赤峰市宁城县高三上学期月月考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10月月考数学试卷（理科)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x｜0≤x≤6｝,集合B={x|x2+2x﹣8≤0｝,则A∩B=（）A．［0,4］ B．［﹣2,6] C．[0，2］ D．［﹣4,6]2．i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i,则复数z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+x C． D．y=﹣log2x4．命题“∀x∈R，都有｜sinx｜＜1”的否定是(）A．∀x∈R，都有｜sinx｜＞1 B．∀x∈R,都有|sinx｜≥1C．∃x∈R,使｜sinx｜＞1 D．∃x∈R，使｜sinx｜≥15．某年级有900名学生，随机编号为001，002,…，900，现用系统抽样方法，从中抽出150人，若015号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．036 B．081 C．136 D．7386．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．7．设向量,满足=(1，2），=﹣5，在方向上的投影是（）A． B． C．﹣ D．﹣8．如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（实线)，由于目前本线路亏损,公司有关人员提出两种扭亏为盈的方案（虚线)，这两种方案分别是（）A．方案①降低成本，票价不变,方案②提高票价而成本不变；B．方案①提高票价而成本不变，方案②降低成本，票价不变;C．方案①降低成本，票价提高，方案②提高票价而成本不变;D．方案①提高成本，票价不变，方案②降低票价且成本降低9．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f（x）=cosωx﹣sinωx（ω＞0)在（﹣，）上单调递减，则ω的取值不可能为（）A． B． C． D．11．在某次物理实验中,得到一组不全相等的数据x1,x2，x3，…，xn,若a是这组数据的算术平均数，则a满足（）A．（xi﹣a）最小 B．|xi﹣a|最小C．（xi﹣a)2最小 D．|xi﹣a|最小12．设定义在R上的函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x)=2，若函数g(x）=与f（x)图象的交点为(x1，y1），(x2，y2）,…，（xn，yn）,则（xi+yi）=（)A．n B．2n C．3n D．4n二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．二项式展开式中的常数项为．（用数字作答)14．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．15．已知点P在圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上，点Q在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是．16．在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AB=CD=2,BC=3，AD=1，则四边形ABCD的面积为．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列｛an}的前n项和Sn=，n∈N＊（Ⅰ）求数列{an｝的通项公式;（Ⅱ）设bn=4，求证：+。。+＜．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，点D是SC的中点，且平面ABD⊥平面SAC(Ⅰ）求证：AB⊥平面SAC（Ⅱ）若SA=2AB=3AC，求二面角S﹣BD﹣A的余弦值．19．已知篮球比赛中,得分规则如下：3分线外侧投入可得3分,踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮,且每次投篮为相互独立事件．（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率;（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．20．如图，过椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，｜AF|=+1．（1）求椭圆E的方程;(2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C,D两点，求四边形ACBD面积S的最大值．21．已知函数f(x）=ex﹣ax(a为常数),f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）讨论f（x)的单调性；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（lna+x)＞f(lna﹣x）；（Ⅲ）已知f（x)有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：．［选修4-4：坐系与参数方程]22．直线l：（t为参数),圆C：ρ=2(极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同)．（1）求圆心C到直线l的距离；（2）若直线l被圆C解得的弦长为，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|（I)若不等式f（x）≤a的解集为(﹣∞，］．求a的值;（II）若∃x∈R．使f（x）＜m2﹣4m,求m的取值范围．

