第二章 资产组合

第一章资产组合理论

引子：如证券A可无风险地获得10％的回报率，证券B以50％的概率获得20％的收益，50％的概率的收益为0，你将如何选择？2023/9/291引言投资学的基本理念:风险与收益的最优匹配对一个理性投资者而言，所谓风险与收益的最优匹配，即是在一定风险下追求更高收益，或在一定收益下追求更低风险投资决策是基于对两个目标的全盘考虑，马柯威茨为此提供了一条行之有效的途径对收益与风险的量化以及对投资者风险偏好的分类，是构建组合时首先要解决的一个问题2023/9/292基本假设投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资投资者根据收益率的期望值和方差来评价和选择资产组合投资者是风险规避的，追求期望效用最大化所有投资者处于同一单一投资期2023/9/293第一节风险与收益的衡量一、单一资产的风险和收益衡量一个投资组合是由不同的资产或证券构成的，对单一证券的收益和风险的衡量，是计量投资组合的收益与风险的基础。2023/9/294一、单一资产收益的衡量（一）持有期收益率暗含“现金红利都在期末发放”的假设，没考虑红利期中发放的再投资效应为在不同项目间比较，要化为年化收益率。如半年收益率为25%，则年化收益率为56.25%；如2年的收益率为25%，则年化收益率为11.80%2023/9/295（二）期望收益率E(r)的计算任何投资都需事先对收益进行预期或估计。可用数学期望方法进行，即对每一收益率的估计都给出其实现的概率，再对各收益率及其概率加权平均Expectedreturn：预期将获得的平均收益率，所有可能收益率值的概率加权平均反映了投资者对未来收益水平的一个总体预期2023/9/296二、单一资产风险的衡量一般将投资风险定义为实际收益对预期收益的偏离，数学上可用预期收益的方差来衡量方差：指可能的实际收益偏离期望收益的离差平方的期望值方差大小取决于两个因素各种可能值与期望值的绝对偏离程度每一可能结果发生的概率大小2023/9/297注意收益率的概率分布是计算期望收益、方差的基础反映收益率概率分布特征的两个统计变量E(r)：未来收益率的中心趋势（期望值并非收益率概率分布的唯一代表值，但其被认为最好，代表性最强）：未来收益率取值的离散程度E(r)和为现代投资分析提供了基本工具，是人们评估资产或组合投资价值的核心指标2023/9/298实际投资中对收益和风险的计量股票的未来收益和风险是不可知的，需用样本进行估计，即通过计算样本平均值和样本方差来估算其收益和风险实际中一般用该股票过去已实现的收益为样本，并假设其收益率的概率分布不变样本方差计算公式为：

σ2＝2023/9/299例:假定投资于某股票，初始价格10元，持有期1年，现金红利为0.4元，预期股票价格在不同经济状态下有如下三种可能，求各种可能下的收益率，并求该股票的期望收益和方差。表1-1：一个假设的股票投资经济状态繁荣正常运行萧条概率0.250.500.25

期末价（元）1411

8解：设r1、r2、r3分别为繁荣、正常运行和萧条状态下的收益率。则10

r1＝（14-10+0.4）/10＝44％

r2＝（11-10+0.4）/10＝14％

r3＝（8-10+0.4）/10＝－16％（1）根据预期收益率计算公式：E(r)=(0.25×44%)+(0.5×14%)+[0.25×(－16％）]=14%（2）根据方差的计算公式：σ2=0.25(44-14)2+0.5(14-14)2+0.25(-16-14)2=450

2023/9/2911三、投资组合的期望收益和方差组合收益的计算组合风险的计算组合的方差是组合的各种可能收益与其期望收益离差平方的期望值组合的方差是证券各自方差与它们之间协方差的加权平均2023/9/2912当i=2时当i=3时2023/9/2913协方差与相关系数相关系数反映两个随机变量间的关联程度资产之间的相关系数对资产组合的风险有重大影响相关度越高，资产组合的风险越大；或者说，选择相关度小的资产组合，可降低投资风险2023/9/2914例1：假设有一个两项资产构成的投资组合，x1＝0.25，σ1＝0.20，x2＝0.75，σ2＝0.18，且σ12＝0.01，计算该组合的方差。解：σp2

