空间向量求立体几何中空间角解答题

试卷第试卷第#页，共16页TOC\o"1-5"\h\z/4[设AD=2，则A(1,O,O),B(0j3,0),D(—1,0,0),P(0,0,l),F-,0,-y22EB=DA=(2,0,0),BF=(—^3,2],y22丿n=(0,0,1)为面BEC的一个法向量，设面FBE的法向量为m=（x,y,z）,EB-m=2x=0丽-丽-m=-x—朽y+-z=0,取y=23，得m=(0八36),m-nm-ncos<m,n>=ImI-1nI2■<3913・・•二面角C-BE-F为钝角，・・・二面角C—BE—F的余弦值为-空39・137•如图在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=1,BC=*3,D、D分别是BC,BC的中点，点G111111是厶ABC的重心，过点G作EFIIBC交于点E，F.（1）证明：EF丄平面AADD；11n（2）如果锐二面角A—AE—F的大小是£求AA的长度.1317.【解析】（1）由已知AA1丄平面ABC，EFu平面ABC，所以AA丄EF.11又AB=AC,D是BC的中点，得AD丄BC，又EFIIBC，故AD丄EF.因为AA,AD是平面AADD内的2条相交直线，所以EF丄平面AADD.11111

222(2)显然重心G在中线AD上，且AG=3AD，又EFIIBC，所以AE=3AB，AF=3AC.1111则A匚,0,0，A-,0,h，1(巧1C0,-—,h1111则A匚,0,0，A-,0,h，1(巧1C0,-—,h，2k丿6'3丿6'3丿zh=0设m=G,y,»是平面AAE的法向量，则AA=(0,0,h)zh=01J3，取x=73，y=1，z=0得m=C/3,1,0).—x+—y=0〔33设n设n=g讣是平面¥F的法向量，则垂=EF=TOC\o"1-5"\h\z13_一x+y+zh=0]31311取x=3，y.=0，Z[=得n=-111h!T严3逅1因为锐二面角ATE"的大小是n所以z®=668.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且ZBAD=60,CE=DE,EFIIDB,DB=2EF，平面CDE丄平面ABCD.(1)求证：平面(1)求证：平面BCF丄平面ABCD；(2)若平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为总,求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值.5【解析】(1)证明：设点G,H分别是CD,CB的中点，连结EG,FH,GH,则GH//DB，且DB二2GH，•：EF//DB，且DB=2EF，/.EF//GH，且EF=GH，EFHG是平行四边形，•••FH//EG，•：CE=DE，EG丄CD，■■-平面CDE丄平面ABCD，EG丄平面ABCD，FH丄平面ABCD,FHu平面BCF，•平面BCF丄平面ABCD；(2)连结BG,由(1)得EG丄平面ABCD，；四边形ABCD是边长为2的菱形，且ZBAD=60，:△BCD是边长为2的等边三角形，•••BG丄CD，BG=、K，以G为坐标原点，以GD,GB,GE分别为x轴，y轴，乙轴，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz，由题意得g(0,0,0),aC,73,o),BC,q3,0),C(-1,0,0),设E(0,0,t)(t>0)，则f|—k22丿EF=(—1，亘,0),AE=(—2,—吕t),bc=(—1,—^3,0),BF=(--3,t),2222设m=(x,y,z)是平面AEF的一个法向量,111m-EF=0m-AE=0令m-EF=0m-AE=0令y1=y=01+tz=01——x+•212-2x-百y111设n=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量,222