2016—2017学年内蒙古赤峰市宁城县高三(上）10月月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A=｛x｜0≤x≤6｝，集合B={x｜x2+2x﹣8≤0｝,则A∩B=(）A．［0，4] B．［﹣2，6］ C．［0，2] D．［﹣4，6]【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解:由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）≤0，解得:﹣4≤x≤2，即B=[﹣4,2］，∵A=［0，6］，∴A∩B=［0,2］，故选：C．2．i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得．【解答】解：由zi=﹣1+i，得,∴，故选:A．3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+x C． D．y=﹣log2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义，奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性，以及一次函数和y=x3的单调性便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且(﹣x)3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为奇函数;y=x3和y=x在R上都是增函数；∴y=x3+x在R上是增函数,∴该选项正确;C．反比例函数在定义域上没有单调性,∴该选项错误；D．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．命题“∀x∈R,都有|sinx|＜1”的否定是(）A．∀x∈R,都有|sinx｜＞1 B．∀x∈R,都有|sinx｜≥1C．∃x∈R，使|sinx|＞1 D．∃x∈R,使｜sinx|≥1【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，|sinx|＜1的否定是:∃x∈R，｜sinx|≥1．故选：D5．某年级有900名学生，随机编号为001，002，…，900，现用系统抽样方法，从中抽出150人，若015号被抽到了，则下列编号也被抽到的是()A．036 B．081 C．136 D．738【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为900÷150=6，因为015号被抽到了，081=015+6×11,所以081也被抽到．故选：B．6．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（)A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解:∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b,c=a，∴e===．故选D．7．设向量，满足=（1,2），=﹣5，在方向上的投影是（)A． B． C．﹣ D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知直接结合投影的概念得答案．【解答】解：∵=（1，2),=﹣5,∴在方向上的投影＜＞=．故选:C．8．如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（实线），由于目前本线路亏损，公司有关人员提出两种扭亏为盈的方案（虚线），这两种方案分别是（)A．方案①降低成本，票价不变,方案②提高票价而成本不变;B．方案①提高票价而成本不变，方案②降低成本，票价不变；C．方案①降低成本,票价提高，方案②提高票价而成本不变；D．方案①提高成本，票价不变，方案②降低票价且成本降低【考点】函数的图象．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况,再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图知，方案①:两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了,即说明了此建议是降低成本而保持票价不变;由图看出，方案②:当乘客量为0时,支出不变，但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故选：B．9．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2,2＜x≤5,x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．【解答】解：当x≤2时，由x2=x得:x=0，1满足条件；当2＜x≤5时,由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时,由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．10．已知函数f（x）=cosωx﹣sinωx（ω＞0）在(﹣，)上单调递减,则ω的取值不可能为(）A． B． C． D．【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（x）的减区间，结合条件可得，﹣≤﹣，且≥，由此求得ω的范围，从而得出结论．【解答】解:∵函数f（x）=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+)(ω＞0）在（﹣,）上单调递减，∴2kπ≤ωx+＜≤2kπ+π,求得﹣+≤x≤+（k∈Z）．∵f（x）在（﹣，）上单调递减，∴﹣≤﹣，且≥,求得0＜ω≤，故选：D．11．