数学地质系列-1地质学研究中常用的数学理论和方法

第一章

地质学研究中常用

的数学理论和方法本章学习目标

掌握地质科学中确定模型→概率统计模型的概念；全面了解概率统计模型中定性、定量数据的常规数学分析方法；了解数学与计算机技术在地质学领域的广泛而深入的应用状况；了解地质科学中模型、数据与过程的一般表现形式：图形/图象技术；启迪对地质科学问题的新思考与创新；

学习重点、难点

重点了解地质学观测数据的属性

概率统计模型概念常用的数学处理方法相关的计算机技术难点实际地质概念模型中正确区分确定型模型与随机模型l

课时安排4学时,课外完成习题

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学习方法讲授与自学结合

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背景知识相关的专业知识；

数理统计；

计算机应用技术问题

实际复杂的地质问题，可以利用哪些数学模型描述，涉及多少计算机技术？下面所提到的最基本数学理论与计算机技术，你掌握了多少？

第一节数学方法的分类确定型模型是指研究因果律亦即没有随机成分的数学模型。1.用指数方程来描写泥岩中孔隙率与深度之间的关系:

Φ=Φ0e-bz。2.利用泥岩孔隙率变化函数恢复地层的古厚度时，其数学方程为一个积分方程：∫Q+RQ[1-Φ(z)]dz

=∫H+TH[1-Φ(z)]dz。问题的提出——两个实例1.地质研究表明，铬的含量与砷的含量存在一定关系，某矿区取得一批矿样，测得Cr2O3与Os数据，你用何种数学方法确定它们之间的数学表达式，来预测未知区域的铬的分布？2.油藏含油饱和度与储层的渗透率、孔隙度、排驱压力、毛管压力、孔喉半径、孔喉歪度、孔隙峰度以及束缚水饱和度等因素相关。今取得一批上述各项的分析数据，你怎样通过数据分析，建立随机因变量与多个随机自变量间的数量关系，判断油藏的好坏，以及预测新的油气藏位置？二概率型模型数理统计是从研究对象的主体抽取其中的部分进行观察，获得数据，然后通过这些数据来对所研究的全体进行科学的推断。

推断

↓

部分数字特征→总体数字特征

1．概率分析

地质规律大多具有统计规律的性质，即它们服从一定的分布律，各种地质事件及观测结果在不同条件下发生的客观可能性或概率是不同的，因此利用概率分析法就有可能研究各种地质事件发生的概率。用于油气勘探工作中，形成了油气勘探决策分析

例如：利用贝叶斯公式等即可对油气勘探的这种不可靠性和风险性（在不同地质条件下探井成为发现井和干井的概率各是多少等）进行估计，使勘探投资的风险性减少到最低的限度。其次，油气勘探中另一个目的是作出较好的决策。它把性质上根本不相同的油气地质学和经济学协调起来，也就是把勘探对象的地质评价同经济分析联系起来，对各个经济成果客观地从数量上进行评价。2．一元（单变量）统计分析它只研究两个随机变量间相互关系，包括单因素方差分析、单因素相关分析及一元回归分析等方法，其它的如信息量计算等也属于单变量统计分析方法。3．多元统计分析

研究多个随机变量间的相互关系。它除了对多元统计量进行研究外，在应用中则着重从不同角度研究各变量间的关系。

多元统计包括方差分析、回归分析、判别分析、聚类分析、因子分析、对应分析、典型相关分析等。其中判别分析和聚类分析用于数据的分类，因子分析（含主成分分析）、对应分析主要用于数据结构的简化（例如变量变换和降低空间维数），典型相关分析则用于两组变量间相关性。一元分析和多元分析之间的关系：由一元分析推广到多元分析。如平均值、方差、偏斜度等和相关分析、回归分析、方差分析等。由一元分析不能直接推广到多元分析。如主成分分析、因子分析、典型相关分析、各种分类分析等。4．地质统计学地质统计学的历史发展在南非矿山工程师克里格（克里金）（D·G·Krige）等人工作的基础上，由法国的马特隆（G·Matheronl962）创立并发展起来的一门具有完整理论体系的数理统计中的一个新的分支学科。克里金（克里格）它是以矿石品位和矿床储量计算、误差估计为主要目的，以矿化的空间结构（空间相关）为基础，以区域化变量为核心，以变异函数为基本工具的一种数学地质新理论和新方法。5．稳健统计学问题的提出：经典的统计方法大多以正态分布假设及最小二乘法为基础，可是在实际数据中特别是地质数据（如油气化探数据）中的离散度大，偏离正态分布假设的情况十分普遍。偏离的原因：

