第4章 电力系统分析方法及应用1

4电力系统分析方法及应用12023/9/2824.1概述4.2灵敏度分析法4.3最优潮流算法4.4静态等值4.5小结

本章内容4.1概述

在电力系统稳定运行情况的研究中，除上一章介绍的潮流计算以外，还有一些经常使用的分析方法，广泛应用于电力系统稳态分析、运行和控制。灵敏度分析是稳态潮流分析的一种快速算法，它用灵敏度来反映潮流变量之间的局部线性关系；最优潮流问题是在满足特定的系统运行和安全约束条件下，通过调整系统中控制变量，寻求系统最优的稳定运行状态，从而实现最佳的预期目标。Ward和REI两种静态等值方法是电力系统最常用的两种等值方法，对于大型互联系统，通常采用这两种方法来进行简化等值，从而便于研究与分析系统。本章将介绍灵敏度分析、最优潮流和电力系统静态等值三种最为常用的分析方法。2023/9/2844.2灵敏度分析法潮流分析中，有时不仅需要求得潮流解，而且要分析某些变量发生变化时，会引起其他变量发生多大的变化，需要进行潮流灵敏度分析例如：为了调整某些中枢点电压，需要利用可控变量与被控变量之间的灵敏度系数来研究哪些控制量改变多少才能使被控制量改变所需要的值。考察某些发电机有功功率变化引起支路有功功率潮流的变化，或者考察某条支路开断，该支路上的潮流在网络中其他支路上是如何转移的——灵敏度分析或分布因子2023/9/285灵敏度分析基本方法控制变量u发生改变，通过灵敏度系数快速求得状态变量x和依从变量y的变化量2023/9/286灵敏度分析基本方法准稳态灵敏度：将控制变量的该变量区分为初始改变量和最终改变量；再根据系统的具体特点和控制变量的物理特性，认为只有最终改变量才会作用于新的稳态运行点2023/9/287潮流灵敏度矩阵2023/9/288潮流灵敏度矩阵2023/9/289潮流灵敏度矩阵2023/9/2810潮流灵敏度矩阵2023/9/2811潮流灵敏度矩阵2023/9/2812Y=2023/9/28132023/9/2814分布因子2023/9/2815分布因子2023/9/2816l开断后支路k的有功：矩阵求逆引理分布因子2023/9/2817支路k、l之间的潮流分布因子，描述了支路l开断后，其有功功率在支路k上的分配分布因子2023/9/28182.双支路开断的分布因子分布因子2023/9/2819分布因子2023/9/2820分布因子2023/9/2821分布因子2023/9/2822分布因子2023/9/2823分布因子2023/9/2824分布因子2023/9/28252023/9/28264.3最优潮流算法基本潮流：对一定的扰动变量p（负荷情况），根据给定的控制变量u（发电机有功、无功、节点电压模值等），求出相应的状态变量x。一次基本潮流计算，决定了电力系统的一个运行状态。基本潮流计算结果主要满足了变量间等式约束条件，即等式方程组的求解。

回顾：基本潮流f(x，u，p)=0对某一种负荷情况，理论上存在众多的、技术上都能满足要求的可行潮流解。这里每一个可行潮流解，对应于系统的一个特定的运行方式，具有相应总体的经济上或技术上的性能指标（如系统总燃料耗量、总网损等）。

为了优化系统的运行，需要从所有可行潮流解中挑选出上述性能指标最佳的一个方案，这就是最优潮流问题。

最优潮流2023/9/2827最优潮流：就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，所找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达到最优时的潮流分布。即最优化问题，或者规划问题。最优潮流的数学模型2023/9/28281.变量1）控制变量u，亦称独立变量，是系统中的可调变量。包括：发电机有功功率和机端电压；调相机和其他可调无功电源的控制电压；可投切并联电容器、电抗器等的电纳；有载调压变压器的变比；移相器的移相角；允许切除的负荷的有功无功功率。2）状态变量x。潮流计算获得。包括：负荷母线的电压幅值和相角；发电机母线的电压相角和发电机的无功功率输出；系统的有功、无功网损等。变量划分不唯一。2023/9/2829视要解决的问题不同，最优潮流经济目标函数也不同。一般有以下几种：1）发电机运行费用（或发电煤耗）最小：2）网损最小：当考虑负荷的电压静态特性时，应累加所有支路上的有功损耗作为目标函数2、目标函数2023/9/2830可调无功电源出力上下限约束；带负荷调压变压器变比K调整范围约束；节点电压模值上下限约束；输电线路或变压器元件中通过的最大电流或视在功率约束；线路通过的最大有功潮流或无功潮流约束线路两端节点电压相角差约束，等等。