在某次物理实验中，得到一组不全相等的数据x1，x2，x3,…，xn,若a是这组数据的算术平均数,则a满足(）A．(xi﹣a)最小 B．|xi﹣a|最小C．（xi﹣a）2最小 D．｜xi﹣a|最小【考点】基本不等式．【分析】由加权平均数性质可知（x1+x2+x3+…+xn）×=，即可判断．【解答】解：根据题意,由加权平均数性质可知：加权平均数表示“平均水平”,即（x1+x2+x3+…+xn）×=．要使（xi﹣a）2最小,即a=xi，当xi等于加权平均数,即xi=xi时（xi﹣a）2的值最小．故选:C12．设定义在R上的函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=2,若函数g（x)=与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2）,…，(xn，yn），则（xi+yi）=（)A．n B．2n C．3n D．4n【考点】抽象函数及其应用．【分析】判断两个函数的对称中心，画出函数的草图，利用函数的对称性求解即可．【解答】解:∵∀x∈R，有f（2﹣x)+f（x）=2,令x1+x2=2，可得x2=2﹣x1，可得f(x1)+f(x2）=2，函数的对称中心（1，1）．函数g(x）==1+，函数的对称中心（1，1），函数g(x)=与f(x）图象的交点为（x1,y1)，（x2,y2）,…,（xn,yn）,交点的坐标关于（1，1）对称，则（xi+yi)==2n．故选：B．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．二项式展开式中的常数项为﹣540．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】由Tr+1=•(3x）6﹣r•（﹣x﹣1）r可得x的系数为0时，r=3，从而可得二项式展开式中的常数项．【解答】解：∵由Tr+1=•（3x）6﹣r•（﹣x﹣1)r=•36﹣r•(﹣1）r•x6﹣2r,∴当6﹣2r=0时得r=3,∴二项式展开式中的常数项为×33×（﹣1)=﹣540．故答案为：﹣540．14．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为8π+2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体:上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体:上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的表面积S=+π×1×3+π×1×2+π×12+2×1=8π+2，故答案为8π+2．15．已知点P在圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上,点Q在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】化简x2+y2﹣2x+4y+1=0为(x﹣1）2+（y+2）2=4，从而作图，利用数形结合的思想方法求解．【解答】解：∵x2+y2﹣2x+4y+1=0，∴（x﹣1)2+(y+2）2=4，由题意作图如下，，结合图象可得，Q（2，0）当CPQ共线，如上图时，有最小值;|PQ｜=｜CQ｜﹣|CP｜=﹣2=﹣2，故答案为:﹣2．16．在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AB=CD=2，BC=3，AD=1，则四边形ABCD的面积为2．【考点】余弦定理的应用;三角形的面积公式．【分析】连结BD，根据余弦定理列出方程解出cosA（或cosC），进而给出sinA，sinC，代入面积公式即可．【解答】解：连结BD，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA，在△BCD中,BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC．∴5﹣4cosA=13﹣12cosC,∵A+C=180°,∴cosA=﹣cosC．∴cosA=﹣．∴sinA=sinC=．∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=AB×AD×sinA+BC×CD×sinC=2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列｛an｝的前n项和Sn=,n∈N*（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ）设bn=4，求证：+。.+＜．【考点】数列的求和;数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）当n=1时,a1=S1．当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出数列{an｝的通项公式，(Ⅱ）bn=4=2n+1，根据等比数列的求和公式和放缩法即可证明．【解答】解：（Ⅰ)当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=，当n=1时,上式也成立，∴an═，（Ⅱ）证明：bn=4=2n+1,∴=，∴+。.+=++…+==（1﹣)＜．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC,点D是SC的中点，且平面ABD⊥平面SAC(Ⅰ）求证:AB⊥平面SAC（Ⅱ）若SA=2AB=3AC，求二面角S﹣BD﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ)在平面SAC中，过点S作SH⊥AD，垂足为H，由面面垂直的性质可得AB⊥SH，再由SA⊥平面ABC,得AB⊥SA，结合线面垂直的判定可得AB⊥平面SAC;（Ⅱ)不妨设AC=2，AB=3，AS=6，由（Ⅰ）知，AB⊥平面SAC，得AB⊥AC，分别以AB、AC、AS所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系．