图，则输出的数是7的倍数的概率为（）A． B． C． D．10．f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数,且对∀x∈（0,+∞）都有f(f（x）﹣lnx)=e+1，则方程f（x）﹣f′（x)=e的实数解所在的区间是(）A．（0，） B．（,1） C．（1，e） D．（e，4）二、填空题11．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人,老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为．12．已知两个单位向量的夹角为60°，，，若，则正实数t=．13．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为．14．已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a的值是．15．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q)是函数y=f（x)的一个“伙伴点组"（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是（填空写所有正确选项的序号）①y=;②y=;③y=；④y=．三、解答题16．某中学为了解某次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图解决下列问题:频率分布表:组别分组频数频率第1组[50，60）90.18第2组[60，70）a▓第3组[70，80）200.40第4组［80，90）▓0。08第5组［90，100]2b合计▓▓（1)写出a,b，x，y的值；(2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分)的同学中随机抽取2名同学参加座谈，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．17．已知函数f（x)=2sincos﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．(I）求函数f(x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A,B，C所对的边,a＜b＜c，a=2csinA，并且f（A+）=,求cosB的值．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4，AB=4,∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=2．（1)求证：BD⊥PC；（2）求证：MN∥平面PDC；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．19．已知各项均为正数的等比数列｛an}的首项a1=2，Sn为其前n项和,若5S1，S3,3S2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式;(2）设bn=log2an，cn=，记数列{cn｝的前n项和为Tn．若对于任意的n∈N*，Tn≤λ(n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C：+=1(a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ)求椭圆方程;（Ⅱ）设点A是椭圆C的左顶点，P,Q为椭圆C上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．设函数．（1)用含a的式子表示b;(2）令F（x）=，其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3)若a=2，试求f（x）在区间上的最大值．

2016—2017学年山东省德州市武城二中高三(下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数是虚数单位）的共轭复数为（）A． B． C． D．【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则复数是虚数单位）的共轭复数可求．【解答】解:∵，∴复数是虚数单位）的共轭复数为：．故选：D．2．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0｝，B=｛x|log3(2﹣x）≤1｝，则A∩（∁UB）=(）A．{x｜x＜2} B．{x｜x＜﹣1或x≥2｝ C．｛x|x≥2｝ D．｛x｜x≤﹣1或x＞2}【考点】1H:交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的不等式的解集，确定出集合B,根据全集U=R，找出集合B的补集,然后找出集合B补集与集合A的公共部分，即可求出所求的集合．【解答】解:集合A=｛x｜x2﹣x﹣2≥0}=｛x|x≤﹣1或x≥2},∵log3（2﹣x）≤1=log33，∴0＜2﹣x≤3，∴﹣1≤x＜2，∴B={x|﹣1≤x＜2｝，∴∁uB=｛x|x＜﹣1或x≥2｝，∴A∩(∁UB）={x|x＜﹣1或x≥2}，故选：B．3．已知p：“直线l的倾斜角”；q:“直线l的斜率k＞1"，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tanα＞1或k＜0；即可判断出关系．【解答】解：p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tanα＞1或k＜0；又q:“直线l的斜率k＞1”，则p是q的必要不充分条件．故选:B．4．为了增强环保意识，某校从男生中随机制取了60人，从女生中随机制取了50人参加环保知识测试，统计数据如表所示，经计算K2=7。822，则环保知识是否优秀与性别有关的把握为（)优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110附：x2=P(K2≥k)0.5000。1000.0500。0100.001k0。4552.7063.8416.63510。828A．90％ B．95％ C．99％ D．99.9%【考点】BL：独立性检验．【分析】根据K2的值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：由题意，K2≈7.822＞6.635，所以，在犯错误不超过0。010的情况下认为环保知识是否优秀与性别有关，即有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．故选：C．5．已知a=（），b=（），c=（)，则(）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【分析】利用基本函数的单调性即可判断．【解答】解：∵y=为减函数，∴b＜c,又∵y=在（0,+∞）为增函数，∴a＞c,∴b＜c＜a，故选：D．6．函数y=的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】观察四个图象知,A与B、C、D不同（在y轴左侧没有图象）,故审定义域；同理审B、C、D的不同,从而利用排除法求解．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1｝，故排除A，∵f（﹣x）==﹣=﹣f(x),∴排除C,当x=2时，y=＞0，故排除D，故选：B．7．已知抛物线y2=20x的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为4，则该双曲线的离心率为（)A． B． C． D．【考点】K8：抛物线的简单性质;KC：双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式,计算即可得到．【解答】解:抛物线y2=20x的焦点为(5，0），双曲线的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d==4，即有b=a，则c==a,即有双曲线的离心率为．