新高考一轮复习讲义：第40讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page99页，共=sectionpages99页第40讲空间点、直线、平面之间的位置关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．(2022·遂宁市射洪中学月考)下列命题中正确的是()A．经过三点确定一个平面B．经过两条平行直线确定一个平面C．经过一条直线和一个点确定一个平面D．四边形确定一个平面解析：选B.对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误．故选B.2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则()A．P∈c B.P∉cC．c∩a＝∅ D.c∩β＝∅解析：选A.因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a⊂α，b⊂γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；因为P∈c，P∈a，所以c，a有公共点P，故选项C不正确；因为P∈b，b⊂β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确；故选A.3．在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上解析：选B.如图，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B.4．(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B.由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.5.(2022·江苏省镇江市·月考试卷)设a，b为两条直线，，为两个平面，则下列说法正确的是.(

)A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则【答案】C【解析】解：对于A，若，，则a，b平行或异面，故A错误；

对于B，若，，则或，故B错误；

对于C，若，，则在内一定存在直线c使得，那么，又，则，故C正确；

对于D，若，，则或，故D错误.

故选6.(2022·广州检测)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为()A.eq\f(2\r(21),3) B.eq\f(4\r(21),3) C.eq\f(2\r(7),3) D.eq\f(4\r(7),3)答案A解析延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得NE＝ME＝eq\f(\r(17),3)，AM＝AN＝eq\r(5)，MN＝eq\r(6).∴△AMN中MN边上的高h1＝eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),2)，△EMN中MN边上的高h2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),6).∴AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝eq\f(1,2)MN·(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)＋\f(\r(14),6)))＝eq\f(2\r(21),3).7.(多选)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()答案BD解析图A中，直线GH∥MN；图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图D中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面.8.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C.9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.答案4解析因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交.10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cosθ＝________.答案eq\f(\r(3),6)解析如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，角θ即∠POC1.设正方体的棱长为2，则OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，则cos∠POC1＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.答案eq\f(9,2)解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，且BM＝DN＝eq\r(5)，∴等腰梯形MNDB的高为h＝eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴梯形MNDB的面积为eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).(2022·湖北省·模拟考试)如图，在棱长为1的正方体中，G､分别是棱､的中点.证明：A､M､G､共面；求四边形的周长.解：证明：连接，如下图：在正方体中，且，四边形是平行四边形，，又

G､分别是棱､的中点，，

，共面.因为正方体的棱长为1，

所以，，则四边形的周长13.(2022·河南省·模拟题)如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．

证明：E，F，D，B四点共面；

证明：BE，DF，三线共点．证明：如图，连接EF，BD，，

是的中位线，，

与平行且相等，四边形是平行四边形，

，，

，F，D，B四点共面；

，且，直线BE和DF相交，

延长BE，DF，设它们相交于点P，

直线BE，直线平面，平面，

直线DF，直线平面，平面，

平面平面，，

，DF，三线共点．

【素养提升】1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3\r(3),4) C.1 D.2答案B解析如图，分别取BC，AA1，CC1的中点为H，M，N，连接EH，HN，GN，FM，ME，容易得出FG∥EH，GN∥ME，HN∥FM，则点E，F，G，H，M，N共面，且FG＝EH＝GN＝ME＝HN＝FM＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM.连接MN，EG，FH，且相交于点O，因为MN＝AC＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以OE＝OH＝ON＝OG＝OF＝OM＝eq\f(\r(2),2)，则截面图形的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)sin60°))×6＝eq\f(3\r(3),4).2．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)解析：选A.如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，则m1∥m，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因为B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，所以∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故选A.3．(多选)(2022·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是()A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行解析：选ACD.A选项，当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，M，N两点能重合，可知A错误；B选项，若M，N重合，则AC∥BD，则AC∥平面β，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项，当AB与CD相交，且AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项，当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选ACD.4.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq\r(3)，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________.答案2π解析如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，