七年级数学上册考点02 代数式的值与探究规律（原卷版）

/考点02代数式的值与探究规律知识框架基础知识点：知识点2-1.数字类规律=1\*GB3①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或=2\*GB3②数字规律：数字规律需要视题目而确定eq\o\ac(○,3)字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式1．（2021·福建省漳州第一中学七年级开学考试）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________．2．（2021·重庆市渝北区实验中学校）一组按规律排列的式子：则第2020个式子是（）A． B． C． D．3．（2021·山东九年级三模）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（）A．1275 B．1326 C．1378 D．14314．（2021·江苏镇江市·）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B35．（2021·浙江七年级期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．知识点2-2.算式类规律算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。1．（2021·镇江市第三中学七年级月考）阅读解答：（1）填空：_____；_____；_____……（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式_________；（3）根据上述规律，计算：．2．（2021·福建漳州市·漳州三中）观察一组等式：，，，，试猜想：______．3．（2021·广州白云广雅实验学校七年级期中）已知：，，，，……，若符合前面式子的规律，则的值为_____．4．（2021·安徽七年级期末）观察以下等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：．……按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．5．（2021·东营市东营区实验中学）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．（2）直接写出的展开式．（3）利用上面的规律计算：．6．（2021·安徽七年级期末）数学上往往是先有猜想，猜想被证明正确后便成为定理．黎曼猜想（也称黎曼假设）是100多年前由德国著名数学家黎曼提出的，它是世界上最重要的数学猜想之一．有大约1000个数学命题，一旦黎曼猜想得到证明，它们就必然成立．黎曼猜想与物理学、密码学也有深刻的联系．黎曼猜想与以下数学式有关：当时，上式就是所有正整数的倒数的和（*）随着n的无限增加，（*）式中的第n项将无限接近于0，那么（*）式的值会比10大吗？会比10000大吗？自然的感觉是“聚沙成塔”、“积少成多”，即设法把很多小小的项累加起来变大．下面是实现这个想法的一种组合法：用这种方法可以判定（*）式中：（1）从第一项1开始，一共________项的和就可以大于3；（2）从第一项1开始，一共________项的和就可以大于6知识点2-3图形类规律通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。1．（2021·北京七年级期末）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第个“100”字样的棋子个数是（）A． B． C． D．2．（2021·北京七年级期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有____个三角形，第n个图案中有____个三角形（用含有n的代数式表示）．3．（2021·江苏七年级期末）在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．4．（2021·重庆巴蜀中学九年级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（）A．34 B．40 C．49 D．595．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．6．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（）A． B． C． D．7．（2021·台湾九年级其他模拟）凯特平时常用底面为矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一边的方式进行横切或纵切，横切都是从模具的左边切割到模具的右边，纵切都是从模具的上边切割到模具的下边用这种方式，可以切出数个大小完全相同的小块蛋糕在切割后，他发现小块蛋糕接触模具的地方外皮比较焦脆，以如图为例，横切2刀，纵切3刀，共计5刀，切出个小块蛋糕，其中侧面有焦脆的小块蛋糕共有10个，所有侧面都不焦脆的小块蛋糕共有2个．请根据上述切割方式，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程：（1）若对一块蛋糕切了4刀，则可切出几个小块蛋糕？请写出任意一种可能的蛋糕块数即可．（2）今凯特根据一场聚餐的需求，打算制作出恰好60个所有侧面都不焦脆的小块蛋糕，为了避免劳累并加快出餐速度，在不超过20刀的情况下，请问凯特需要切几刀，才可以达成需求？请写出所有可能的情形．重难点题型题型1与数（字母）有关的规律探究1．（2021年陕西省西安市高新一中七模试卷）算筹是在珠算发明以前我国独创井且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，示例如图：，则表示的数是（）A．5123 B．9167 C．9176 D．91632．（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，……，第n个单项式是（）A． B． C． D．3．（2021·全国七年级课时练习）观察一列数:根据规律，请你写出第10个数是（）A． B． C． D．4．（2021·云南西双版纳傣族自治州·七年级期末）有一列按一定规律排列的式子：﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，则第n个式子是（）A．（﹣3）nm B．（﹣3）n+1m C．3nm D．﹣3nm5．