＝0.252(0.20)2+0.752(0.18)2+2（0.25)(0.75)(0.01)=

0.0245进一步分析。资产1的方差σ12＝0.04，资产2方差σ22＝0.0324；而组合的方差σp2=0.0245。可见组合投资有利于降低风险。但这一结果的取得有赖于资产之间的相关系数。2023/9/2915练习假设两个资产其收益率的期望值分别为0.12、0.15，其标准差为0.20、0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两资产的协方差为0.01，计算组合的方差。2023/9/2916例2：假设以上海证券市场的三只股票构建投资组合：

表1：一个假设的组合证券名称中国国贸钢联股份华夏银行组合组合中股份100200100400初始买入价（元）5.98

4.29

4.36

总投资（元）598

858

436

1892占组合比例0.3160.4540.23

1期望收益率5％

7％

3％

3.9％需考虑：一、组合中三只股票的购买量依据什么确定？马克维茨资产组合理论能解答这个问题。二、为什么选这三只股票？对这一问题的回答需用到CAPM、基本分析法、技术分析法等。此外，还要考虑相关系数。2023/9/2917资产组合风险分散化原理通过简单的数学推导来证明：随着组合中证券数量的增加，组合风险逐步降低为简化推导做如下假设：构造一个等权重投资组合，组合中有n种证券？（思考）2023/9/2918四、非系统性风险与系统性风险的衡量（一）非系统性风险的衡量非系统性风险是由个别上市公司的特有情况所造成的风险，这一风险只与该公司本身有关，而与整个市场无关如市场是有效的，则整个证券市场可看作是“市场组合”，该组合将弱化甚至完全消除非系统性风险，因此市场组合或整个市场的非系统性风险为0虽投资组合可消除单一证券的风险，但证券两两之间的协方差所构成的那部分风险却无法消除2023/9/2919（二）系统性风险的衡量所谓系统性风险，是指由于某种全局性的因素而对所有资产收益都产生影响的风险。这种风险主要源于宏观经济因素的变化，如利率、汇率的变化所产生的风险它无法通过投资组合给以消除。对于某证券所面临的系统性风险，可用该证券的β系数来进行衡量2023/9/2920五、资产选择一个风险厌恶的投资者，其行为方式将服从均值方差准则，即如投资者是风险厌恶的，则其对于证券A和B的选择，当且仅当E(rA)≥E(rB)，且σA2≤σB2成立时，投资者应选择证券A而放弃B。这即是根据风险与收益的关系进行资产选择的原则之一。2023/9/2921还可采用夏普比率进行资产选择。所谓夏普比率（Shaperate），是指承担单位风险下所获得的收益。即：CV

=

E(r)/σ夏普比率的值越大，表明承担单位风险的情况下所获得的收益越大，该资产越具有投资价值夏普比率是我们应用收益与风险的关系进行资产选择的又一重要原则或指标。2023/9/2922第二节效用函数与风险偏好面对风险，不同的经济个体可能有不同的反映掷硬币的游戏投资者的类型：风险厌恶、风险中性、风险喜好风险厌恶型投资者拒绝参加公平游戏公平游戏(fairgame):收益的期望值为零的风险投资风险厌恶型投资者承担风险是要报酬的，即要求风险溢价2023/9/2923一、效用函数与风险偏好类型效用在经济学上是指人们从某事物中所得到的主观满足程度投资者效用是投资者对各种不同投资方案形成的一种主观偏好指标，投资者效用是其财富的函数投资者的目标是在服从预算约束的条件下，实现效用E[U(W)]最大化2023/9/2924（一）投资者风险态度的测定投资者对风险的态度由其效用函数的形态所决定。凹性效用函数、凸性效用函数和线性效用函数，分别表示投资者对风险持回避态度、喜好态度和中性态度。2023/9/2925风险态度的测定假设有两种彩票A和B，彩票A到期可得100元；彩票B到期可得500元或付出100元，可能性分别为1/3和2/3两彩票期望收益相同，都是100元决策：买A或B？1、选择A的

：

U(100)>1/3U(500)+2/3U(-100)=>风险厌恶2、选择B的：

U(100)<1/3U(500)+2/3U(-100)=>风险喜好26即期望的效用小于效用的期望3、无所谓：

U(100)=1/3U(500)+2/3U(-100)=>

风险中性在金融经济学理论中，假定所有投资者为风险厌恶者，给定一期望回报水平，投资者将选择方差最小的赌局2023/9/2927（二）凹性效用函数－风险厌恶（加减薪）效用函数的特点:财富与效用正相关（一阶导数为正）边际效用递减（二阶导数为负）2023/9/2928（三）凸性效用函数－风险喜好函数性质：2023/9/2929（四）线性效用函数－风险中性2023/9/2930例1：风险态度测定给定效用函数，U(W)=ln(W)，赌局为：G(5,30,80%)赌局的期望值为：E(W)=0.8

