直线与平面垂直

§74直线、平面垂直的判定与性质基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDE回扣基础知识训练基础题目基础落实1直线与平面垂直1定义如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面知识梳理任意一条2判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条

直线都垂直，则该直线与此平面垂直

性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____

⇒l⊥α⇒a∥b_________________________________a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥ba⊥αb⊥α相交平行2直线和平面所成的角1定义平面的一条斜线和所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是的角2范围：它在平面上的射影直角0°3平面与平面垂直1二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角2平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直两个半平面垂直于棱直二面角3平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的

，则这两个平面垂直

性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于

的直线与另一个平面垂直

垂线交线1若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面2两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面概念方法微思考题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α2垂直于同一个平面的两平面平行3若α⊥β，a⊥β，则a∥α4若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直基础自测××√×题组二教材改编2多选下列命题中正确的有A如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β√解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的√√－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O1若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____心；外解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心2若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心垂解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心题组三易错自纠，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件√解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A5如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是，MN均垂直 垂直，与MN不垂直不垂直，与MN垂直 ，MN均不垂直√解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC设正方体的棱长为2，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥6多选如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是∥平面ABC ⊥平面VBC所成的角为45° ⊥平面VAC√√解析易知MN∥AC，又AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥典题深度剖析重点多维探究题型突破直线与平面垂直的判定与性质例12019·全国Ⅱ如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC11证明：BE⊥平面EB1C1；题型一师生共研证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C12若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积解由1知∠BEB1＝90°由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3思维升华SIWEISHENGHUA证明线面垂直的常用方法及关键1证明线面垂直的常用方法：①判定定理②垂直于平面的传递性③面面垂直的性质2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质跟踪训练12019·贵阳模拟如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，FE与A，D不重合分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD求证：1EF∥平面ABC；证明在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC2AD⊥AC证明因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC例22019·栖霞模拟如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，FA⊥平面ABCD，ED∥FA，且AB＝FA＝2ED＝21求证：平面FAC⊥平面EFC；平面与平面垂直的判定与性质题型二师生共研证明连接BD交AC于O，设FC中点为P，连接OP，EP，∵O，P分别为AC，FC的中点，∴OP∥ED且OP＝ED，∴四边形OPED为平行四边形，∴OD∥EP，即BD∥EP，∵FA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵FA∩AC＝A，FA，AC⊂平面FAC，∴BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP⊂平面EFC，∴平面FAC⊥平面EFC2求多面体ABCDEF的体积∵FA⊥平面ABCD，FA⊂平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，作CG⊥AD于点G，又平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴CG⊥平面ADEF，1判定面面垂直的方法①面面垂直的定义②面面垂直的判定定理a⊥β，a⊂α⇒α⊥β2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练22018·全国Ⅰ如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA1证明：平面ACD⊥平面ABC；证明由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC2Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝，求三棱锥Q－ABP的体积如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，由已知及1可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1垂直关系的综合应用题型三师生共研例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点1证明：△PBC是直角三角形；证明∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形2若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解如图，过A作AH⊥