2024届一轮复习人教A版 第六章立体几何第六讲空间坐标系与空间向量 课件（56张）

第六讲空间坐标系与空间向量课标要求考情分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的垂直本讲是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量1.空间向量的有关概念2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).项目向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角余弦值(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l

αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0(3)空间位置关系的向量表示【常用结论】

考点一空间向量的线性运算图6-6-1答案：D2.(多选题)已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中正确的有()解析：作出平行六面体ABCD-A′B′C′D′的图形，如图D39，可图D39答案：ABC【题后反思】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.考点二共线定理、共面定理的应用[例1]如图6-6-2，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.图6-6-2(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH.由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.图6-6-3所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD

平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【题后反思】证明三点共线和空间四点共面的方法比较【变式训练】图6-6-4

考点三空间向量数量积及其应用

[例2]如图6-6-5所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点. (1)求证：EG⊥AB； (2)求EG的长；(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.图6-6-5【题后反思】(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通过|a|＝

，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.【变式训练】

如图6-6-6所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1

的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1

与AC夹角的余弦值.图6-6-6考点四向量法证明平行、垂直

[例3]如图6-6-7，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角.求证：图6-6-7(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图6-6-8所示的空间直角坐标系Cxyz.图6-6-8∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

又∵PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.【题后反思】(1)用向量证明平行的方法①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量；②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量.(2)用向量证明垂直的方法①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直；②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直.【变式训练】

如图6-6-9，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1

，和F分别为BC和A1C的中点. (1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.图6-6-9证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以以过E作平行于BB1

的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图D40所示的空间直角坐标系.图D40因为AB＝3，BE＝

，所以AE＝2，

⊙用空间向量解决有关位置关系的探索性问题

[例4]如图6-6-10，正方形

ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求证：AC⊥BF； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面的值；若不存PAC⊥平面BCEF？若存在，求出在，请说明理由.图6-6-10

(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.

过点A作AH⊥BC于点H，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.

(2)解：存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.图6-6-11

假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，【题后反思】解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.

(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；或直接利用向量运算.【高分训练】(2021年泰安市一模)如图6-6-12，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2

，E，G分别为PC，PA的中点. (1)求证：平面BCG⊥平面PAC； (2)在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论.

图6-6-12(1)证明：∵PB⊥平面