a.总体服从正态分布，由于各类误差（随机误差、系统误差、过失误差）或外总体的加入所致；b.总体本来就不服从正态分布，如服从t分布、Γ分布、F分布等；

后果:当数据偏离正态假设较明显时，经典的统计方法常常给出不容易觉察的歪曲的甚至错误的结果。可见经典统计学方法对偏离正态分布假设的情况是非常敏感的。博克斯（G·E·P·Box，1953）把这种现象称之为稳健性问题。这就是稳健性一词的由来。

修改统计方法使之更稳健，以适应数据偏离统计假设的情况，是稳健统计学产生和发展的一个主导思想。各种稳健统计方法的基础是对位置（即数据点群的中心）及尺度（即数据点群的离散度）的稳健估计。改进方法:采用中位数及中位绝对中位差，即MAD＝med{[xi一med（xi）]}／0.6746来代替算术平均值及标准差作为数据平均值及离散度的估计值，可以获得较好的稳健性。目前已提出了M估计（最大似然估计）、L估计（有序统计量的线性组合）及R估计（秩估计）。例如稳健统计方法的特点：①数据满足统计假设时，方法性能良好，给不出最佳结果，此时只有经典统计学方法才是最优方法;②数据轻微偏离统计假设时方法性能变化甚微，效果较好;③数据对统计假设有中等程度的偏离时，方法不致于导致破坏性的失败。6．成分（定和）数据的统计分析设有n×m阶矩阵如果矩阵的行代表样品，列代表变量则每个元素非负，每行元素之和均为1,即称x为成分数据（定和数据）。7．定向数据的统计分析平面数据：在自然科学的许多领域内经常会接触到各种带方向性的数据，如气象学中测量风的方向，地质学中通过斜层理和长形的生物化石，古水流的方向等，这些数据称为平面上的数据或圆上的数据。三维数据：古地磁学中利用剩磁的方向来判断地层或化石的年代和对大陆漂移、海底扩张进行研究，在构造地质学中利用断层面及其组构元素的方向分析断层形成的应力状况及其机制，这些数据的方向大多是三维的，可以把它们看作是球面上的点。

应用领域：

在国外，方向数据统计发展十分迅速，已构成数理统计中较为重要的一个分支学科，并在生物、地质、气象、天文、医学等许多领域内得到了实际的应用。

8．定性数据的统计分析不存在明确的数量上的概念，仅有性质上的差异.如天气（阴、晴、多云）、品种等，这种数据通常是用二态变量（0，1）、数符（1，2，…）和字符（A、B、C、…）等来表示的。例如0表示无，1表示有，A＝红色，B＝黄色等，所以定性数据又称为描述性数据。地质学中定性数据的统计分析有两种途径：研究途径1:研究适合于定性数据的统计分析方法。目前对二态变量数据的各种数学分析及统计分析方法（二态变量的回归、判别、聚类等）。研究途径2:定量化研究方法。它是把定性数据设法按某一合理的原则，实现向定量方面的转化，并以得到的定量数据为基础进行预测或分类等研究，这就是数量化理论(Theoryofquantification）。

数量化理论由日本数学家林知已夫提出，现已发展成多元统计中的一个新的分支学科。数量化理论按其所研究问题、目的之不同可分为四种，分别称为数量化理论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。它们与多元分析中其它方法间的关系如表1一1所示。表1-1数量化理论与多元统计分析方法间的关系混合模型