统一表示为3、不等式约束条件电力系统运行：如经济调度、机组组合、无功优化等电力系统规划：如电源规划、电网选址规划等电力系统控制：如系统受扰动后的安全稳定优化控制等电力市场：如节点边际电价、考虑电网约束的集中市场出清、阻塞削减等工程应用1、最优潮流算法分类最优迭代的过程中不断对z进行修正，使目标函数逐渐减小，而且还应满足约束条件。最优潮流的研究重点集中在如何确定z的修正量和如何处理约束条件这两个问题上，尤其是如何处理不等式约束更为重要。统一用变量Z表示最优潮流的算法有约束非线性规划问题，常规求解方法的基本思想是利用拉格朗日乘子法或罚函数法建立增广目标函数，使有约束非线性规划问题先转化为无约束非线性规划问题，然后利用不同的数学优化方法求解。数学描述：最优潮流分类1）按处理约束的方法分类罚函数类Kuhn-Tucker罚函数类Kuhn-Tucker类2）按修正的变量空间分类直接类（同时修正全空间变量z，包括u和x）简化类（仅修正控制变量u，x通过求解约束方程得到）3）按变量修正的方向分类梯度类算法拟牛顿法牛顿法

罚函数类：把等式和不等式约束都用罚函数引入目标函数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题。再用拉格朗日乘子将等式约束引入目标函数，构造拉格朗日函数L满足最优解的条件是满足K-T条件罚函数即可选择外点罚函数，也可选择内点罚函数。

KT罚函数类：只将越界的不等式约束通过罚函数引入目标函数，保留等数约束方程。KT类：完全不用罚函数。若迭代过程中某不等式越界，则将其固定在限制值上，然后视为等式约束处理。用乘子将违限的不等式约束引入目标函数，有求最优解应满足K-T条件（1）仅有等式约束时的算法对于仅有等式约束条件的最优潮流算法，问题表示为（16）（17）式中，λ为由拉格朗日乘子所构成的向量。这样，就把有约束最优化问题转化为无约束最优化问题

应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束g(u,x)＝0中方程式数同样多的拉格朗日乘子λ，构成拉格朗日函数为:

2、基于简化梯度法的最优潮流1）采用经典的KKT函数求极值的方法，是将L分别对变量x,u及λ求导并令其等于零，即得（18）（19）（20）最优潮流的解必须同时满足这三个条件。直接联立求解这三个极值条件方程组，就可以求得此非线性规划问题的最优解。2）采用一种迭代下降算法，其基本思想是从一个初始点开始，确定一个搜索方向，沿着这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后由这新的点开始，再重复进行上述步骤，直到满足一定的收敛判据为止。无约束优化问题求解：迭代计算步骤（1）令迭代计数k＝0；（2）假定一组控制变量u(0)；（3）由(20)式，通过潮流计算由已知的u求得相应的x(k)；（4）注意到

就是J，利用求解潮流时已求得的潮流解点的J及其LU

三角因子矩阵，求出（5）将已求得的u、x及λ代入（19），则有（6）若

，说明这组解是最优解，计算结束。否则，转下步（7）若

，必须按照能使目标函数下降的方向对u进行修正

u(k+1)＝u(k)＋∆u(k)

然后回到步骤3，重复上述过程，直到

为止。（21）（22）（二）不等式约束条件的处理分为两大类第一类是关于控制变量u的不等式约束；第二类是关于状态变量x以及可表示为u和x的函数的不等式约束条件，这一类约束可通称为函数不等式约束。

