中职数学教学课件：第7章-平面向量

第七章平面向量本章主要研究平面向量的概念及线性运算，平面向量的坐标表示与平面向量的内积.7.1平面向量的概念◎教学目标（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系；（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的质区别.唉,哪儿去了?嘻嘻!大笨猫!AB引入不能，因为方向错了。BA位移不同老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B向东南方向10m/s的速度追.问猫能否抓到老鼠？为什么？重力、浮力、弹力有大小、有方向许多物理量都有这样的性质．．．抽象概括向量（一）向量的概念

定义：既有大小又有方向的量叫向量。2.向量与数量的区别：①数量只有大小

②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。

注：1.向量两要素：大小，方向，可以比较大小。注：物理中向量与数量分别叫做矢量、标量(二）向量的表示方法

1、几何表示法：

用有向线段表示。A(起点）B(终点）有向线段三要素：起点、方向、长度2、小写字母a,b,c…印刷用黑体表示，手写时写成此易错也，望记住2、向量的字母表示：注：由起点指向终点；

（三）向量的模注：向量的模是可以比较大小的记作：如：

向量的模(或长度)就是向量的大小1.零向量:

2.单位向量:长度（模）为1个单位长度的向量长度（模）为0的向量，记作规定：方向是任意的。（四）两个特殊向量1.相等向量：长度相等且方向相同的向量。abc

a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4（五）.

向量间的关系：注：1.若向量

相等，则记为

；2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来

表示，并且与有向线段的起点无关。3、向量可以自由平移规定：0=0规定：零向量与任一向量平行记作：////

2.平行向量：方向或的向量叫平行向量

如下图：平行相同相反任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫共线向量记作:3.向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。ab向量的负向量，记作－．

规定：零向量的负向量仍为零向量．与—

互为相反向量相等的有7个长度相等的有15个.试一试例1．判断下列结论是否正确。(1)平行向量方向一定相同；()(2)不相等向量一定不平行；()(3)与零向量相等的向量是零向量；()(4)单位向量是相等向量；()(5)共线向量一定在一条直线上；()(6)相等向量一定是平行向量;

(

)××√××√

【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量，负向量。BACDEFOBACDEFO解：下面几个命题：

C（3）若

|a|=|b|，则a=b（2）若|a|=0，则

a=0（1）若a=

b，

b=c，则a=c。A．0

B.1C.2D.3其中正确的个数是()（5）向量AB∥CD，则A、B、C、D四点必在一直线上；（4）两个向量a=ba∥b

|a|=|b|7.2平面向量的运算◎教学目标（1）能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量；（2）在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等；（3）通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量；（4）学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量；（5）通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律

台北香港上海从运动的合成看向量运算在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？ABC位移叫做位移与位移的和，记作F1F2FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？F1F2FF是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线ABC向量的加法运算运动的合成力的合成F1F2FF1+F2=F

数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则o·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型向量加法法则CA·B位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型向量加法法则总结与拓展向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们首尾相连2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到同一起点2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线三角形法则推广为多边形法则：探究一：当向量共线时，如何相加？ABC(1)同向(2)反向ABC探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以推广到任意多个向量.练习：1、化简××××√例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然

解如图所示，表示船速，为水流=13．利用计算器求得即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约例4用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．

绳子的方向与垂线的夹角为f1f2k解利用平行四边形法则，可以得到所以根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？——平面向量的减法运算动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．即

观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量b的终点，两个向量a、b，其差a−b仍然是一终点是被减向量a的终点．aAa－bBbO设a，b，则向量减法法则要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.ABOABO探究三：当向量共线时，如何相减？(1)同向(2)反向探究四：平行四边形法则的两条对角线ADCB——平面向量的数乘运算aaaABCOa-a-a-aPQMN向量的数乘运算的定义你能说出向量数乘运算的几何意义吗？数乘向量运算律向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.第一分配律第二分配律数乘结合律1.如何证明？2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？线性运算练习两非零向量共线的充要条件：例5在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，＝a，＝b，试用a,b表示向量、解＝a＋b，＝b−a，

因为O分别为AC，BD的中点，所以（a＋b）＝a＋b，

（b−a）＝a＋b，

a＋b和

a＋b

都叫做向量a，b的线性组合，或者说，可以用向量a，b线性表示．一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中均为实数），如果l＝a＋

b，则称l可以用a，b线性表示．

自我反思目标检测向量概念及表示：向量间的关系：向量的线性运算：7.3平面向量的坐标表示◎教学目标(1)掌握平面向量的坐标表示；(2)会进行向量线性运算的坐标表示；(3)掌握向量共线的充要条件.创设情境兴趣导入设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j，为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）．则

