专题18函数y=Asin(wxφ)的图象和性质与三角函数模型的应用

专题1专题18函数y=Asin(wx+φ)的图象和性质与三角函数模型的应用№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题18函数y=Asin(wx+φ)的图象和性质与三角函数模型的应用命题解读命题预测复习建议函数的图象和性质是高考的热点，高考中多以中档题为主，常常与三角函数式的求值、化简相结合。出题的形式多样，主要考察图形的变换，以及看图，用图的能力，有一定的综合性。预计2024年的函数的图象和性质及三角函数应用，仍然是出题的热点，必有题目考察这方面的知识，因此对于图象的掌握要到位，要学会看图、用图解题。集合复习策略：1.掌握函数的图象和性质，了解参数变化对函数的影响；2.会运用三角函数解决简单的实际问题，会建立三角函数模型。→➊考点精析←函数的图象和性质1．.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),AT=2πf=1T=ωx+φφ2．用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:x-ππ3π2πωx+φ0ππ3π2πy=Asin(ωx+φ)0A0A03.函数y=sinx的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤→➋真题精讲←1.（2023全国甲卷10）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2.（2023全国乙卷10）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.3.（2023全国Ⅰ卷15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.4.（2023全国Ⅱ卷16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．【答案】【解析】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．5.（2023北京卷17）设函数．（1）若，求的值．（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）.（2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.【解析】【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为所以，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，所以的最大值为，最小值为.若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以,所以,,所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即.以下与条件②相同．→➌模拟精练←1．（2023·重庆·统考三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以，因为为偶函数，所以，即，当时，可以推导出函数为偶函数，而函数为偶函数不能推导出，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A2．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到，利用平移变换得到，再根据是函数的一个极值点，即当时，函数取得最值求解.【详解】由，化简得，所以．又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，解得．因为，所以．故选：A．3．（多选）（2023·安徽黄山·统考三模）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（

）A．函数存在一个极值点B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上有两个零点【答案】AC【详解】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则，对于A，，令，则，所以所以，且当时，，当时，所以当，单调递增，在单调递减，所以是函数的一个极值点，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，令，，解得：，令，则，则，所以C正确；对于D，因为，所以，则，故无零点，故D不正确.故选：AC.4．（多选）（2023·河北唐山·统考三模）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（

）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移C．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【答案】BC【详解】函数的图象向右平移个长度单位，得，再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，再向右平移个长度单位，得，即.故选：BC5．（多选）（2023·湖南郴州·统考三模）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称B．在上有且只有5个极值点C．在上单调递增D．的取值范围是【答案】CD【详解】由题设，在上，若，所以在上有5个零点，则，解得，D正确；在上，由上分析知：极值点个数可能为5或6个，B错误；且，故不为0，A错误；在上，则，故递增，即在上递增，C正确.故选：CD6．（2023·江苏·二模）已知函数的最小正周期为，若将其图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于轴对称及得到的值，进而可得函数可能的解析式．【详解】解：由题意知．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，因为其图像关于轴对称，所以．又，所以．即，由诱导公式知，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．7．（2023·江苏南通·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则__________,实数m的取值范围是__________.【答案】/【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，，即，因为，则，若，则，在区间上单调递增，，当，，，且，即，且，；若，则，在区间上单调递增，，当，，，且，即且，故；综上可得，，.故答案为：；8．（2023·江苏南京·统考二模）已知，．(1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；(2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得；（2）由对称性得到，，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解.【详解】（1）因为，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，所以，解得，所以，所以.（2）由，函数的图象关于对称，所以，，所以，，由，，则，又函数在上单调，所以，解得，所以当时.→➍专题训练←的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知，将函数的图象向左平移个单位长度得，所以函数解析式为：故选D.2.已知函数的图像经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图像，可将图像上所有点（）A．先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变B．先向左平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C．先向左平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变【答案】B【解析】因为相邻两个零点的距离为,所以函数的最小正周期,则,又点在函数图像上,所以,解得,,即,又,所以当时,,所以,则将先向左平移个单位可得,再横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,故选：B3.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是()A． B． C． D．【答案】CD【解析】.作出函数的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，易得或满足题意，所以的值可能为区间内的任意实数.所以A,B可能，C,D不可能.故选CD.4．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（

）A．的最小正周期为πB．在区间上单调递增C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【答案】AD【解析】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；令解得，故C选项错误；令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.故选：AD5．已知函数.(1)求的最小正周期及对称轴方程；(2)时，的最大值为，最小值为，求，的值.【解析】（1）∴，则的最小正周期为，∵的对