2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有－项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1.已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（）A.外 B.内 C.上 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据点与圆的位置关系即可进行解答．【详解】解：∵的半径为=，点P到圆心O的距离为d=，d=r，∴点P在上．故选：C．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握：当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内．2.下列方程中，没有实数根的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．【详解】解：A．∵，∴，∴，∴方程解，故本选项不合题意；B．∵，∴，∴此方程没有实数根，故本选项符合题意；C．，∵，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；D．，∵，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．3.20名同学参加某比赛的成绩统计如下表，则成绩的众数和中位数（单位：分）分别为（）成绩/分80859095人数/人2864A.85，85 B.85， C.85，90 D.90，90【答案】B【解析】【分析】利用众数的定义和中位数的定义分别求出解答即可．【详解】解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；在这20个数中，处于中间位置的第10个和第11个数据，∴中位数是这两个数的平均数：，故选B．【点睛】本题考查了众数和中位数的的定义，解决本题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值；中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数或两个数的平均数．4.已知关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值是（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或【答案】A【解析】【分析】将带入，得到一个关于m的方程，求出m的值，再根据一元二次方程的定义，排除不符合题意的m的值。【详解】解：将带入得：，解得：或；∵原方程为一元二次方程，∴，即，∴故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．5.如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为．【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，∴，，∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，∴，∵是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于，∴的度数为，故选D．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键．6.如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，由切线长定理可知，∵是的切线，∴，∵，，，∴∵是的内切圆，∴内切圆的半径，∴，∴，∴的周长．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7.方程解为_____．【答案】【解析】【分析】利用直接开平方法解答即可．【详解】解：方程的解为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握解答的方法是关键．8.已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是______．【答案】相离【解析】【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可得出答案．【详解】解：∵圆心到直线的距离大于半径，∴直线l与相离，故答案为：相离．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．9.某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为x，根据题意可列方程为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，找出等量关系即可列出方程．9月份借阅册数×（1+增长率）=11月份借阅册数．【详解】解：设这两个月借阅图书的月平均增长率为x，根据题意可列方程为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，熟练掌握增长率模型的公式．10.设是一元二次方程的两个根，则______．【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系先求出的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，．11.正六边形内接于的半径为1，则由半径和围成的扇形的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式即可得出结论．【详解】解：∵正六边形内接于，∴，∴由半径径和围成的扇形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键．12.若一组数据的平均数是a，另一组数据的平均数是b，则a______b（填写“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根据的平均数是a，可得，再根据的平均数是b，可得进而即可得到解答．【详解】解：∵的平均数是a，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平均数的的定义（是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．13.将半径为面积为的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），该圆锥的底面半径为______．【答案】1【解析】【分析】设圆锥体的底面圆的半径为，根据扇形面积公式：列出方程求解即可．【详解】解：设圆锥体的底面圆的半径为，，解得：．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握扇形的弧长等于围城圆锥体的地面周长，扇形面积公式：．14.如图，圆的内接五边形满足，，，则______．【答案】##度【解析】【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质可求出的度数，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出．【详解】解：连接，∵四边形是圆的内接四边形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，解题的关键是熟练画出辅助线，构造圆的内接四边形，掌握圆的内接四边形对角互补．15.已知m是方程的一个根，则______．【答案】3【解析】【分析】由题意知，m是方程的一个根，则可把代入原方程，即可求解．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴把代入原方程得：，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本意主要考查了对一元二次方程的根的理解，知道了方程得一个根，就可把根代入原方程求解．再计算过程中注意，得到一个关于m得方程后，把当作一个整体，直接移项可求解，不需要算出m得值．16.如图，在平面直角坐标系中，的半径是1．过上一点P作等边三角形，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】找到最大值与与最小值位置，分别进行解题求出取值范围的临界值即可．