n-bc二o

n-n-bc二o

n-BF二o—x-逅y=0V3八，令y2=—1?——x—y+tz=02222则f2zJ2•n=(%■3,—1,0),|cos<m,n>\=3+1+27八E12•GE=3方，所以EB=<EG2+GB2=、；27+3=<30，因为EG丄平面ABCD，所以ZEBG是直线BE与平面ABCD所成的角,所以sin所以sinZEBG=EG=3/3=3顷EB~—10•直线BE与平面ABCD所成角的正弦值竺10.109•如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AE//CD，ae=2CD=2AC，ZEAC=90°，现将直角梯形acde沿边AC折起，使得AEGB，连接BE、如图，以A如图，以A为坐标原点，AF为x轴，在平面ABC内，过点A作BC的平行线为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),Fc3,0,0),B(.3,—1,0),Cw3,l,o),E(0,0,1),D(、：3,1,2),EF=G30,—1),BE=(—73,1,1),Ed=63,1,1),设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，+y+z+y+z=0y+z=0n•竺=0，即n-ED=0令y=1,则z=—l，x=0，所以n=(0,1,—1),设直线EF与平面BDE所成角为0,In•EFIInI-1EFI所以In•EFIInI-1EFI所以sin0=1cos〈n,EF〉I=1=虫2^2=4B10•如图所示，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，SA丄底面ABCD，点E,F分别为AB,SD的中占I八、、•证明：直线EF//平面SBC；设SA=AD=2AB，试求直线EF与平面SCD所成角的正弦值.10.【解析】(1)证明：过点E作EG//SB交SA于点G.连接GF.因为E为AB中点，所以G为SA中点.所以GF//AD，所以GF//BC，所以GF//平面SBC同理可得，EG//平面SBC所以平面GEF//平面SBC所以EF//平面SBC.(2)如图，因为，底面ABCD是矩形，SA丄底面ABCD所以可以以A为坐标原点，AB,AD,AS分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A-xyz.设SA=AD=2AB=4，则S(0,0,4),C(2,4,0),D(0,4,0),E(1,0,0),F(0,2,2)所以EF=(-1,2,2).设平面SCD的一个法向量为a=(x,y,z)，fa-SzDC4y-4z:0,所以a=(0,1,1).a-DC=2x=0设直线EF与平面SCD所成的角为6，所以sin611•在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD丄底面ABCD，△PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形,

兀ZDAB=-3,O为AD的中点.试在线段BP上找一点E,使OEII平面PCD,并说明理由;求直线PC求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.11.【解析】(11.【解析】(1)当点E为PB的中点时，OEII平面PCD,理由如下：取PC的中点F,连接EF,DF,因为PE=EB,PF=FC，所以EFIIBC,EF=-BC,21因为底面ABCD为菱形，OA=OD，所以OD11BC,OD——BC,2<所以ODIIEF,OD—EF，所以四边形ODFE是平行四边形，所以OEIIDF,又因为OE#平面PCD,DFu平面PCD，所以，OEII平面PCD.(2)连接PO,因为APAD是等边三角形，O是AD的中点，所以PO丄AD,又侧面PAD丄底面ABCD,侧面PADPl底面ABCD—AD,所以PO丄平面ABCD,所以PO丄OB.兀因为底面ABCD是菱形，ZDAB—-，则△ABD为等边三角形，所以OB丄AD，即PO,OB,OA两两垂直.如图，以点O为原点，直线OA,OB,OP分别人x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐系Oxyz,设AD=2，则A(1,0,0),B(0,总0),P(0,0,间,C(-2,賦0),AB—(-1,点,0),AP—(―1,0,u3),PC—(―2,方,-冋,设平面PAB的法向量为孑=(x,y,z)，ab-n由｛一一ab-n由｛一一AP-n73y=0<3z=0令x=，得才=(u3,l,l)，设PC与平面PAB所成的角为0,ci心-IIPC用I丨-2xJ3+打xl-点xll<6贝卩sin0=lcos<PC,n>l===——,IpC||-|v4+3+3xs/3+1+15则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为工6.512•如图，在四棱^P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD,AD//BC,ZABC=90°,PA=AB=BC=2,ADAD(2)设点N是线段CD上一动点，且DNTDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求久的值.【解析】(1)JPA丄底面ABCD,ZABC=90°,则可以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),AM=(0,1,1),PD=(1,0,—2),CD=(—1,—2,0),n-pd=0则Inn-pd=0则In■CD=0即jx—22=00，令x=2，则y=—1,z=1，即n=(2,-1,1),—x—2y=0AM-n=0,.AM丄n，且amW平面PCD,.AM//平面PCD；(2)可得DN=XDC=X(12,0)=(X,2九,0),AN=AD+DN=(1,0,0)+(九,2九,0)=(1+九,2九,0),MN=AN—AM=(1+九,2九,0)—(0,1,1)=(1+九,2九一1,—1),易得平面PAB的一个法向量m=(1,0,0),设直线MN与平面PAB所成的角为0,MN-m10132则J当=：时，即九=时，sin0最大，1+入532所以当直线MN与平面PAB所成的角最大时X=3.(2)在线段PB上是否存在点M,使得直线AM与平面PBD所成角的正弦值为巴5?若存在，求出线5段PM的长度；若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：•・•面PAB丄面ABCD且面PABc面ABCD=AB,BC丄AB,BCu面ABCD,/•BC丄平面ABP，又BCu平面PBC,・•・平面PBC丄平面PAB.(2)在平面PAB内，过点A作AE丄AB交PB于点E,则可知AE丄平面ABCD.以A为坐标原点，分别以AB,AD,AE方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-