求出两个平面平面ABD与平面SBD的一个法向量，由法向量所成角的余弦值可得二面角S﹣BD﹣A的余弦值．【解答】(Ⅰ）证明:如图，在平面SAC中，过点S作SH⊥AD，垂足为H,∵平面ABD⊥平面SAC，平面ABD∩平面SAC=AD，∴SH⊥平面ABD，∴AB⊥SH．又SA⊥平面ABC,∴AB⊥SA．∵SA∩SH=S，∴AB⊥平面SAC；(Ⅱ）解：不妨设AC=2,AB=3，AS=6，由（Ⅰ）知，AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC，分别以AB、AC、AS所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系．则有A(0，0,0)，B(3,0,0），C（0，2，0）,S（0,0，6）,D(0，1，3）．设平面ABD的一个法向量，则，取z1=1，得．同理可得平面SBD的一个法向量．∴cos＜＞==．∴二面角S﹣BD﹣A的余弦值为﹣．19．已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．（1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A)=0。2，踩线及3分线内侧投入的概率P(B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0。5,由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率．(2）由已知得ξ的可能取值为0,2，3，4,5，6，分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，踩线及3分线内侧投入的概率P(B）=0。3,不能入篮的概率P（C)=0。5，∴该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率：p==0.32．（2）由已知得ξ的可能取值为0，2，3,4，5，6，P(ξ=0）=0.5×0.5=0。25，P（ξ=2）==0。3,P（ξ=3）=，P(ξ=4)==0。09,P（ξ=5）==0。12,P（ξ=6）=0。2×0。2=0.04，∴ξ的分布列为：ξ023456P0。250。30。20。090.120.04Eξ=0×0。25+2×0.3+3×0.2+4×0。09+5×0.12+6×0。04=2.4．20．如图，过椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF｜=+1．(1）求椭圆E的方程；（2)过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C,D两点，求四边形ACBD面积S的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得P（﹣c，），求出kOP，kAB，又AB∥OP，即可得到b=c,a=c,由已知｜AF｜=a+c=+1，求得a，b，则椭圆E的方程可求;（2）由题意可设CD：y=kx，设C（x1，y1)，D（x2,y2），到AB的距离分别为d1，d2,将y=kx代入椭圆方程可得x1，x2，进一步求出d1,d2，则四边形ACBD的面积S取得最大值可求．【解答】解：（1）由题意可得P（﹣c，），∴kOP=﹣，kAB=﹣．由AB∥OP，∴﹣=﹣，解得b=c,a=c，由｜AF｜=a+c=+1得b=c=1，a=，故椭圆E的方程为+y2=1．（2)由题意可设CD：y=kx,设C（x1，y1），D（x2，y2)，到AB的距离分别为d1，d2,将y=kx代入+y2=1，得x2=，则x1=，x2=﹣．由A（，0）,B（0，1)得｜AB|=,且AB:x+y﹣=0，d1=，d2=﹣，S=｜AB|（d1+d2）=［（x1﹣x2）+(y1﹣y2)]=(1+k）(x1﹣x2)=，S2=2（1+)，∵1+2k2≥2k，当且仅当2k2=1时取等号，∴当k=时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．21．已知函数f（x）=ex﹣ax(a为常数），f′（x)是f（x)的导函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性;（Ⅱ)当x＞0时，求证：f（lna+x）＞f(lna﹣x）;（Ⅲ）已知f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（Ⅰ)先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调性，（Ⅱ）（x）=f（lna+x）﹣f(lna﹣x），求导，根据函数的单调性即可证明，（Ⅲ）由(I）知，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，设A（x1,0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜lna＜x2．由（II）得f（2lna﹣x1）=f（lna+lna﹣x1)＞f(x1）=0,再利用函数的单调性即可证明．【解答】证明:（Ⅰ）∵f′(x）=ex﹣a．当a≤0时，则f′（x)=ex﹣a＞0，即f（x）在R上是增函数，当a＞0时，由f′（x）=ex﹣a=0，得x0=lna．当x∈(﹣∞,x0）时，f′(x）＜0；当x∈（x0,+∞）时，f′（x)＞0．即f（x）在（﹣∞，lna）上是减函数,在（lna，+∞)上是增函数,（Ⅱ）证明：设g（x)=f（lna+x）﹣f(lna﹣x)（x＞0）=[elna+x﹣a(lna+x）］﹣[elna﹣x﹣a（lna﹣x）]=a（ex﹣e﹣x﹣2x)，∴g′（x)=a（ex+ex﹣2）≥2a﹣2a=0，当且仅当x=0时等号成立,但x＞0,∴g′（x）＞0，即g（x)在（0，+∞）上是增函数,所以g（x）