（2）含不等式约束时的算法1）控制变量不等式约束处理控制变量按这种处理方法处理以后，按照库恩－图克定理，在最优点处简化梯度的第i个分量应有：上式中，后两式理解：如果对ui没有上界或下界的限制而允许继续增大或减小时，目标函数能进一步减小。（29）按照式u(k+1)＝u(k)＋∆u(k)对控制变量进行修正，如果得到的∆u(k)使得任一个ui(k＋1)超过其限值uimax或uimin时，则该越界的控制变量被强制在相应的界上。2）函数不等式约束函数不等式约束h（u,x）≤0不能采用和控制变量不等式约束同样的处理方法，采用罚函数法来处理。罚函数法的基本思路是将约束条件引入原来的目标函数而形成一个新的函数，将原来有约束最优化问题的求解转化成一系列无约束最优化的求解。（三）简化梯度最优潮流算法及原理框图（32）在采用罚函数处理不等式约束后，原来以表示的仅计及等式约束的拉格朗日函数中的f(u,x)将用惩罚函数来代替，得（3）同时计及等式及不等式约束的算法极值条件式为（35）相应的l变成：（33）（34）简化梯度Vf为：

简化梯度最优潮流算法原理框图(四)简化梯度最优潮流算法的分析优点：算法是建立在牛顿法潮流计算的基础上，利用已有极坐标形式的牛顿法潮流计算程序加以一定的扩充。这种算法原理简单，程序设计比较简便。缺点:因为采用梯度法或最速下降法作为求最优点的搜索方法，最速下降法前后两次迭代的搜索方向总是互相垂直的，因此迭代点在向最优点接近的过程中，走的是曲折的路，即通称的锯齿现象。收敛速度很慢。罚因子数值的选择是否适当对算法的收敛速度影响很大。3、基于内点法的最优潮流1984年，Kamarkar提出了一种具有多项式时间复杂性的线性规划内点算法。内点法从初始内点出发，沿着中心路径方向或仿射方向在可行域内部直接走向最优解。对于约束条件和变量数目较多的大规模线性规划问题，内点法的多项式时间复杂性使其收敛性和计算速度均优于单纯型法。引入非负的松弛变量，最优化问题可写成满足上述约束条件的点称为它的可行内点。引入对数障碍函数，构造增广拉格朗日函数（1）满足KT最优性条件，可得如下算式其中当r充分小时，上式中求得的解z*(r)与最优化问题(1)的解z*充分接近。对应于式(1)的不等式约束的互补松弛条件被隐含在参数r趋于零的条件里，显式表示成（2）式(2)改写成用牛顿法求解：其中为第k次迭代的拉格朗日函数的海森矩阵；为第k次迭代中等式约束的雅可比矩阵；（3）由式(3)的解可得新的近似解d1和d2分别为原变量和对偶变量的修正步长，2023/9/28504.4静态等值网络等值使研究的网络规模大大减小，可以提高计算速度，也可以突出重点，以便把注意力集中在需要详细分析的部分网络上。互联系统可用划分成研究系统ST和外部系统E

两部分，外部系统E即为拟被等值部分。常见的划分方法有以下两种。互联系统的划分概述2023/9/2851划分方法一：某些文献把研究系统分成边界系统B和内部系统I。WARD等值划分方法二：把内部系统称为研究系统，而边界母线归并在外部系统中。REI等值2023/9/2852静态等值问题的目标给出：1）互联系统PS的全网结构模型和其中的感兴趣区——内部系统I和边界母线B2）PS的全网潮流解（在实时条件下，可以由状态估计器的输出提供{I}+{B}子集的实时潮流解。要求找到一个新的等值模型（等值网络）PE，使得：当感兴趣区内运行条件发生变化（如出现预想事故时），由PE求得的分析结果，与由PS求得的有关结果相接近。2023/9/2853静态等值要满足的要求由边界节点望出去的外部等值，必须相当准确可靠地表示拟等值系统的物理特征，即能够较准确的给出它对内部系统变化时的响应；等值应足够灵活地处理系统现状的改变，并能适用于各种不同的应用目的；化简成等值的计算方法应与后续问题的解算方法相协调；尽可能少得化简计算量：为此要求计算简便，并维持系统的稀疏性，使化简网有尽可能少得节点数；在数学上有良好的计算性能，即能保证能获得可行的数学解；要求有限数量的外部信息2023/9/2854静态等值算法以拓扑类算法为主：Ward型等值法—基于Norton定理；REI型等值法—基于节点分析；2023/9/2855互联系统可用下列一组线性方程组表示将电网节点分为三类：以子集I表示内部系统节点集合，子集B为边界节点集合，子集E为外部系统节点集合。式（1）可写成（1）（2）Ward等值©版权所有消去式（2）中的UE，得消去外部节点后YBB受到修正，亦即边界节点的自导纳与互导纳改变。或写成（3）（4）外部系统的节点注入电流IE通过分配矩阵D被分配到边界节点上，分配矩阵D为©版权所有在实际应用中，需要注入功率来代替注入电流，即则（3）可写成（5）若E定义为©版权所有则式(5)可写成（6）基本情况下外部系统注入功率分配到边界节点上的注入功率增量如果系统是在某一基本运行方式下进行等值，则外部系统注入功率分配到边界节点上的注入功率增量值为©版权所有（7）等值是不严格的：由于外部系统注入功率在边界节点上的分配与U*B有关。等值后的边界注入功率式（6）与运行方式有关。在非基本运行方式下，由于外部节点电压UE不同于基本情况，而（7）却引入了基本情况下的UE