由平行四边形法则知图7－17动脑思考探索新知设i,j分别为x轴、y轴的单位向量，(1)设点，则（如图7－18(1)）；

OxijM(x,y)yjiBAOyx图7－18(1)图7－18(2)向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标．动脑思考探索新知由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对叫做向量a的坐标，记作

，使得．有序实数对有序实数图7－19巩固知识典型例题例1如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示向量a、b,并写出它们的坐标．解因为

＝5i＋3j，

a＝＋所以同理可得可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的．巩固知识典型例题已知点，求的坐标．例2

解运用知识强化练习组合表示向量．

1．点A的坐标为（－2，3），写出向量的坐标，并用i与j的线性2．设向量,写出向量e的坐标．

运用知识强化练习已知A，B两点的坐标，求的坐标．(1)(2)(3)(1)(2)(3)运用知识强化练习略．已知A，B两点坐标，求的坐标及模．

(1)

A(5,3)，B(3，−1)；(2)

A(1,2)，B(2，1)；(3)

A(4,0)，B(0，−3)．3．创设情境兴趣导入图7－20观察图7－20，向量可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．动脑思考探索新知设平面直角坐标系中，，则

所以（7.6）类似可以得到（7.7）（7.8）巩固知识典型例题例3设a＝(1,−2),b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：(1)a＋b，(2)－3a，(3)3a－2b．解(1)a＋b＝(1,−2)＋(−2,3)＝(−1,1)

(2)−3a＝−3(1,−2)＝(−3,6)(3)3a－2a＝3(1,−2)－2(−2,3)＝(3,−6)－(−4,6)＝(7,−12)．运用知识强化练习已知向量a,b的坐标，求a＋b、a－b、−2a＋3b的坐标．（1）a＝(−2,3)，b=(1,1)；（2）a＝(1,0)，b=(−4,−3)；（3）a＝(−1,2)，b=(3,0)．创设情境兴趣导入前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当时，有

如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？动脑思考探索新知由此得到，对非零向量a、b，设当时，有（7．9）巩固知识典型例题解例4设，判断向量a、

b是否共线．由于3×2−1×6＝0，

故由公式（7．9）知，，即向量a、b共线．运用知识强化练习略．(2)

a＝(1,−1)，b＝(−2,2)；(3)

a＝(2,1)，b＝(−1,2)．判断下列各组向量是否共线：(1)

a＝(2,3)，b＝(1,)；

向量坐标的概念？

1自我反思目标检测一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任意向量a都有唯一一对实数x、y，使得有序实数对叫做向量a的坐标，记作

向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.

.

任意起点的向量的坐标表示？

2

共线向量的坐标表示？

3对非零向量a、

b，设当时，有

自我反思目标检测

学习行为学习效果学习方法

自我反思目标检测7.4平面向量的内积◎教学目标（（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义；（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础；（3）通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力.创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，角的方向拉小车，使小车前进了100m．朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？

做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．力F是水平方向的力W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即动脑思考探索新知W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．BAOab如图，设有两个非零向量a，b，作由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a，b>．两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b，即

a·b＝|a||b|cos<a，b>(7.10)

由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0.动脑思考探索新知动脑思考探索新知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：当a＝b时，有<a，a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝cos<a,b>＝当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>=时，a·b＝−|a||b|．a·b＝0ab.

对非零向量a，b，有动脑思考探索新知可以验证，向量的内积满足下面的运算律：a·b＝b·a.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

a·(b·c)≠(a·b)

·c.

一般地，向量的内积不满足结合律，即巩固知识典型例题例1已知|a|＝3,|b|＝2,<a，b>＝60°，求a·b．解a·b＝|a||b|cos<a，b>

＝3×2×cos60°＝3．巩固知识典型例题例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．解

cos<a,b>＝由于0≤<a,b>≤180°，所以<a,b>＝运用知识强化练习1.已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夹角为60°，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|.3.已知|a|＝2,|b|＝3,<a,b>＝30°，求(2a＋b)·b

．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j＝0,又|i|＝|j|＝1,所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)

＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j

＝x1x2|j|2＋y1y2|j|2

＝x1x2＋y1y2.

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

a·b＝x1x2＋y1y2

(7.11)

设a＝(x,y)，则，即(7.12)动脑思考探索新知

cos<a,b>＝(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a⊥ba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0

x1x2＋

y1y2