第二课时等差数列的性质及其应用

第二课时等差数列的性质及其应用其中，①的几何意义是点(n，an)均在关于x的函数y＝dx＋(a1－d)的图象上；②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1；③可用来由等差数列任两项求公差．[典例1]已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[方法技巧]灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．[对点练清]已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.题型二等差数列的性质及应用

[学透用活](1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(2)下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.项的运算性质可推广到三项的情形，即“m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as”，还可以推至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可．(3)在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．[典例2]

(1)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝

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)A．0 B．37C．100 D．－37(2)已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.[解析]

(1)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.(2)∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.由条件等式，得a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.[答案]

(1)C

(2)234[方法技巧]本例(1)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列．本例(2)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．[对点练清]1．已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为

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)A．10 B．－10C．15 D．－15解析：由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.故a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.答案：B

2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：180题型三灵活设元求解等差数列

[学透用活][典例3]

(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[方法技巧]常见设元技巧(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．

[对点练清]已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．题型四等差数列的实际应用

[学透用活][典例4]公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的范围．[方法技巧]解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．[对点练清]经济的发展带动了市民对住房的需求．假设某市2021年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份是

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)A．2028 B．2029C．2030D．2031[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？二、应用性——强调学以致用2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？三、创新性——强调创新意识和创新思维3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n＞k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．求证：等差数列{an}是“P(3)数列”．证明：因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n