，也有误差。©版权所有（1）选取一种有代表性的基本运行方式，通过潮流计算确定全网络各节点的复电压。（2）选取内部系统的范围和确定边界节点，然后对下列矩阵进行高斯消元。（3）根据式（7）计算出分配到边界节点上的注入功率增量，并将其加到边界节点原有注入上，得到边界节点的等值注入PiEQ、QiEQ。形成Ward等值的步骤YBB–YBEYEE-1YEB2023/9/2861

式中：gij+jbij为与边界节点i相连的联络线或等值支路导纳。

θij0表示边界节点i和相邻节点j之间的电压相角差。

gio+jbio为支路i侧的对地支路导纳；jωi表示节点j与i相邻。在已知基本运行方式下的内部与边界节点i电压模值与相角后，则PiEQ,QiEQ的另外表达方式为:优点：在实时情况下，外部系统运行状态变化不知，而内部和边界节点复电压和联络线潮流，可以随时由状态估计器提供。

边界节点等值注入PiEQ、QiEQ

另一形成方法2023/9/28622023/9/2863常规WARD等值法的缺陷：1）等值网PE可能有一个解答，但求解方法不能使它收敛；2）等值网PE可能收敛到一个物理上不合理的解答；3）等值网PE可能收敛到所需的解答，但迭代次数要多于未化简网PS；4）等值网PE解答的准确度可能是难以接受的。（主要在无功潮流方面）2023/9/2864WARD等值实用化Ward节点注入法1)并联支路的处理外部系统的并联支路有集聚于边界节点的趋势，且在某些情况大有可能放大化简前：j0.8化简后：j1.11增加约40%2023/9/2865等值的并联支路（大都是电容性），可能产生数量上极为可观的无功功率。边界节点电压的微小变化，将导致并联支路无功功率的显著变化，这就给出了完全错误的并联支路响应模型。实际上，外部系统的某些节点电压，通常受到邻近的PV节点的支援，边界节点电压的改变，对这些节点电压的影响很小或毫无影响。例如，上图中节点1为PV节点，则边界节点电压变化导致的无功功率变化远小于在等值过程中最好一点也不表示外部系统的并联支路。而这些并联支路的作用可以在边界的等值注入中，与外部系统的运行状态一并考虑。对策：2023/9/28662)保留外部系统中的部分PV节点在常规Ward等值法中，外部系统的PV节点和其他节点一起消去。因此，当内部系统出现事故后，就无从由这些电压不变的PV节点向内部系统提供适当的无功功率支援——无功潮流准确度差的原因之一。对策：保留哪些无功出力裕度较大，且与内部系统电气距离小的PV节点。保留原则：1）保留具有最大无功功率发生能力的发电机组；2）消去其余的所有发电机和所有负荷节点；3）保留的发电机应是外部系统中发电机总数的一小部分，因而它们应与内部系统有较近的电气距离。等值边界注入联络线功率由保留PV节点向边界节点提供的功率来自其它边界节点的功率和保留外部系统一个PV节点时，附加于边界节点上的Ward节点注入等值。2023/9/282023/9/28683)边界功率匹配1）在规划设计的情况下，由于可以获得全网的基本潮流解，所以节点k的电压为已知值。可将节点k看成是一个边界节点。2）在在线应用的情况下，必须进行“在线边界匹配”。