高考数学三轮冲刺卷：空间的垂直关系（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：空间的垂直关系一、选择题（共20小题；）1.已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，且b⊂α，那么“a⊥b”是“a⊥α”的   A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.在长方体ABCD−A1B1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是   A.若m∥α，α∩β=n B.若m⊥α，m⊥n，则n C.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D.若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β4.设有不同的直线a、b和不同的平面 ①若a∥α,b∥ ②若a∥α,a∥ ③若α⊥γ,β⊥γ，则α∥ 其中正确的个数是   A.0 B.1 C.2 D.35.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确命题是   A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n C.若m⊥β，m∥α D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ6.下列命题中不正确的是   A.如果平面α⊥平面β，且 B.如果平面α⊥平面β，那么平面 C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥7.如图所示，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，B A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部8.若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是   A.若α∥β，l⊂α，n⊂β B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C.若l⊥n，m⊥n，则l D.若l⊥α，l∥β9.已知a，b为异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，直线l满足l⊥a，l⊥b，l⊄α A.α∥β且l∥α C.α与β相交，且交线平行于l D.α与β相交，且交线垂直于l10.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是   A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B.若m⊥β，m∥α C.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n D.若α⊥γ，α⊥β，则γ⊥β11.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是   A.若m⊂β，α⊥β B.若m⊥β，m∥α C.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n D.若α⊥γ，α⊥β，则γ⊥β12.对于直线m,n和平面α,β，能得出α⊥β的一个条件是   A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n C.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n13.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是   A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B.若l∥α，α C.若l⊥α，α∥β，则l⊥β D.若l∥α14.若a,b是空间两条不同的直线，α,β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分不必要条件是   A.a∥β，α⊥β B.a⊂β，α⊥β C.a⊥b，b∥a15.若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件16.设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；③若α⊥β，α⊥γ，则α∥β A.0 B.1 C.2 D.317.如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为   ①DF∥平面PBC；②AB⊥平面PDC A.3 B.2 C.1 D.018.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论： ①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面； ③直线EF ④平面BCE⊥ 其中正确的结论个数为   A.4个 B.3个 C.2个 D.1个19.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是   A.若m∥α，n B.若α⊥γ，β⊥γ，则α C.若m∥α，n∥α，且m⊂β D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n20.已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，且b⊂α，那么“a⊥b”是“a⊥α”的   A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题（共5小题；）21.已知直线a和平面α，β，利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断α⊥β的真命题是

．22.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α，β外的两条不同的直线，给出下列论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，剩下的一个论断作为结论，则

⇒

成立．23.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． 其中是“可换命题”的是

（填命题的序号）．24.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系中正确的序号是

． ①平面PAB⊥平面PBC②平面PAB⊥25.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC 三、解答题（共5小题；）26.如图所示几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE的中点．求证： （1）DF∥（2）AF⊥BD．27.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． （1）求证：AN⊥平面（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥NQ．28.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF=12AB （1）PH⊥平面（2）EF⊥平面29.如图，已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A1A=AB， 30.如图，三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=π2，点D，E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F （1）证明：AB⊥平面（2）若四棱锥P−DFBC的体积为7，求线段BC的长．答案1.B 【解析】由题意知a⊥b⇒a⊥α，但a⊥α⇒a⊥b，故“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件．2.D 3.C 【解析】对于A，如图，m∥α，α∩β=n，此时m，对于B，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又所以则m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m可能与β相交，也可能与β平行，也可能在β内，故D错误．所以正确的选项为C．4.A 5.C 【解析】分别如图所示：故A不正确；此图显示α与β相交，故B不正确；因为m∥α，m⊥β，所以，α内存在与β垂直的直线，故如图显示，β与γ不垂直，故D不正确．6.A 【解析】根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．7.A 【解析】AC⊥ABAC⊥B又平面ABC∩平面ABC18.C 9.C 10.B 【解析】若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质，在若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β或若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．11.B 【解析】若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或若m⊥α，m∥β，则因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β或若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．12.C 【解析】提示：C选项，由m∥n,n⊥β可得m⊥β，又因为m⊂α13.C 【解析】对于A，B，D均可能出现l∥14.D 【解析】提示：A、B、C中的a与α的位置关系都不确定．D中，由a⊥β，α∥β可以推得a⊥α（事实上，这符合线面垂直的推论），反之a⊥α时，不能得到a⊥β，15.B 16.C 【解析】由l，m,，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面知：在①中，若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则平面α，β成90∘角，所以α⊥β，故①正确；在②中，若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则由三垂线定理得m⊥l，故②正确；对于③，α⊥β，α⊥γ，则γ∥β错误，如墙角的三个面的关系，故③17.A 【解析】因为BC∥DF，DF⊄平面所以DF∥平面PBC因为PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD=D，PD,DC⊂平面所以AB⊥平面PDC，故因为PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE=E，PE,AE⊂平面所以BC⊥平面因为BC⊂平面所以平面PAE⊥平面PBC，故④18.C 【解析】画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥所以EF∥BC，直线BE与直线②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．③直线EF由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥所以EF∥因为EF⊄平面PBC，所以判断是正确的．④因为△PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥19.D 【解析】由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则在D中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确20.B 21.若a⊥α，且a⊂β，则α⊥β；或若a⊥α，且a∥β，则22.①③④或②③④，②或①23.①③【解析】由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．24.①②【解析】易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC：又AD25.E为棱BB【解析】如图，分别取AC，A1C1的中点D因为AB=BC，所以A1B1=B1C1．所以BD⊥AC，B1D1⊥A1C1．根据已知易得D1D∥A1A，D1D=A1A，B1B∥A1A，B1B=A1A，所以B126.（1）如图，取AB中点G，连接CG、∵F为EB中点，∴FG∥AE且又CD∥AE且∴CD∥FG且∴四边形FGCD为平行四边形．∴DF∥CG，又DF⊄面∴DF∥

（2）∵△ABC为正三角形，G为AB中点；∴CG⊥AB，∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥CG；又AB∩AE=A，AB、∴CG⊥平面∵AF⊂平面∴CG⊥AF．又（1）已证DF∥CG，又AE=AB，F为BE的中点，∴AF⊥BE；又BE∩DF=F，BE、∴AF⊥平面∵BD⊂平面∴AF⊥BD．27.（1）因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面所以PA⊥BM．又因为PA∩AM=A，所以BM⊥平面又AN⊂平面所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM=M，所以AN⊥平面

（2）由（1）知AN⊥平面又PB⊂平面所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ=A，所以PB⊥平面又NQ⊂平面所以PB⊥NQ．28.（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB．因为PH为△PAD中边AD上的高，所以PH⊥AD．因为AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，所以PH⊥平面

（2）如图，取PA的中点M，连接MD，ME．因为E是PB的中点，所以ME=12AB又因