故选：A．8．已知点A（﹣2，0），B（2，0），若圆(x﹣3）2+y2=r2（r＞0）上存在点P(不同于点A，B）使得PA⊥PB，则实数r的取值范围是（）A．（1,5） B．［1，5］ C．（1，3] D．［3,5］【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定;J8：直线与圆相交的性质；JF：圆方程的综合应用．【分析】由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心距为3,由两圆相交的性质可得|r﹣2｜＜3＜|r+2|，由此求得r的范围．【解答】解：根据直径对的圆周角为90°,结合题意可得以AB为直径的圆和圆（x﹣3）2+y2=r2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，两个圆的圆心距为3,故｜r﹣2｜＜3＜｜r+2|，求得1＜r＜5,故选:A．9．运行如图所示的程序框图，则输出的数是7的倍数的概率为（）A． B． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得:该程序的功能是计算并输出100以内的正奇数，求出输出的奇数个数及7的倍数的个数，代入古典概型概率公式，可得答案．【解答】解：根据已知的程序框图可得:该程序的功能是计算并输出100以内的正奇数，由于1,3，5，…,99中共有50个数，其中7的倍数有7，14，…，77,91共7个，故输出的数是7的倍数的概率P=．故选：C．10．f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对∀x∈（0，+∞)都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x)=e的实数解所在的区间是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，e） D．（e,4）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；57：函数与方程的综合运用．【分析】利用换元法求出函数f（x）的解析式，然后根据函数与方程的关系进行转化,构造函数，判断函数的零点即可得到结论．【解答】解:∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈(0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，∴设f（x）﹣lnx=t,则f（t）=e+1,即f（x)=lnx+t，令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，则t=e，即f（x）=lnx+e,函数的导数f′(x）=，则由f（x）﹣f′(x）=e得lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0,设h(x)=lnx﹣，则h（1）=ln1﹣1=﹣1＜0,h（e)=lne﹣=1﹣＞0，∴函数h(x）在（1，e）上存在一个零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（1，e)，故选：C．二、填空题11．某单位有职工750人,其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人,则样本容量为15．【考点】B3:分层抽样方法；E7：循环结构．【分析】根据分层抽样的定义和方法，先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率,由此求得样本容量．【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,每个个体被抽到的概率等于=．设样本容量等于n,则有=,解得n=15，故答案为15．12．已知两个单位向量的夹角为60°,，，若，则正实数t=1．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直得出，列出方程解出t．【解答】解：．∵,∴,即（t）()=0，∴t﹣t+（1﹣t2）=0，即﹣t2+=0．∵t＞0，∴t=1．故答案为1．13．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为50π．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图,得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，求出三棱锥外接球的半径,即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥．设三棱锥外接球的半径为R,球心到截面的距离为d，则（2。5﹣）2+（5﹣d)2=d2+2.52=R2，∴R2=∴4πR2=50π,故答案为：50π．14．已知x,y满足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a的值是．【考点】7C:简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值．【解答】解：由约束条件,作出可行域如图，联立，得B（a，2﹣a）,联立，得A（1，1），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知zmax=2×1﹣1=1，zmin=2a﹣2+a=3a﹣2，由，解得:a=故答案为:．15．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”)．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是②③（填空写所有正确选项的序号）①y=；②y=;③y=;④y=．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据“伙伴点组”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f(x）则x＜0时关于原点对称的图象，利用对称图象在x＞0两个图象的交点个数,即为“伙伴点组”的个数．根据条件进行判断即可．【解答】解：①函数y=﹣x﹣1,（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y=x﹣1,即y=﹣x+1，在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数只有一个，所以函数f(x)的“伙伴点组”有1个,不满足条件．②函数y=﹣ln｜x|（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y=﹣ln｜﹣x|，即y=ln|x｜,在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有2个，所以函数f（x)的“伙伴点组”有2个，满足条件．③函数y=﹣x2﹣4x,（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y=﹣x2+4x，即y=x2﹣4x，在x＞0上作出两个函数的图象如图,由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有2个，所以函数f(x）的“伙伴点组”有2个，满足条件．④函数y=e﹣x，（x＜0）关于原点对称的函数为﹣y=ex，即y=﹣ex，在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有0个，所以函数f（x)的“伙伴点组”有0个，不满足条件．，故答案为：②③．三、解答题16．某中学为了解某次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图解决下列问题:频率分布表:组别分组频数频率第1组[50，60）90.18第2组［60，70)a▓第3组[70，80）200。