已知可求解潮流求解【1】2023/9/2869求解Ward-PV等值的步骤（1）确定拟消去的节点子集，其中不包括外部系统中拟于保留的PV节点，形成YEQ，其中不计入外部系统的对地支路；（2）用Gauss消去法消去上式子集的拟消节点，求出各边界节点间的等值支路值和边界节点与保留PV节点间的支路值；（3）在离线情况下，利用全网潮流解获得各保留PV节点的节点电压幅值与角度，借助于支路潮流公式算出，求出边界节点的等值注入；在在线情况下，利用在线边界功率匹配法求出。对图所示的电力系统，各条支路的导纳和节点注入电流在图上标出。若将系统节点划分为内部系统节点集I＝{5}，边界系统节点集B＝{3，4}，外部系统节点集E＝{1,2}，对该系统进行WARD等值。解：首先写出网络方程：Ward等值举例2023/9/28则有2023/9/28WARD等值算例求边界等值导纳矩阵：2023/9/28得到边界等值导纳矩阵：求边界等值注入电流：等值后网络方程如下：2023/9/28REI(RadialEquivalentIndependent)等值法的基本思想：把电网的节点分为两组，即要保留的节点与要消去的节点。首先将要消去节点中有源节点按其性质的相关归并为若干组，每组有源节点用一个虚拟的等价有源节点来代替，它通过一个无损耗的虚拟网络（REI网络）与这些有源节点相联。在此虚拟有源节点上的有功、无功注入功率是该组有源节点有功与无功功率的代数和。在接入REI网络与虚拟等价节点后，原来的有源节点就变成了无源节点。然后将所有要消去的无源节点用常规的方法消去。REI等值2023/9/28REI网简化过程2023/9/28

第一步：将外部系统中具有具有相关性质（如同为电源或负荷节点，PV或PQ节点，电气距离相近等）的有源节点归并为若干组。图（a）仅代表一个组的情况。第二步：用一个虚拟的有源节点R代替原来的若干有源节点。并通过一个REI网络接到原有的有源节点上，如图（b）所示，这里为了使得注入到原来各有源节点上的功率仍能保持原有的值，REI网络的有功、无功损耗必须为零，即REI网络应该是一个无损网。为此在REI网络中接有yR以抵消在y1~yn中产生的损耗。REI网络简化过程2023/9/28对要消去的每个有源节点，其注入电流关系式为

式中：Uk*为基本潮流解的节点复电压。于是在构造REI网络的参数时应保持原始网络各有源节点的注入不变，可得为了满足无网损的条件，则如何确定REI网络中的各个导纳yn的数值2023/9/28如何确定REI网络中的各个导纳yn的数值上式中的UG是任意的,通常取为0。于是REI网络的构造就变成了唯一的。此时而2023/9/28第三步，是消去那些不感兴趣的节点。假定扩展了REI网络后的网络导纳矩阵是Y，以下标E表示要消去的节点集，于是Y可写成消去E中所有节点得到由I中节点所组成的简化网络，如图（c）所示。经过外部等值后的节点导纳矩阵为YII－YIEYEE-1YEI由上面的式11、12可见，REI网络的参数和网络的运行参数UK有关。因此，只有在基本运行方式下才满足和原网络相互等值的关系。当系统的运行情况偏离于基本运行方式时，如果仍保持REI网络参数不变，就会出现误差。2023/9/28对（a）图所示的网络，已知S1=2＋j1，S2=3＋j2，S3=1＋j0.5，U1=1.05◦，U2=1.0110◦，U3=0.982◦，求REI等值网络参数。解：求虚拟节点处的电压：REI参数计算例子2023/9/28求联结虚拟节点m的支路导纳：求和节点1、2、3相联的支路的导纳：可见支路ym是正电阻正电感性支路，而另外三条支路是负电阻和电容性支路。2023/9/28当节点k=1