（2021·陕西中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．-1-610a-4-52-36．（2021·浙江绍兴市·七年级月考）如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份（每一份称为一段弧长），把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”．如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第1次“移位”，这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从1→2为第2次“移位”．若小明从编号为4的点开始，经过2020次“移位”后，他到达编号为（）A．1 B．2 C．4 D．57．（2020·湖南省中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135 B．153 C．170 D．189题型2与有序数对有关的规律探究1．（2021·重庆）如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（）A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．252．（2021·广州市第十六中学七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2021的有序数对是（）A． B． C． D．3．（2020·北京市房山区初一期末）由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：若规定坐标号（m,n）表示第m行从左向右第n个数，则（7，4）所表示的数是_____；（5，8）与（8，5）表示的两数之积是_______；数2012对应的坐标号是_________4．（2021·全国初一课时练习）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2，4；第二组：6，8，10，12；第三组：14，16，18，20，22，24第四组：26，28，30，32，34，36，38，40……则现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到右数），如A10=（2，3），则A2018=（）A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）5．（2020·黑龙江龙凤初三期末）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是__________6．（2020·河南巩义初一期末）如图，在的长方形网格中，动点从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2020次碰到矩形的边时，点的坐标为（）A． B． C． D．题型3与算式有关的规律探究1．（2021·邵阳县教育科学研究室七年级期末）图中的式子是按规律排列的一列等式，按规律写出用含（为自然数）的式子表示的第个等式是（）第1个式子：第2个式子：第3个式子：……第个式子：______……A．B．C．D．2．（2021·北京朝阳区·和平街第一中学八年级月考）观察下列各式：42，93，255，497，648，……（1）依据上述规律，再写出两个具有上述规律的等式；（2）用字母表示上述规律，并证明你的结论．3．（2021·成都嘉祥外国语学校七年级开学考试）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝_____（其中n为正整数）；（2）根据规律计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）＝_____．4．（2021·福建省宁化县教师进修学校七年级月考）“特殊→一般”、“探索→总结→验证”等，是重要的解决问题的思想方法，学习数学中，培养起这种思想方法是很重要的．观察下列几组算式：①，；②，；③，．其中规律可用含字母的一个等式来表示，这个等式是______．5．（2021·抚州市实验学校七年级期中）观察下列各式的规律，回答问题：262=(26+6)×20+62；372=(37+7)×30+72；432=(43+3)×40+32；(1)请根据上述规律填空：682=____________________．(2)我们知道，任何一个两位数(个位上的数字为n，十位上的数字为m)都可以表示为10m+n，根据上述规律填出空：(10m+n)2=___________________．(并用所学知识说明结论的正确性)6．（2021·重庆忠县·八年级期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．7．（2021·浙江）阅读下列材料，解答下面的问题：杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出两项多项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应两项多项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数1、2、1是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数1、3、3、1是杨辉三角中第四行的四个数．根据这个规律，试解决下列问题：（1）试写出下一个展开式：_________________________________．（2）求的展开式．（3）若，求的值．8．（2021·福建八年级期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第7个等式：_____________；（2）写出你猜想的第n个等式（n为正整数），并证明．题型4与图形有关的规律探究（1）一次类 1．（2021·重庆八年级期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，⋯，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（）A．24 B．27 C．30 D．332．（2021·山东淄博市·九年级一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A． B． C． D．3．（2021·湖北九年级三模）如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第9个化合物的分子式为（）