当数学模型中既用到确定型数学方法又用到概率型数学方法时，则称这种模型为混合模型，即确定的／概率的数学模型。其数学方法只是上述数学方法的联合应用。第二节地质学研究中的数学分支学科近几十年来数学的理论和方法发展十分迅速，各种新的分支学科不断被引入到数学地质中未，从而使数学在地质学中的应用范围日益扩大和深入（图1一1）。（图1一1）地质问题

地质模型

数学模型

计算机进行计算

信息处理和可视化第三节地学信息处理的基本思路内容主要包括下列几方面：

一、多元统计分析

地质事件的发生带有随机性，常受概率法则的支配，而影响地质事件发生的因素又是多种多样的，因此，可应用多元统计分析方法对它进行研究。多元统计分析是数学地质学科中较早被引入也是较成熟的一个组成部分，已广泛应用于各个地质分支学科，在油气地质与勘探方面的应用也很多。例如:在沉积方面的应用有沉积岩的分类、地层的划分与对比、沉积相和沉积环境的划分和判别等。在构造方面的应用有利用趋势面研究构造较平缓地区区域构造的变化趋势，利用剩余图研究局部构造的形态、面积、构造幅度、闭合度等。在有机地球化学方面的应用有研究生油岩的沉积环境、油源对比、干酪根类型的划分等，其他方面还有油气化探数据处理，探井中油、气、水层的判别等。

二、地质计算机模拟

一个地质系统在漫长的地质历史时期中往往经历了复杂的地质变化过程，地质模拟就是要在实验室的条件下，用人工的方法去模仿再现这一主要地质作用过程。

用计算机进行数学模拟能够克服物理模拟难以达到的实验材料、条件下的系统演化过程。如高温、高压状态深部岩石的性状，变形特征，流变状态，物理化学变化，不同边界层间的能量、物质的耦合与转换机制。此外对于漫长的地质演化时—空过程，物理模拟根本无法实现，用计算机进行模拟则不受此限制。

例如:我们就可以建立各种地质过程的数学模型[如盐丘、构造发育模型、沉积模型、石油生成模型、造山带的形成演化、盆地与油藏静/动态模型以及盆山耦合关系与过程等模型）来模仿再现地质过程的发生、发展及演变过程，使人们对地质的规律性能有更多的了解，从而能更好地解决各类地质问题。三、油气资源定量预测和评价（矿产资源定量预测）矿产资源预测始于50年代，70年代有了迅速的发展。根据阿格特伯格（1974）的定义，“把区域地质成矿规律、地质数学信息和概念加以联合并用计算机进行资源评价工作”称为矿产统计预测。

赵鹏大教授等（1983）所著《矿床统计预测》不仅建立和完善了矿床统计预测的理论体系，而且对预测方法及其应用条件等做了全面的介绍和总结，对我国数学地质和矿产资源定量预测科学的发展做出了重要的贡献。目前常用的定量评价方法就有五大类30种之多。1、统计预测方法

①蒙特卡罗法；②回归分析法；③趋势分析法；④判别分析法。2、外推预测法

①指数函数模型；②逻辑斯特模型；③随机钻进模型；④Weng旋回模型；⑤大油田与小油田比例模型；⑥储量变化率率模型与储量增长率模型；⑦油田规模序列法；⑧油藏规模分布法。3、类比预测方法①储量密度系数法；②聚集系数法；③储集层体积法，④单位产率法；⑤评分法；⑥地质因素比较法；⑦断层线密度法；⑧构造平均法；⑨容积系数法；⑩地质因素取小法；⑾沉积速度法；⑿油田模型法；⒀聚类分析法。4、成因预测法①剩余沥青法；②运移系数法；③埃德曼法；④干酪根降解模型；⑤盆地动态模型。5、综合预测法①特尔菲法；②多种信息迭合评价法；③模糊集合综合评价法。按数学模型和计算机应用的类别，油气资源定量预测和评价方法可归纳为三大类：概率及统计方法、盆地数值模拟法和油气资源评价专家系统方法。方法种类数学模型计算机应用概率统计方法概率模型以数据分析为主盆地数值模拟确定型与概率型混合以数值计算、数据分析为主矿产、油气资源评价专家系统方法知识库与评价方法数学模型以知识信息处理为主四、与地质研究任务有关的