5+0.2

30=10期望值的效用为：U[E(W)]=ln(10)=2.3效用的期望值为：E[U(W)]=0.8

U(5)+0.2

U(30)=0.8

ln(5)+0.2

ln(30)=1.97U[E(W)]>E[U(W)]，即从给定的期望值中获得的效用比从“开赌”的结果中获得的效用要大。说明效用函数为凹形，为风险厌恶型投资者2023/9/2931二、效用函数形态的讨论效用函数的斜率由一阶导数测定，在所有的三种风险态度中，效用函数的斜率都为正，[U’(W)>0]。即无论你对风险的态度如何，“财富多”比“少”好。效用函数的凹度由二阶导数测定。凹度测定的是随着财富水平增加，斜率的变化即边际效用如何变化。

2023/9/2932对于风险厌恶的投资者来说：

U’(W)>0和U''(W)<0

风险中性时：U

(W)=0风险喜好时：U

(W)>02023/9/2933三、均值-方差框架下的效用函数如收益服从正态分布，则可通过选择最佳的均值和方差组合实现期望效用最大化。即所谓均值-方差分析框架。2010-8-5342023/9/2934（一）均值-方差下的效用价值衡量一项投资或投资组合的效用，即是观察其风险与收益的匹配状态：风险一定时，预期收益越高，效用值越大；收益波动性越强的投资或组合，效用值就越低。

U=E(r)-0.005Aσ2公式表明，高预期收益会提高效用，而高波动性（风险）将降低效用。2010-8-5352023/9/2935投资者的风险厌恶指数A风险与效用价值负相关，风险减少效用的程度取决于投资者的风险厌恶指数A。风险厌恶指数A受多种因素影响投资者的风险偏好投资者的风险承受力投资者的时间期限等风险厌恶系数A是投资者的主观态度，因人而异，通常通过问卷调查来获得。2010-8-5362023/9/29362010-8-537风险厌恶型投资者，A>0。风险中性投资者，其A=0。风险爱好者其A<0。即使预期收益有所下降，他也愿意承担更大的风险。2023/9/2937练习股票A的期望收益率是14%，标准差为25%，无风险利率是4%。一个投资者有如下效用函数：。问：A的价值为多少时，该投资者投资于A和无风险资产之间是没有差异的？2023/9/2938（二）风险厌恶型投资者的效用无差异曲线投资者的效用无差异曲线表示在同一曲线上，不同组合带给投资者的满足程度是无区别的。2010-8-5392023/9/2939风险厌恶型投资者效用曲线的特点斜率为正。为保证效用相同，如投资者承担的风险增加，其所要求的收益率也会增加。不同的投资者其无差异曲线斜率不同，越陡峭，表示其越厌恶风险。斜率递增。随着风险的增加，要使投资者再多承担一定的风险，其期望收益率的补偿越来越高。无差异曲线是非线性的，且该曲线越来越陡峭不同的无差异曲线代表着不同的效用水平。对同一个投资者来说，任两条无差异曲线都不会相交。

2010-8-5402023/9/2940ExpectedReturnStandardDeviationIncreasingUtilityP24312023/9/2941（三）无差异曲线的制作效用函数:U＝

E(r)－0.005Aσ2

，对于任何一个投资者，A是确定的。如某投资者的风险厌恶系数为4，则他的效用函数就是：

U＝

E(r)－0.005

4

σ2

＝

E(r)－0.02

σ2给定U=常数，如U=2（2＝

E(r)－0.02σ2，无差异曲线是均值和方差的函数）就可画出某投资者的一条无差异曲线。2023/9/2942

回报标准差

2在均值-标准差图表中，用一条曲线将效用值相等的所有投资组合点连接起来，该曲线就称为无差异曲线2023/9/2943（四）效用函数的应用如投资人要在一个预期收益率为22%，标准差为34%的风险组合与报酬率为5%的国库券之间做出选择。可用效用函数分析和决策：如投资人比较厌恶风险，如A＝3时，组合效用值为：U＝22－(0.005×3×342)＝4.66%，比5%稍低，投资人会放弃风险资产组合而选择国库券。如投资人不太厌恶风险，如A＝2时，组合效用水平为10.44%，高于无风险报酬率。2023/9/2944第二节

风险投资组合的可行集、有效集和最优投资组合2023/9/29