40第4组[80,90）▓0.08第5组［90,100]2b合计▓▓(1）写出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分）的同学中随机抽取2名同学参加座谈，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8:频率分布直方图．【分析】（1）由题意知,t先求出样本总数,由此能求出a，b,x，y的值．(2)由题意知第4组竞赛成绩是80分以上(含80分）的同学有4人,第5组竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学有2人，共6人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出所抽取的2名同学来自同一组的概率．【解答】解:（1）由题意知,样本总数n==50，b==0。04，y=，x==0.03，a=（1﹣0。18﹣0.4﹣0.08﹣0。04)×50=15．（2）由题意知第4组竞赛成绩是80分以上(含80分）的同学有4人,第5组竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学有2人,共6人，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加座谈，基本事件总数n==15，所抽取的2名同学来自同一组包含的基本事件个数m==7，∴所抽取的2名同学来自同一组的概率p=．17．已知函数f（x）=2sincos﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．(I）求函数f（x)的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a,b，c分别为角A,B,C所对的边,a＜b＜c，a=2csinA,并且f（A+)=,求cosB的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用;H1:三角函数的周期性及其求法;HP：正弦定理．【分析】（I）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（ωx+)﹣1，由周期公式可得ω,解2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得；（Ⅱ)由题意和已知数据可得cosA=，进而可得sinA=，再由a=2csinA和正弦定理可得C=，整体代入cosB=﹣cos(A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC，计算可得．【解答】解:(I）由三角函数公式化简可得f（x）=2sincos﹣2sin2=sinωx﹣1+cosωx=2sin（ωx+）﹣1，∵函数f（x）的最小正周期为T=3π，∴ω===，∴f（x）=2sin（x+）﹣1，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得3kπ﹣π≤x≤3kπ+，∴函数f（x）的单调递增区间为[3kπ﹣π,3kπ+],k∈Z;（Ⅱ)∵f（A+)=，∴2sin（A++）﹣1=，∴2sin（A+）﹣1=，∴2cosA﹣1=，解得cosA=，∴sinA==，再由a=2csinA和正弦定理可得sinA=2sinCsinA，约掉sinA可得sinC=,∴C=或C=，又∵a＜b＜c，∴C为最大角，C=矛盾，故C=，cosC=﹣,∴cosB=﹣cos（A+C)=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣=18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4,∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=2．（1)求证：BD⊥PC;（2）求证:MN∥平面PDC;（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定;LX:直线与平面垂直的性质．【分析】（1)推导出BD⊥AC，PA⊥BD,从而BD⊥平面PAC,由此能证明BD⊥PC．（2）推导出DM⊥AC，AD=CD，DM=2，=，从而MN∥PD，由此能证明MN∥平面PDC．（Ⅲ)以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC,即BD⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD，又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．（2）在正△ABC中,BM=6,在△ACD中，∵M为AC中点,DM⊥AC，∴AD=CD，∠ADC=120°，∴DM=2，∴=，在Rt△PAB中,PA=4，AB=4，PB=8．∴==，∴MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面平面PDC，∴MN∥平面PDC．解：(Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系，∴B（4,0，0），C（2，6,0),D（0，4，0），P（0，0,4），=（2，6，﹣4），=（4，0，﹣4）,由（2)知=(4，﹣4，0)是平面PAC的法向量,设平面PBC的一个法向量为=(x，y，z）,则,即,取z=3，得=（），设二面角A﹣PC﹣B的平面角为θ,则cosθ===，∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．19．已知各项均为正数的等比数列｛an}的首项a1=2,Sn为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．（1）求数列｛an｝的通项公式；(2）设bn=log2an，cn=，记数列｛cn}的前n项和为Tn．若对于任意的n∈N*，Tn≤λ（n+4）恒成立,求实数λ的取值范围．【考点】8K:数列与不等式的综合；8E：数列的求和；8G：等比数列的性质．【分析】（1）由5S1，S3，3S2成等差数列，利用性质建立方程，再用首项与公比将此方程转化为关于公比的等式，解出公比的值得出通项；（2）依次求出bn、cn，根据所得出的形式，裂项求和即可．【解答】解：(1）设{an}的公比为q．∵5S1，S3，3S2成等差数列,∴2S3=5S1+3S2．即，化简得2q2﹣q﹣6=0，解得：q=2或．由已知，q=2．∴．…(2）由bn=log2an得．∴．∴．…∴…∵，当且仅当即n=2时等号成立，∴．∴实数λ的取值范围是．…20．已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)过点（1，）,且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ)设点A是椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上异于点A的两动点，若直线AP,AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标;若不恒过定点，说明理由．【考点】K4:椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系,解方程即可得到椭圆方程；（Ⅱ)在（I）的条件下,当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理,再由直线恒过定点的求法，即可得到所求定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e==，又b2=a2﹣c2,又点(1，)在椭圆上,可得+=1，解得a=2，b=，c=1即有椭圆的方程为+=1;（Ⅱ)在（I)的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2