A．C8H16 B．C8H18 C．C9H18 D．C9H204．（2021·云南九年级二模）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“”图案组成的，依此规律，第2021个图案中含有“”图案的个数为（）

A．10106 B．10105 C．11005 D．110065．（2021·青岛西海岸新区实验初级中学九年级模拟）将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；，如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是多少．（1）按图示规律填写下表：图12345正方形个数147____________（2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形；（3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形；（4）按照这种方式剪下去，求第2021个图中有多少个正方形．6．（2021·山东九年级一模）如图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3．（1）填写如表图形标号123正五边形个数__________________三角形个数__________________（2）按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？（3）能否分出2014个三角形？简述你的理由．7．（2021·福建七年级月考）如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．尝试（1）第3次画线后，分割成______个互不重叠的正方形；第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．发现（2）第次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．8．（2021·重庆九龙坡区·八年级期末）如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑦个图形中共有（）个正方形．A．21 B．25 C．29 D．32题型5与图形有关的规律探究（2）二次类 1．（2021·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（）A．52根 B．66根 C．70根 D．72根2．（2021·重庆七年级期末）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中有14个圆，．．．则第8个图形中圆的个数是（）A．52 B．53 C．54 D．553．（2021·重庆市育才中学九年级期末）把小圆圈按如图所示的规律拼图形，其中第①个图形中一共有3个小圆圈，第②个图形中一共有7个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中小圆圈的个数是（）A．53 B．52 C．45 D．444．（2021·黑龙江九年级三模）如图，下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第1个图中一共有4个小圆圈，第2个图中一共有10个小圆圈第3个图中一共有19个小圆圈……按此规律排列下去，第7个图中小圆圈的个数为_________个．5．（2021·江苏中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．6．（2021·重庆西南大学附中七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（）A．55 B．220 C．285 D．3857．（2021·重庆八年级期末）如图所示，各图是用小黑色三角形垒成的“三角形”，图①个中有个小黑色三角形，图②中有个小黑色三角形，图③中有个小黑色三角形，…，按此规律垒下去，则图⑩中的小黑色三角形的个数是（）A． B． C． D．8．（2021·四川省内江市第六中学九年级三模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有___________个小圆．（用含n的代数式表示）题型6与图形有关的规律探究（3）指数类 1．（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．2．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（）A． B． C． D．3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（）A． B． C． D．4．（2021·银川唐徕回民中学九年级一模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示10班学生的识别图案是（）A．B．C．D．5．（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．用此方法，可求得1+2+3+…+20=（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+…+49=；②1+3+5…+（2n+1）=．（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．6．（2021·湖北九年级二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为________．7．（2021·安徽九年级一模）观察与思考：我们知道，，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：

（1）推算：___________；（2）概括：___________；（3）拓展应用：求的值．题型7代数式整体求值解题技巧：整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。1．（2021·河南九年级二模）已知，则的值为（）A．-1 B．1 C．-2 D．22．（2021·苏州市南环实验中学校八年级期中）已知，则，的值为（）A．3 B．5 C．7 D．93．（2021·江苏·七年级期末）已知，则（）A．8 B． C．16 D．4．（2021·长沙市开福区八年级月考）当时，多项式.那么当时，它的值是（）A． B． C． D．5．（2021·江苏七年级期中）若，则多项式的值为______．6．（2021·广东河源市·九年级一模）已知，，的值为___________．7．（2021·湖北七年级期末）历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为__________．8．（2021·湖南七年级期中）已知：，求的值为_________．9．（2021·北京北理工附中七年级期末）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为_________．10．（2021·山西七年级期末）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：x…-2-1012……9753……-11-9-7-5…（初步感知）（1）根据表中信息可知：______；______；（归纳规律）（2）表中的值的变化规律是：的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：______；（问题解决）（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．A．根据表格反应的变化规律，当______时，的值大于的值．B．请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当时，代数式的值为-7．题型8代数式的值与程序框图1．（2021·重庆南开中学七年级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为32的是（）A．，B．，C．，D．，2．（2021·贵州中考真题）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是_____；

3．（2021·重庆一中八年级期末）按照如图所示的运算程序，能使输出y的值为5的是（）A． B． C． D．4．（2021·安徽七年级期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，……，则第2021次输出的结果为__________．5．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，则第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…则第2020次输出的结果为__________．6．（2021·祥云县教育体育局教研室七年级期末）如图所示，这是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为，则第次输出的结果是______．题型9整式中的新定义问题1．（2021·广东省七年级期末）定义：，下面给出这种运算的几个结论：①；②；③若，则；④若，则，正确的结论为（）A．① B．② C．②③ D．②③④2．（2021·河北邯郸市·七年级期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③若，则；④若，则其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*