【详解】解：如图，过点P作于点M，连接，设，∵为等边三角形，，∴，M为中点，∴，根据勾股定理可得，∵，∴，解得：；如图，过点P作于点M，连接，设，同理可得，，∵，解得：；综上，，∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的概念，等边三角形的性质，三角形三条边的关系，和勾股定理，找准临界位置是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解下列方程．（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可；（2）用公式法求解即可．【小问1详解】解：，，或，，．【小问2详解】解：，，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．18.如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．（1）求证；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．【小问1详解】证明：四边形内接于圆，，，；【小问2详解】解：，，．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．19.一部电影的评分越高，说明这部电影越受欢迎，电影的评分是由这部电影的“星级”评价（5星、4星、3星、2星、1星）计算得来．已知电影A，B的星级评价统计如下：约定5星为10分，4星为8分，3星为6分，2星为4分，1星为2分．通过计算电影的评分，比较电影A，B哪部更受欢迎．【答案】电影A哪部更受欢迎【解析】【分析】算出电影A，B各自的评分即可得到解答．【详解】解：根据题意可得，A：，B：，∵，∴电影A哪部更受欢迎．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，准确的计算是解决本题的关键．20.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米．（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．【答案】（1）主桥拱所在圆的半径（2）此时水面的宽度【解析】【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；（2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．【小问1详解】如图，以O为圆心，连接，由题意可得，D为弧的中点，∴，∵，∴，设，则，在中，，，∴，解得：，∴主桥拱所在圆的半径；【小问2详解】由题意得，水面下降为，连接，∵水面下降1米，∴，则，∴，即水面的宽度为．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．21.如图，已知，M是射线上一点，．以点M为圆心、r为半径画．（1）当与射线相切时，求r的值；（2）写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围．【答案】（1）r的值为1（2）见解析【解析】【分析】（1）作于N，根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的关系得到当时，与射线相切；（2）根据直线与圆的关系进行分类讨论即可．【小问1详解】作于N，如图所示：∵，∴，∴当与射线相切时，r的值为1；【小问2详解】由（1）可知，根据直线与圆的关系得到：当时，与射线相切，只有一个公共点；当时，与射线相离，没有公共点；当时，与射线相交，有两个公共点；当时，与射线只有一个公共点．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．22.如图，是的直径，射线交于点C．（1）尺规作图：求作的中点D．（保留作图痕迹）（2）过点D画垂足为E．求证：是的切线．【答案】（1）图见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，则点D为的中点；（2）连接连接交于F，先利用垂径定理的推论得到，再根据圆周角定理得到，则，接着证明，然后根据切线的性质得到结论．【小问1详解】如图，点D为所作，【小问2详解】证明：连接交于F，如图，∵点D为的中点，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．【点睛】本题考查了作图—复杂作图、垂径定理、圆周角定理和切线的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．23.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天要少卖出10件；②每降价1元，每天可多卖出20件．如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？【答案】涨价5元【解析】【分析】根据“总利润单件利润销售量”列出方程，解方程解题．【详解】解：①设涨价x元，使每天的利润为6250元，，解得，②设降y元，使每天的利润为6250元，，整理的，，方程无解，答：涨价5元，每天的利润为6250元．【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，找等量列方程找到符合实际的解是解题的关键．24.解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解．（1）请按要求填写下表．原方程①转化设，则②求解③检验，2都是原方程的解…④结论（2）解方程组：【答案】（1）；2或；（2），【解析】【分析】（1）利用换元法解方程即可；（2）利用完全平方公式将第一个方程变形为，则，分别与第二个方程结合，再利用根与系数得关系解方程即可．【小问1详解】，设，则方程变形为，∴，解得或，∴或（无解），解得，故答案：；2或；；【小问2详解】，由第一个方程得，，∴，①当时，∵，∴x、y是一元二次方程得两个根，解得或，∴；②当时，∵，∴x、y是一元二次方程得两个根，解得或，∴，综上所述，这个方程组得解，．【点睛】本题考查了转化思想在高次方程、分式方程和二元二次方程组的应用，明确如何转化及一元二次方程的基本解法是解决本题的关键．25.已知关于x的方程．（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为，且，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）化成一般式，求根的判别式，当时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系求出两根和，再把化为，再根据求根公式求出，并判断出即可．【小问1详解】证明：，即，∴，∵无论k取何值时，总有，∴，∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】由（1）得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系．26.构造合适的图形，可以用线段的长表示一元二次方程的正根．（1）如图，的两直角边分别为和n，在斜边上截取，请说明的长为关于x的方程的一个根．（2）已知关于x的方程，请构造合适的图形表示该方程的正根．（要求有必要的文字说明，并在图中作必要标注）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得，带入数据即可进行解答．（2）构造图形，用和（1）相同的方法即可进行解答．【小问1详解】解：在方程中，，∵，∴，∴，∴方程的正根为：．在中，根据勾股定理可得：，∵，∴，整理得：，∵，∴，，解得：．∴是的一个正根．【小问2详解】在方程中，，∵，∴，∴∴原方程的正根为：．如图：的斜边为，直角边，在直角边的延长线上截取，中，根据勾股定理可得：，∵即：，整理得：，∵，∴，，解得：∴是的一个正根．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，解题的关键是正确理解图形，根据勾股定理建立方程进行解答．27.以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．（1）在图①、②中，取的中点O，根据得，即A，B，C，D共圆；（2）在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得，所以，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F．求证：是的高．（补