第二课时等差数列前n项和的性质及其应用

第二课时等差数列前n项和的性质及其应用[典例1]

(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为

(

)A．130 B．170C．210 D．260(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．[方法技巧]利用等差数列前n项和的性质解题时，一是要注意判断等差数列中的项数，二是注意整体思想在解题中的应用．[对点练清]1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝

(

)A．270

B．108C．162 D．150解析：∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.答案：A

2．一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，则公差d＝________.题型二等差数列前n项和的最值问题

[学透用活][典例2]在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定Sn的最值．

[对点练清]1．已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n等于

(

)A．8 B．9C．10 D．112．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＞0，S14＜0，则Sn取最大值时n的值为

(

)A．6 B．7C．8 D．13解析：根据S13＞0，S14＜0，可以确定a1＋a13＝2a7＞0，a1＋a14＝a7＋a8＜0，∴可以得到a7＞0，a8＜0，∴Sn取最大值时n的值为7.故选B.答案：B

题型三等差数列前n项和的实际应用问题

[学透用活][典例3]在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？[对点练清]中国植树节定于每年的3月12日，是中国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．某班41名同学打算在明年的植树节这一天，在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在第n(n＝1,2，…，41)个树坑旁边，则将树苗集中放置在第________个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＋an＝4n－1，n∈N*.求数列{an}的前n项和Sn.二、应用性——强调学以致用2．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈．问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有

(

)A．195尺

B．133尺C．130尺

D．135尺

三、创新性——强调创新意识和创新思维3．已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn